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Matemáticas 3.º ESO · Función afín. Pendiente y ordenada en el origen

Qué significan la pendiente y la ordenada en el origen

Objetivo: Al terminar, sabrás interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una función afín en situaciones reales (parte fija y precio por unidad, posición inicial y velocidad, cantidad inicial y consumo), reconocer familias de rectas y elegir la recta que se ajusta a unos datos.

Explicación

La pendiente y la ordenada en el origen en un problema

Cuando una función afín $y = mx + n$ describe una situación real, sus dos números tienen significado:

$n$ , la ordenada en el origen, es el valor de $y$ cuando $x = 0$ : la cantidad inicial o la parte fija (cuota fija, posición de partida, agua que había al principio…).
$m$ , la pendiente, es lo que cambia $y$ por cada unidad de $x$ : el ritmo de cambio (precio por unidad, velocidad, consumo…). Sus unidades son «unidades de $y$ por unidad de $x$ »: €/km, m/s, L/km…
Si $m < 0$ , la magnitud disminuye a ese ritmo.

Situación	$x$	$y$	$n$	$m$
Tarifa	unidades compradas	precio (€)	parte fija (€)	precio por unidad (€/unidad)
Movimiento uniforme	tiempo (s)	posición (m)	posición inicial (m)	velocidad (m/s)
Depósito que se vacía	tiempo o distancia	cantidad que queda	cantidad inicial	consumo (negativo)

Familias de rectas

$y = mx + 2$ con $m$ variable: todas pasan por $(0, 2)$ ; al cambiar $m$ , la recta gira alrededor de ese punto.
$y = 3x + n$ con $n$ variable: todas tienen pendiente 3; son paralelas y al cambiar $n$ la recta sube o baja.

Elegir la recta que se ajusta a unos datos

Para decidir qué función afín describe unos datos, mira primero el valor para $x = 0$ (eso da $n$ ) y cuánto aumenta $y$ por cada unidad de $x$ (eso da $m$ ). Después comprueba con varios puntos, no con uno solo.

Puntos clave

$n$ : valor de $y$ para $x = 0$ (cantidad inicial o parte fija).
$m$ : cambio de $y$ por cada unidad de $x$ (ritmo); sus unidades son unidades de $y$ por unidad de $x$ .
$m < 0$ : la magnitud disminuye.
$y = mx + n$ con $n$ fijo: rectas que giran alrededor de $(0, n)$ ; con $m$ fijo: rectas paralelas.
Para elegir un modelo, comprueba que se cumple en varios datos.

Errores frecuentes

ErrorEn $C = 1{,}30x + 2{,}50$ , decir que cada kilómetro cuesta 2,50 €.
Cómo corregirloEl número que multiplica a $x$ es el precio por kilómetro (1,30 €); el que va solo es lo que se paga aunque $x = 0$ .
ErrorDar la pendiente sin unidades o con unidades al revés (km/L en lugar de L/km).
Cómo corregirloLa pendiente es « $y$ por cada $x$ »: si $y$ está en litros y $x$ en km, $m$ va en L/km.
ErrorElegir el modelo comprobando un solo dato.
Cómo corregirloDos rectas distintas pueden pasar por el mismo punto. Comprueba al menos dos o tres datos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La tarifa de un taxi situación real (interpretar m y n)
En una ciudad, el precio de un trayecto en taxi se calcula con $C = 1{,}30x + 2{,}50$ , donde $C$ es el precio en euros y $x$ los kilómetros recorridos (tarifa aproximada). a) ¿Qué significan 2,50 y 1,30? b) ¿Cuánto cuesta un trayecto de 8 km? c) ¿Cuántos kilómetros se pueden recorrer con 20 €?

Resolución
a) $n = 2{,}50$ €: lo que se paga al subir aunque no se recorra nada (bajada de bandera). $m = 1{,}30$ €/km: lo que aumenta el precio por cada kilómetro.

b) $C = 1{,}30 \cdot 8 + 2{,}50 = 10{,}40 + 2{,}50 = 12{,}90$ €.

c) $20 = 1{,}30x + 2{,}50 \;\Rightarrow\; 1{,}30x = 17{,}50 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{17{,}50}{1{,}30} \approx 13{,}46$ km. Para no pasar de 20 €, se pueden recorrer unos 13,4 km como mucho (redondeando a la baja).
Ejemplo 2. El depósito de gasolina gráfico (pendiente negativa)
La gráfica muestra los litros de gasolina $V$ que quedan en el depósito de un coche según los kilómetros recorridos $x$ . a) Escribe la función. b) ¿Qué significan $m$ y $n$ ? c) ¿Cuál es la autonomía del coche con el depósito lleno?

Resolución
a) Ordenada en el origen: $n = 45$ . Pendiente con los puntos $(0, 45)$ y $(750, 0)$ : $m = \dfrac{0 - 45}{750 - 0} = -0{,}06 \;\Rightarrow\; V = -0{,}06x + 45$

b) $n = 45$ L: gasolina al empezar (depósito lleno). $m = -0{,}06$ L/km: por cada kilómetro, el depósito pierde 0,06 L, es decir, el coche consume 6 L cada 100 km.

c) El depósito se vacía cuando $V = 0$ : a los 750 km (corte con el eje X).
Ejemplo 3. Familias de rectas gráfico
La gráfica muestra tres rectas de la familia $y = mx + 2$ . ¿Qué tienen en común? ¿Qué cambia? ¿Cómo serían las rectas de la familia $y = 3x + n$ ?

Resolución
- Todas pasan por $(0, 2)$ , porque para $x = 0$ siempre sale $y = 2$ .
- Cambia la inclinación: con $m = 2$ sube deprisa, con $m = \dfrac{1}{2}$ sube despacio y con $m = -1$ baja.
En la familia $y = 3x + n$ todas tienen pendiente 3: son rectas paralelas, y $n$ indica a qué altura cortan al eje Y.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una tienda de serigrafía cobra por imprimir camisetas $C = 6x + 40$ ( $C$ en €, $x$ = número de camisetas). a) ¿Qué significan 40 y 6? b) ¿Cuánto cuestan 30 camisetas? c) ¿Cuánto sale cada camiseta, de media, si se encargan 30? ¿Y si se encargan 100?

Ver solución
a) 40 € fijos; 6 € por camiseta. b) 220 €. c) 7,33 € con 30; 6,40 € con 100.
a) $n = 40$ €: coste fijo (preparar el diseño), se pague lo que se pague. $m = 6$ €/camiseta. b) $C = 6 \cdot 30 + 40 = 220$ €. c) $220 : 30 \approx 7{,}33$ € por camiseta (redondeado a céntimos). Con 100: $C = 640$ €, $640 : 100 = 6{,}40$ €. El coste fijo se reparte entre más camisetas.
2. Media
Un globo aerostático desciende y su altura, en metros, es $h = 600 - 2{,}5t$ , con $t$ en segundos. a) ¿Qué significan 600 y $-2{,}5$ ? b) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

Ver solución
a) Altura inicial 600 m; baja 2,5 m cada segundo. b) 240 s = 4 min.
a) $n = 600$ m: altura al empezar a contar. $m = -2{,}5$ m/s: baja 2,5 m cada segundo. b) En el suelo $h = 0$ : $600 - 2{,}5t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{600}{2{,}5} = 240$ s $= 4$ min.
3. Media
a) De la familia $y = 2x + n$ , ¿qué recta pasa por $(-1, 4)$ ? b) De la familia $y = mx + 3$ , ¿qué recta pasa por $(2, -5)$ ? c) ¿Qué tienen en común las rectas de cada familia?

Ver solución
a) y = 2x + 6. b) y = −4x + 3. c) Las de a) son paralelas (pendiente 2); las de b) pasan todas por (0, 3).
a) $4 = 2 \cdot (-1) + n \Rightarrow n = 6$ : $y = 2x + 6$ . b) $-5 = m \cdot 2 + 3 \Rightarrow 2m = -8 \Rightarrow m = -4$ : $y = -4x + 3$ . c) $y = 2x + n$ : todas tienen pendiente 2 → paralelas. $y = mx + 3$ : todas pasan por $(0, 3)$ .
4. Difícil
En el laboratorio se cuelgan pesas de un muelle y se mide su longitud. Los resultados aparecen en la gráfica. ¿Cuál de estas funciones describe mejor los datos ( $L$ en cm, $x$ = masa colgada en g)? Razónalo. A) $L = 0{,}05x + 12$ B) $L = 0{,}05x$ C) $L = 0{,}5x + 12$ Interpreta los números del modelo elegido y calcula la longitud con 120 g.
Ver solución
A. 12 cm es la longitud sin pesas; se alarga 0,05 cm por gramo (0,5 cm cada 10 g). Con 120 g, 18 cm.
- B no vale: con $x = 0$ daría $L = 0$ , y el muelle mide unos 12 cm sin pesas.
- C no vale: con 50 g daría $0{,}5 \cdot 50 + 12 = 37$ cm, y se midieron 14,4 cm.
- A: da 12; 14,5; 17; 19,5 y 22 cm para 0, 50, 100, 150 y 200 g, muy cerca de las medidas. Es A.
$n = 12$ cm: longitud del muelle sin pesas. $m = 0{,}05$ cm/g: se alarga 0,5 cm por cada 10 g. Con 120 g: $L = 0{,}05 \cdot 120 + 12 = 18$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Una academia de idiomas cobra $C = 45x + 60$ ( $C$ en €, $x$ en meses). a) ¿Qué significan 60 y 45? b) ¿Cuánto cuesta un curso de 9 meses? c) Si la matrícula fuera gratis, ¿cómo cambiaría la gráfica?

Ver solución
a) Matrícula 60 €; 45 € al mes. b) 465 €. c) Sería C = 45x: una recta paralela que pasa por el origen.
a) $n = 60$ €: matrícula (se paga una vez). $m = 45$ €/mes: cuota mensual. b) $C = 45 \cdot 9 + 60 = 465$ €. c) $C = 45x$ : misma pendiente (paralela), pero pasa por el origen: la recta baja 60 unidades.
2. Media
Durante un verano seco, el agua de un embalse de la sierra de Madrid se puede aproximar por $V = 30 - 0{,}4d$ ( $V$ en hm³, $d$ en días). a) ¿Qué significan 30 y $-0{,}4$ ? b) ¿Cuánta agua queda a los 45 días? c) ¿Cuándo quedarán 10 hm³?

Ver solución
a) 30 hm³ al principio; pierde 0,4 hm³ al día. b) 12 hm³. c) A los 50 días.
a) $n = 30$ hm³: agua al empezar. $m = -0{,}4$ hm³/día: cada día hay 0,4 hm³ menos. b) $V = 30 - 0{,}4 \cdot 45 = 30 - 18 = 12$ hm³. c) $10 = 30 - 0{,}4d \Rightarrow 0{,}4d = 20 \Rightarrow d = 50$ días.
3. Media
La gráfica muestra la posición $x$ de una corredora en una carrera popular, medida desde la salida, en función del tiempo $t$ desde que empezamos a cronometrarla. a) Escribe la función. b) ¿Qué significan la pendiente y la ordenada en el origen? c) ¿Dónde estará a los 150 s si mantiene el ritmo?

Ver solución
a) x = 4t + 300. b) Velocidad 4 m/s; estaba a 300 m de la salida al empezar a cronometrar. c) A 900 m.
a) $n = 300$ ; $m = \dfrac{1100 - 300}{200 - 0} = \dfrac{800}{200} = 4$ : $x = 4t + 300$ . b) $m = 4$ m/s: su velocidad (avanza 4 m cada segundo). $n = 300$ m: posición inicial, ya había recorrido 300 m cuando empezamos a cronometrar. c) $x = 4 \cdot 150 + 300 = 900$ m.
4. Difícil
Una empresa de mensajería cobra por un paquete, según su peso $p$ (kg), estos precios $P$ (€):

$p$ (kg) 1 2 4 5

$P$ (€) 5,5 7 10 11,5

a) Ana dice que el modelo es $P = 2p + 3{,}5$ porque «funciona con 1 kg». ¿Tiene razón? b) Comprueba que $P = 1{,}5p + 4$ sirve para todos los datos e interpreta sus números. c) ¿Cuánto costaría un paquete de 3 kg?

Ver solución
a) No: con 2 kg daría 7,5 €. b) 4 € fijos y 1,5 € por kg. c) 8,5 €.
a) Con 1 kg sí: $2 + 3{,}5 = 5{,}5$ . Pero con 2 kg da $7{,}5 \neq 7$ . No tiene razón: hay que comprobar más de un dato. b) $1{,}5 \cdot 1 + 4 = 5{,}5$ ; $1{,}5 \cdot 2 + 4 = 7$ ; $1{,}5 \cdot 4 + 4 = 10$ ; $1{,}5 \cdot 5 + 4 = 11{,}5$ . ✔ Se pagan 4 € fijos por envío y 1,5 € por cada kilo. c) $P = 1{,}5 \cdot 3 + 4 = 8{,}5$ €.