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Matemáticas 3.º ESO · Función afín. Pendiente y ordenada en el origen

Rectas paralelas y rectas que pasan por un punto

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer rectas paralelas por su pendiente, hallar la paralela a una recta que pasa por un punto y escribir rectas que pasan por un punto dado.

Explicación

Rectas paralelas

Dos rectas $y = mx + n$ e $y = m'x + n'$ son paralelas cuando tienen la misma pendiente ( $m = m'$ ) y distinta ordenada en el origen ( $n \neq n'$ ). Si además $n = n'$ , no son dos rectas: es la misma recta (coincidentes).

Cómo hallar la paralela a una recta que pasa por un punto $P(a, b)$ :

Copia la pendiente: la paralela es $y = mx + n'$ .
Sustituye las coordenadas de $P$ y despeja $n'$ : $b = m \cdot a + n'$ .

Rectas que pasan por un punto

Todas las rectas $y = mx + 2$ pasan por $(0, 2)$ , sea cual sea $m$ : forman un haz de rectas de centro $(0, 2)$ .

En general, si una recta $y = mx + n$ pasa por $P(a, b)$ , se cumple $b = m \cdot a + n$ , es decir, $n = b - m \cdot a$ . Dando valores a $m$ obtenemos todas las rectas (no verticales) que pasan por $P$ . La única que falta es la vertical $x = a$ , que no es una función.

Puntos clave

Paralelas: misma pendiente y distinta ordenada en el origen.
Misma pendiente y misma ordenada: es la misma recta (coincidentes).
Paralela por $P(a, b)$ : se copia $m$ y se calcula $n$ con $b = m \cdot a + n$ .
Las rectas $y = mx + n$ con $n$ fijo pasan todas por $(0, n)$ .
Recta que pasa por $P(a, b)$ con pendiente $m$ : $n = b - m \cdot a$ .

Errores frecuentes

ErrorDecir que $y = -3x + 1$ e $y = 1 - 3x$ son paralelas.
Cómo corregirloOrdena las dos: tienen la misma pendiente y la misma ordenada. Son la misma recta.
ErrorPara la paralela por un punto, copiar también la $n$ de la recta dada.
Cómo corregirloSolo se copia la pendiente; la ordenada en el origen se calcula con el punto.
ErrorPensar que rectas con la misma ordenada en el origen son paralelas.
Cómo corregirloTener la misma $n$ significa que se cortan en el eje Y: son del mismo haz, no paralelas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La paralela que pasa por un punto numérico y gráfico
Halla la ecuación de la recta paralela a $y = -3x + 5$ que pasa por $P(2, 1)$ .

Resolución
1. La paralela tiene la misma pendiente: $y = -3x + n$ .
2. Pasa por $P(2, 1)$ : sustituimos $x = 2$ , $y = 1$ : $1 = -3 \cdot 2 + n \;\Rightarrow\; 1 = -6 + n \;\Rightarrow\; n = 7$
La paralela es $y = -3x + 7$ . En la gráfica, las dos rectas tienen la misma inclinación y no se cortan nunca.
Ejemplo 2. Un haz de rectas gráfico
Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por $P(1, 3)$ con pendientes $-1$ , $0$ y $2$ .

Resolución
Si $y = mx + n$ pasa por $(1, 3)$ : $3 = m \cdot 1 + n$ , así que $n = 3 - m$ .
- $m = -1$ : $n = 3 - (-1) = 4$ → $y = -x + 4$ .
- $m = 0$ : $n = 3$ → $y = 3$ (horizontal).
- $m = 2$ : $n = 3 - 2 = 1$ → $y = 2x + 1$ .
Las tres pasan por $P(1, 3)$ : forman parte del haz de rectas de centro $P$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Agrupa las rectas que son paralelas entre sí. ¿Hay alguna pareja que sea la misma recta? a) $y = 3x - 2$ b) $y = -3x + 1$ c) $y = 3x + 5$ d) $y = 1 - 3x$ e) $y = 3(x + 1)$
Ver solución
a, c y e son paralelas (m = 3). b y d son la misma recta.
Escribimos todas en la forma $y = mx + n$ : e) $y = 3x + 3$ ; d) $y = -3x + 1$ .
- Pendiente 3: a), c) y e), con $n = -2$ , $5$ y $3$ distintas → paralelas.
- Pendiente $-3$ : b) y d), las dos con $n = 1$ → son la misma recta.
2. Media
Halla la recta paralela a $y = \dfrac{x}{2} + 4$ que pasa por el punto $(-4, 0)$ .

Ver solución
y = x/2 + 2
Paralela: $y = \dfrac{1}{2}x + n$ . Por $(-4, 0)$ : $0 = \dfrac{1}{2} \cdot (-4) + n = -2 + n \Rightarrow n = 2$ . Recta: $y = \dfrac{x}{2} + 2$ .
3. Media
Las rectas $y = mx - 2$ forman un haz. a) ¿Por qué punto pasan todas? b) ¿Cuál de ellas pasa por $(2, 4)$ ? c) ¿Cuál de ellas es paralela a $y = -x + 5$ ?

Ver solución
a) (0, −2). b) y = 3x − 2. c) y = −x − 2.
a) Para $x = 0$ , $y = -2$ sea cual sea $m$ : pasan por $(0, -2)$ . b) $4 = m \cdot 2 - 2 \Rightarrow 2m = 6 \Rightarrow m = 3$ : $y = 3x - 2$ . c) Necesita $m = -1$ : $y = -x - 2$ .

Para practicar más

1. Fácil
Halla: a) la recta paralela a $y = 4 - x$ que pasa por $(3, 5)$ ; b) la recta paralela al eje X que pasa por $(3, 5)$ .

Ver solución
a) y = −x + 8. b) y = 5.
a) $m = -1$ : $y = -x + n$ ; $5 = -3 + n \Rightarrow n = 8$ : $y = -x + 8$ . b) Paralela al eje X → pendiente 0: $y = 5$ .
2. Media
Considera las rectas $y = mx + n$ que pasan por $(1, 2)$ . a) Escribe la que tiene pendiente $-1$ . b) ¿Cuál pasa por el origen? c) ¿Cuál pasa también por $(3, 8)$ ?

Ver solución
a) y = −x + 3. b) y = 2x. c) y = 3x − 1.
Por pasar por $(1, 2)$ : $2 = m + n$ , luego $n = 2 - m$ . a) $m = -1 \Rightarrow n = 3$ : $y = -x + 3$ . b) Por el origen → $n = 0 \Rightarrow m = 2$ : $y = 2x$ . c) $8 = 3m + n = 3m + 2 - m = 2m + 2 \Rightarrow m = 3$ , $n = -1$ : $y = 3x - 1$ .
3. Difícil
a) ¿Qué valor debe tener $m$ para que $y = mx - 1$ sea paralela a $y = 2x + 3$ ? b) ¿Y $k$ para que $y = (k - 1)x + 4$ sea paralela a $y = 3x$ ? c) ¿Son paralelas $y = 2x + 4$ y $2y = 4x + 8$ ?

Ver solución
a) m = 2. b) k = 4. c) No: son la misma recta.
a) Misma pendiente: $m = 2$ (y las ordenadas, $-1$ y $3$ , son distintas). b) $k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4$ . c) Dividiendo entre 2, la segunda es $y = 2x + 4$ : es la misma recta, no son paralelas.