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Matemáticas 3.º ESO · Función afín. Pendiente y ordenada en el origen

Recuerda: la pendiente de una recta a partir de dos puntos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la pendiente de una recta a partir de dos de sus puntos o de su gráfica y relacionar su signo con el crecimiento de la función.

Recuerda

La pendiente de una recta

La pendiente de una recta mide su inclinación. Si la recta pasa por dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\text{variación de } y}{\text{variación de } x}$

En la gráfica se ve con un triángulo de pendiente: desde un punto de la recta avanzamos hacia la derecha y contamos cuánto sube (o baja) hasta volver a la recta.

Pendiente y crecimiento

Pendiente	La recta…	La función es…
$m > 0$	sube de izquierda a derecha	creciente
$m < 0$	baja de izquierda a derecha	decreciente
$m = 0$	es horizontal	constante

Cuanto mayor es el valor de $m$ sin signo, más inclinada es la recta.

Pendiente en porcentaje

En carreteras y rampas la pendiente se da en tanto por ciento: una pendiente del 8 % significa que se suben 8 m por cada 100 m de avance horizontal, es decir, $m = 0{,}08$ .

La pendiente como ritmo de cambio

En un problema, la pendiente tiene unidades: las de $y$ entre las de $x$ (°C por minuto, metros por kilómetro, euros por hora…). Indica cuánto cambia $y$ por cada unidad que aumenta $x$ .

Puntos clave

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ : variación de $y$ entre variación de $x$ .
$m > 0$ creciente; $m < 0$ decreciente; $m = 0$ constante.
Cuanto mayor es $m$ sin signo, más inclinada es la recta.
En la gráfica se lee con un triángulo: avance horizontal y subida o bajada.
Pendiente del 8 % → $m = 0{,}08$ .
En un problema, la pendiente es un ritmo de cambio y tiene unidades (°C/min, €/h…).

Errores frecuentes

ErrorRestar las coordenadas en distinto orden arriba y abajo: $\dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ .
Cómo corregirloSi arriba empiezas por el punto $B$ , abajo también: $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
ErrorOlvidar los paréntesis al restar un número negativo: $3 - -1 = 2$ .
Cómo corregirloEscribe $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$ .
ErrorPoner el cociente al revés: variación de $x$ entre variación de $y$ .
Cómo corregirloLa pendiente es lo que sube $y$ por cada unidad que avanza $x$ : $y$ va arriba.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Pendiente entre dos puntos numérico
Calcula la pendiente de la recta que pasa por $A(-1, 4)$ y $B(3, -2)$ . ¿La función es creciente o decreciente?

Resolución
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}$

Como $m < 0$ , la función es decreciente: cada vez que $x$ aumenta 2 unidades, $y$ baja 3.
Ejemplo 2. Triángulo de pendiente gráfico
Calcula la pendiente de la recta $r$ de la gráfica dibujando un triángulo de pendiente.

Resolución
Tomamos dos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo $(0, -1)$ y $(3, 1)$ .

Desde $(0, -1)$ avanzamos 3 unidades a la derecha y subimos 2 para volver a la recta: $m = \dfrac{2}{3}$

Es positiva: la recta sube. Con los puntos $(-3, -3)$ y $(6, 3)$ el triángulo es más grande, pero la pendiente es la misma: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos e indica si la función es creciente, decreciente o constante: a) $(1, 2)$ y $(4, 8)$ b) $(-2, 5)$ y $(2, -3)$ c) $(0, 3)$ y $(6, 3)$ d) $(-3, -1)$ y $(1, 1)$

Ver solución
a) 2, creciente. b) −2, decreciente. c) 0, constante. d) 1/2, creciente.
a) $m = \dfrac{8 - 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$ → creciente. b) $m = \dfrac{-3 - 5}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2$ → decreciente. c) $m = \dfrac{3 - 3}{6 - 0} = 0$ → constante. d) $m = \dfrac{1 - (-1)}{1 - (-3)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ → creciente.
2. Media
Lee en la gráfica la pendiente de las rectas $r$ , $s$ y $t$ . Ordénalas de más inclinada a menos inclinada.
Ver solución
r: 3; s: −1/2; t: 1. Orden: r, t, s.
- $r$ : de $(0, -2)$ a $(1, 1)$ avanza 1 y sube 3 → $m = 3$ .
- $s$ : de $(0, 2)$ a $(2, 1)$ avanza 2 y baja 1 → $m = -\dfrac{1}{2}$ .
- $t$ : de $(0, 1)$ a $(1, 2)$ avanza 1 y sube 1 → $m = 1$ .
La inclinación depende del valor sin signo: $3 > 1 > \dfrac{1}{2}$ . Orden: $r$ , $t$ , $s$ .
3. Media
Una rampa de acceso a un portal sube 0,6 m en 5 m de avance horizontal. a) Calcula su pendiente y exprésala en tanto por ciento. b) Si en la obra se exige que la pendiente no supere el 10 %, ¿cumple la rampa?

Ver solución
a) 0,12 = 12 %. b) No cumple.
a) $m = \dfrac{0{,}6}{5} = 0{,}12$ , es decir, sube 12 cm por cada metro: 12 %. b) $12\ \% > 10\ \%$ : no cumple. Para subir 0,6 m con un 10 % haría falta un avance de $0{,}6 : 0{,}1 = 6$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos y di si es creciente o decreciente: a) $(2, -1)$ y $(5, 8)$ b) $(-4, 2)$ y $(2, -1)$ c) $(0, 0)$ y $(-2, 5)$

Ver solución
a) 3, creciente. b) −1/2, decreciente. c) −5/2, decreciente.
a) $m = \dfrac{8 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$ → creciente. b) $m = \dfrac{-1 - 2}{2 - (-4)} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ → decreciente. c) $m = \dfrac{5 - 0}{-2 - 0} = -\dfrac{5}{2}$ → decreciente.
2. Media
Calcula la pendiente de las rectas $a$ y $b$ de la gráfica usando los puntos marcados.
Ver solución
a: 3/2. b: −1/3.
- $a$ pasa por $(-2, -3)$ y $(2, 3)$ : $m = \dfrac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ .
- $b$ pasa por $(-3, 2)$ y $(3, 0)$ : $m = \dfrac{0 - 2}{3 - (-3)} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
3. Media
Una señal de tráfico avisa de una pendiente del 8 %. a) ¿Cuántos metros se suben en 2,5 km de avance horizontal? b) Otra carretera sube 45 m en 600 m de avance horizontal. ¿Qué pendiente tiene, en tanto por ciento?

Ver solución
a) 200 m. b) 7,5 %.
a) $m = 0{,}08$ ; $2{,}5\ \text{km} = 2500\ \text{m}$ ; subida $= 0{,}08 \cdot 2500 = 200\ \text{m}$ . b) $m = \dfrac{45}{600} = 0{,}075 = 7{,}5\ \%$ .