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Matemáticas 3.º ESO · Función afín. Pendiente y ordenada en el origen

Recuerda: la función afín y = mx + n

Objetivo: Al terminar, sabrás identificar la pendiente y la ordenada en el origen de una función y = mx + n y representarla con una tabla de dos o tres puntos.

Recuerda

La función afín

Una función afín tiene la forma $y = mx + n$

$m$ es la pendiente: lo que aumenta (o disminuye) $y$ cada vez que $x$ aumenta 1 unidad.
$n$ es la ordenada en el origen: la recta corta al eje Y en el punto $(0, n)$ .

Su gráfica es siempre una recta.

Dos casos particulares

Tipo	Ecuación	Gráfica
Función lineal (de proporcionalidad directa)	$y = mx$ (es decir, $n = 0$ )	recta que pasa por el origen $(0, 0)$
Función constante	$y = n$ (es decir, $m = 0$ )	recta horizontal

Cómo se representa

Para dibujar una recta bastan dos puntos; un tercero sirve para comprobar.

Haz una tabla dando valores cómodos a $x$ : $0$ , $1$ , $2$ … Si la pendiente es una fracción, usa múltiplos del denominador para que $y$ salga entero.
Calcula $y$ para cada valor y representa los puntos.
Únelos con una regla: los tres deben quedar alineados.

La ordenada en el origen desplaza la recta

La gráfica de $y = mx + n$ es la de $y = mx$ desplazada $n$ unidades hacia arriba (si $n > 0$ ) o hacia abajo (si $n < 0$ ). Por eso $y = 2x$ , $y = 2x + 3$ e $y = 2x - 2$ tienen la misma inclinación: son rectas paralelas.

En situaciones reales

$n$ es el valor inicial: lo que vale $y$ cuando $x = 0$ (una cuota fija, una altura inicial…).
$m$ es lo que cambia $y$ por cada unidad de $x$ (el precio por unidad, lo que crece o disminuye cada hora…).

Puntos clave

Función afín: $y = mx + n$ ; su gráfica es una recta.
$m$ (pendiente): lo que cambia $y$ cuando $x$ aumenta 1.
$n$ (ordenada en el origen): la recta corta al eje Y en $(0, n)$ .
Lineal: $y = mx$ , pasa por el origen. Constante: $y = n$ , recta horizontal.
Para representarla bastan dos puntos; el tercero comprueba.
$y = mx + n$ es la recta $y = mx$ desplazada $n$ unidades en vertical.
En un problema, $n$ es el valor inicial y $m$ , lo que cambia $y$ por cada unidad de $x$ .

Errores frecuentes

ErrorEn $y = 4 - 3x$ , decir que la pendiente es 4.
Cómo corregirloLa pendiente es el número que multiplica a $x$ , esté donde esté: $y = -3x + 4$ , así que $m = -3$ y $n = 4$ .
ErrorDibujar la función constante $y = -2$ como una recta vertical.
Cómo corregirlo $y = -2$ significa que $y$ vale $-2$ para cualquier $x$ : es una recta horizontal que pasa por $(0, -2)$ .
ErrorElegir $x = 1$ en $y = \dfrac{2}{3}x$ y tener que dibujar $y = 0{,}666…$
Cómo corregirloSi la pendiente es una fracción, da a $x$ valores múltiplos del denominador ( $-3$ , $0$ , $3$ …).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Representar una función afín numérico y gráfico (tabla de valores)
Representa la función $y = 2x - 3$ e indica su pendiente y su ordenada en el origen.

Resolución
Pendiente $m = 2$ ; ordenada en el origen $n = -3$ : la recta corta al eje Y en $(0, -3)$ .

Tabla de valores:

$x$ $0$ $1$ $2$

$y = 2x - 3$ $-3$ $-1$ $1$

Representamos $(0, -3)$ , $(1, -1)$ y $(2, 1)$ y los unimos con una recta. Fíjate: cada vez que $x$ aumenta 1, $y$ aumenta 2 (la pendiente).
Ejemplo 2. Pendiente fraccionaria y función constante gráfico (elegir bien los valores)
Representa en los mismos ejes $y = \dfrac{2}{3}x$ e $y = -2$ . ¿Qué tipo de función es cada una?

Resolución
$y = \dfrac{2}{3}x$ es lineal ( $n = 0$ ): pasa por el origen. Damos a $x$ múltiplos de 3:

$x$ $-3$ $0$ $3$

$y$ $-2$ $0$ $2$

$y = -2$ es constante ( $m = 0$ ): para cualquier $x$ , $y = -2$ . Es la recta horizontal que pasa por $(0, -2)$ .

Las dos rectas se cortan en $(-3, -2)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$
$y = 2x - 3$	$-3$	$-1$	$1$

$x$	$-3$	$0$	$3$
$y$	$-2$	$0$	$2$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada función y di si es lineal, afín (no lineal) o constante: a) $y = -4x + 1$ b) $y = \dfrac{x}{3}$ c) $y = 7 - 2x$ d) $y = -2$ e) $y = 0{,}5x - 3$

Ver solución
a) m = −4, n = 1, afín. b) m = 1/3, n = 0, lineal. c) m = −2, n = 7, afín. d) m = 0, n = −2, constante. e) m = 0,5, n = −3, afín.
a) $m = -4$ , $n = 1$ → afín. b) $y = \dfrac{1}{3}x$ : $m = \dfrac{1}{3}$ , $n = 0$ → lineal. c) $y = -2x + 7$ : $m = -2$ , $n = 7$ → afín. d) $m = 0$ , $n = -2$ → constante. e) $m = 0{,}5$ , $n = -3$ → afín.
2. Media
Haz una tabla de tres puntos y representa en los mismos ejes: a) $y = -x + 2$ b) $y = \dfrac{3}{2}x - 1$

Ver solución
a) Puntos (0, 2), (1, 1), (2, 0). b) Puntos (−2, −4), (0, −1), (2, 2).
a) $x = 0, 1, 2 \;\to\; y = 2, 1, 0$ . Recta decreciente que corta al eje Y en $(0, 2)$ . b) Usamos valores pares: $x = -2, 0, 2 \;\to\; y = -4, -1, 2$ . Recta creciente que corta al eje Y en $(0, -1)$ .
3. Media
Asocia cada recta de la gráfica con su ecuación y explica cómo lo has decidido: $y = 2x + 1 \qquad y = 3 \qquad y = -x + 1$
Ver solución
A: y = −x + 1. B: y = 3. C: y = 2x + 1.
- $y = 3$ es constante: la recta horizontal B.
- $y = 2x + 1$ e $y = -x + 1$ cortan al eje Y en el mismo punto $(0, 1)$ . La de pendiente positiva sube: C es $y = 2x + 1$ . La de pendiente negativa baja: A es $y = -x + 1$ .

Para practicar más

1. Fácil
Representa la función $y = \dfrac{x}{2} + 1$ eligiendo valores pares de $x$ . ¿En qué punto corta al eje Y?

Ver solución
Puntos (−2, 0), (0, 1), (2, 2); corta al eje Y en (0, 1).
$x = -2, 0, 2 \;\to\; y = 0, 1, 2$ . Corta al eje Y en $(0, 1)$ (la ordenada en el origen es $n = 1$ ).
2. Media
Indica la pendiente y la ordenada en el origen: a) $y = 4 - 3x$ b) $y = -x$ c) $y = 2{,}5$ d) $y = \dfrac{x - 6}{3}$

Ver solución
a) m = −3, n = 4. b) m = −1, n = 0. c) m = 0, n = 2,5. d) m = 1/3, n = −2.
a) $y = -3x + 4$ : $m = -3$ , $n = 4$ . b) $y = -1 \cdot x$ : $m = -1$ , $n = 0$ . c) Constante: $m = 0$ , $n = 2{,}5$ . d) Separamos la fracción: $y = \dfrac{x}{3} - \dfrac{6}{3} = \dfrac{1}{3}x - 2$ : $m = \dfrac{1}{3}$ , $n = -2$ .
3. Media
Escribe la ecuación de: a) La función afín de pendiente $-3$ que corta al eje Y en $(0, 2)$ . b) La función lineal de pendiente $\dfrac{1}{2}$ . c) La función constante cuya gráfica pasa por $(5, -1)$ .

Ver solución
a) y = −3x + 2. b) y = x/2. c) y = −1.
a) $m = -3$ , $n = 2$ : $y = -3x + 2$ . b) Lineal → $n = 0$ : $y = \dfrac{1}{2}x$ . c) Constante → $y$ vale siempre lo mismo; como pasa por $(5, -1)$ , $y = -1$ .