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Matemáticas 3.º ESO · Interpretación de gráficas

Comparar dos gráficas en los mismos ejes

Objetivo: Al terminar, sabrás comparar dos gráficas dibujadas en los mismos ejes: cuál es mayor en cada momento, dónde coinciden y cuál cambia más deprisa.

Explicación

Dos gráficas en los mismos ejes

Cuando dos gráficas comparten los ejes, se pueden comparar de un vistazo:

¿Cuál está más arriba? Para un mismo valor de $x$ , la gráfica más alta tiene el valor mayor (más caro, más lejos, más calor…).
¿Dónde se cortan? En el punto de corte las dos magnitudes son iguales. A un lado del corte gana una y al otro, la otra.
¿Cuál cambia más deprisa? La que está más inclinada en ese tramo.
¿Cuánto se diferencian? La distancia vertical entre las dos gráficas para un mismo $x$ .

Para hallar el punto de corte con exactitud, se pueden escribir las dos fórmulas e igualarlas.

Puntos clave

Para un mismo $x$ , la gráfica más alta tiene el valor mayor.
En el punto de corte las dos magnitudes son iguales; a cada lado gana una.
La gráfica más inclinada es la que cambia más deprisa.
La diferencia entre ambas es la distancia vertical entre las gráficas.

Errores frecuentes

ErrorDecir que la gráfica que acaba más arriba es «siempre» la mayor.
Cómo corregirloMira si las gráficas se cortan: antes del corte puede ser al revés.
ErrorConfundir «más alta» con «más inclinada».
Cómo corregirloUna gráfica puede estar más abajo y, sin embargo, crecer más deprisa; acabará alcanzando a la otra.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos tarifas de gimnasio situación real (comparar costes)
Un gimnasio ofrece dos tarifas: A, 30 € de matrícula y 25 € al mes; B, sin matrícula y 40 € al mes. La gráfica muestra el coste total según los meses. a) ¿Cuándo cuestan lo mismo? b) ¿Qué tarifa conviene a quien va a ir 1 mes? ¿Y 6 meses?

Resolución
a) Los puntos coinciden en el mes 2: las dos cuestan 80 € ( $30 + 2 \cdot 25 = 80$ y $2 \cdot 40 = 80$ ). b) Para 1 mes, B (40 €) es más barata que A (55 €). A partir del tercer mes, A es más barata: en 6 meses, A cuesta $30 + 6 \cdot 25 = 180$ € y B, $6 \cdot 40 = 240$ €.

La gráfica de B «sube» más deprisa (40 € por mes frente a 25 €), así que, aunque empiece por debajo, acaba por encima.
Ejemplo 2. Dos corredores en la San Silvestre gráfico (adelantamiento)
La gráfica muestra la distancia recorrida por dos corredores, A y B, en una carrera de 10 km. a) ¿Quién va delante a los 20 minutos? b) ¿Cuándo y en qué kilómetro adelanta uno al otro? c) ¿Quién gana y por cuánto tiempo?

Resolución
a) A los 20 min, B ha recorrido 5 km y A, 4 km ( $\dfrac{10}{50} = 0{,}2$ km/min; $0{,}2 \cdot 20 = 4$ ). Va delante B. b) Las gráficas se cortan cuando han recorrido lo mismo. A partir del minuto 20, B recorre 5 km en 35 min: $\dfrac{1}{7}$ km/min. Igualamos: $0{,}2\,t = 5 + \dfrac{t - 20}{7} \;\Rightarrow\; 1{,}4\,t = 35 + t - 20 \;\Rightarrow\; t = 37{,}5 \text{ min}$ A adelanta a B a los 37,5 min, en el km 7,5. c) Gana A, que llega a los 50 min; B llega a los 55 min, 5 min después.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dos tarifas de teléfono: A, 0,10 € por minuto; B, 8 € fijos al mes más 0,02 € por minuto. La gráfica muestra el coste mensual según los minutos. a) ¿Para cuántos minutos cuestan lo mismo? b) ¿Qué tarifa conviene a quien habla 50 min al mes? ¿Y 150 min?

Ver solución
a) 100 min (10 €). b) 50 min: A (5 € frente a 9 €). 150 min: B (11 € frente a 15 €).
a) Se cortan en $(100, 10)$ : $0{,}10 \cdot 100 = 10$ € y $8 + 0{,}02 \cdot 100 = 10$ €. b) 50 min: A cuesta 5 € y B, 9 €: A. 150 min: A cuesta 15 € y B, 11 €: B.
2. Media
La gráfica muestra la temperatura aproximada en Madrid y en Santander un día de agosto. a) ¿A qué hora es mayor la diferencia de temperatura? ¿Cuánto es? b) ¿Hace más calor en Santander en algún momento? c) ¿En qué ciudad cambia más la temperatura a lo largo del día?

Ver solución
a) A las 16 h, 12 °C. b) No. c) En Madrid (de 20 °C a 36 °C).
a) A las 16 h: $36 - 24 = 12$ °C. Es la mayor distancia vertical entre las gráficas. b) No: la gráfica de Madrid está siempre por encima (la diferencia mínima es de 2 °C, a las 6 h). c) En Madrid varía de 20 °C a 36 °C (16 °C); en Santander, de 18 °C a 24 °C (6 °C). Cambia más en Madrid.
3. Difícil
La gráfica muestra la altura de dos plantas durante 8 semanas. a) ¿Cuál crece más deprisa en las 4 primeras semanas? ¿Y en las 4 últimas? b) ¿Cuándo tienen la misma altura?

Ver solución
a) La 1 (2 cm/semana) y luego la 2 (2 cm/semana). b) A las 3 semanas (8 cm) y a las 5 semanas (11 cm).
a) Semanas 0–4: la planta 1 crece 8 cm (2 cm/semana) y la 2, 4 cm (1 cm/semana): más deprisa la 1. Semanas 4–8: la 1 crece 4 cm (1 cm/semana) y la 2, 8 cm (2 cm/semana): más deprisa la 2. b) Las gráficas se cortan dos veces: a las 3 semanas (8 cm) y a las 5 semanas (11 cm).

Para practicar más

1. Media
Dos empresas de coche compartido cobran: A, 0,30 € por minuto; B, 6 € por reserva más 0,15 € por minuto. a) ¿Para cuántos minutos cuestan lo mismo? Compruébalo en la gráfica. b) ¿Cuál conviene para un viaje de 30 min? ¿Y de 1 hora?

Ver solución
a) 40 min (12 €). b) 30 min: A (9 € frente a 10,50 €). 1 h: B (15 € frente a 18 €).
a) $0{,}30t = 6 + 0{,}15t \Rightarrow 0{,}15t = 6 \Rightarrow t = 40$ min; cuestan 12 €. b) 30 min: A, 9 €; B, 10,50 € → A. 60 min: A, 18 €; B, 15 € → B.
2. Fácil
Dos cubos de 10 L se llenan con dos grifos. La gráfica muestra el volumen de agua de cada uno. a) ¿Cuál tenía agua al principio? ¿Cuál se llena más deprisa? b) ¿Cuándo tienen la misma cantidad de agua? c) ¿Cuál se llena antes?

Ver solución
a) B (4 L); A (2 L/min frente a 1 L/min). b) A los 4 min (8 L). c) A, a los 5 min (B a los 6 min).
a) B empieza con 4 L; A, vacío. A recibe 2 L/min y B, 1 L/min: A se llena más deprisa. b) Se cortan a los 4 min, con 8 L cada uno. c) A, a los 5 min; B se llena a los 6 min.
3. Media
La gráfica muestra la población de dos municipios, X e Y, entre 1990 y 2020 (datos inventados). a) ¿Qué municipio tenía más habitantes en 1990? ¿Y en 2020? b) ¿En qué año tenían la misma población? c) ¿Cuántos habitantes ganó cada uno al año?

Ver solución
a) Y en 1990; X en 2020. b) En 2010 (16 000). c) X, 400 al año; Y, 100 al año.
a) En 1990, Y (14 000) frente a X (8000). En 2020, X (20 000) frente a Y (17 000). b) Se cortan en 2010, con 16 000 habitantes. c) X ganó $\dfrac{12\,000}{30} = 400$ habitantes al año; Y, $\dfrac{3000}{30} = 100$ .