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Matemáticas 3.º ESO · Interpretación de gráficas

Recuerda: del relato a la gráfica (llenado de recipientes)

Objetivo: Al terminar, sabrás esbozar la gráfica cualitativa de un relato o del llenado de recipientes de distintas formas, justificando la forma de cada tramo.

Recuerda

Gráficas cualitativas

Para dibujar la gráfica de un relato no hacen falta muchos números: basta con que la forma sea correcta (una gráfica cualitativa).

Decide qué va en cada eje (normalmente, el tiempo en el horizontal) y marca los datos que conozcas.
Divide el relato en tramos y decide para cada uno si la magnitud sube, baja o se mantiene.
Decide si cambia deprisa (tramo muy inclinado) o despacio (poco inclinado), y si lo hace a ritmo constante (segmento recto) o cada vez más deprisa o más despacio (curva).
Comprueba que la gráfica es de una función: nada de tramos verticales ni de «volver atrás» en el tiempo.

Llenado de recipientes

Un grifo echa siempre el mismo caudal (los mismos litros por minuto). La altura del agua sube:

despacio donde el recipiente es ancho, y deprisa donde es estrecho;
a ritmo constante (segmento recto) si las paredes son verticales (cilindros, prismas);
cada vez más despacio (curva que se va aplanando) si el recipiente se ensancha hacia arriba, como una copa;
cada vez más deprisa (curva cada vez más inclinada) si se estrecha hacia arriba, como un cono apoyado en su base o un matraz.

Puntos clave

Una gráfica cualitativa muestra la forma: sube, baja o se mantiene; deprisa o despacio.
Ritmo constante: segmento recto. Ritmo que cambia: curva.
Al llenar un recipiente, la altura sube despacio en las zonas anchas y deprisa en las estrechas.
Paredes verticales: segmento recto. Recipiente que se ensancha: curva que se aplana. Que se estrecha: curva cada vez más inclinada.

Errores frecuentes

ErrorDibujar la forma del recipiente en lugar de la gráfica altura-tiempo.
Cómo corregirloLa gráfica no es el perfil del recipiente: en un recipiente ancho abajo la gráfica empieza poco inclinada.
ErrorDibujar segmentos rectos en recipientes con paredes inclinadas.
Cómo corregirloSi la anchura cambia con la altura, el ritmo de subida también cambia: la gráfica es curva.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos cilindros, uno sobre otro experimental (con datos)
Un recipiente está formado por dos cilindros, uno sobre otro. El de abajo tiene una base de 400 cm² y 20 cm de altura; el de arriba, una base de 100 cm² y 20 cm de altura. Se llena con un grifo que echa 2 L por minuto ( $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$ ). Dibuja la gráfica de la altura del agua según el tiempo.

Resolución
Cilindro de abajo: volumen $400 \cdot 20 = 8000\ \text{cm}^3 = 8$ L. Tarda $8 : 2 = 4$ min. La altura sube $\dfrac{20}{4} = 5$ cm/min.

Cilindro de arriba: volumen $100 \cdot 20 = 2000\ \text{cm}^3 = 2$ L. Tarda $2 : 2 = 1$ min. La altura sube $\dfrac{20}{1} = 20$ cm/min.

La gráfica son dos segmentos: de $(0, 0)$ a $(4, 20)$ y de $(4, 20)$ a $(5, 40)$ . El segundo es cuatro veces más inclinado, porque el cilindro de arriba tiene una base cuatro veces menor.
Ejemplo 2. La pizza congelada relato (gráfica cualitativa)
Sacamos una pizza del congelador, a $-18$ °C, y la dejamos 20 minutos en la encimera, donde se templa un poco, hasta unos $-5$ °C. La metemos 15 minutos en el horno, donde se calienta muy deprisa hasta 90 °C. La sacamos y, mientras la cortamos, en 10 minutos se enfría hasta 40 °C. Esboza la gráfica de su temperatura.

Resolución
- De 0 a 20 min: sube despacio de $-18$ °C a $-5$ °C (tramo poco inclinado).
- De 20 a 35 min: sube deprisa hasta 90 °C (tramo muy inclinado). Al final sube algo más despacio porque se va acercando a la temperatura del horno.
- De 35 a 45 min: baja de 90 °C a 40 °C, más deprisa al principio (cuando está más caliente) y luego más despacio.
No hay saltos: la temperatura cambia poco a poco.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Tres recipientes de la misma altura (20 cm) y la misma capacidad se llenan con el mismo grifo en 10 minutos:
1. un cilindro;
2. una copa cónica, con el vértice abajo (se ensancha hacia arriba);
3. un cono apoyado sobre su base (se estrecha hacia arriba).
Asocia cada recipiente con su gráfica (A, B o C) y explícalo.
Ver solución
1 → B; 2 → A; 3 → C.
- 1 → B: el cilindro tiene la misma anchura a cualquier altura: la altura sube a ritmo constante (recta).
- 2 → A: la copa es estrecha abajo y ancha arriba: al principio la altura sube muy deprisa y luego cada vez más despacio (la curva se aplana).
- 3 → C: el cono es ancho abajo y estrecho arriba: sube despacio al principio y cada vez más deprisa.
2. Media
Lucía sale de casa andando hacia la parada del autobús, que está a 400 m, y tarda 5 minutos. Espera el autobús 5 minutos. El autobús la lleva al instituto, 3 km más allá, en 10 minutos. Dibuja la gráfica de la distancia de Lucía a su casa según el tiempo.
Ver solución
Segmentos de (0, 0) a (5, 400), de (5, 400) a (10, 400) y de (10, 400) a (20, 3400).
- De 0 a 5 min: segmento de $(0, 0)$ a $(5, 400)$ (80 m/min).
- De 5 a 10 min: horizontal a 400 m (espera).
- De 10 a 20 min: segmento de $(10, 400)$ a $(20, 3400)$ : 300 m/min, mucho más inclinado.
3. Media
Un recipiente está formado por un cilindro estrecho abajo y un cilindro ancho encima, de la misma altura. Se llena con un grifo de caudal constante. Esboza la gráfica de la altura del agua según el tiempo.

Ver solución
Dos segmentos: el primero muy inclinado y el segundo poco inclinado.
Abajo el recipiente es estrecho: la altura sube deprisa (segmento muy inclinado). Al llegar al cilindro ancho, sube despacio (segmento poco inclinado) y tarda más en llenar la misma altura. Como las paredes son verticales, los dos tramos son rectos.

Para practicar más

1. Media
Una pecera tiene forma de esfera (es estrecha abajo, ancha en el centro y estrecha arriba). Se llena con un grifo de caudal constante. Esboza la gráfica de la altura del agua según el tiempo y explica su forma.

Ver solución
Curva en forma de S: sube deprisa, luego despacio (en el centro) y otra vez deprisa.
Al principio la pecera es estrecha: la altura sube deprisa. Hacia el centro se ensancha: sube cada vez más despacio (la curva se aplana, lo menos inclinado está a media altura). Luego se estrecha: vuelve a subir cada vez más deprisa. La gráfica tiene forma de S tumbada.
2. Media
Carlos sale en patinete hacia casa de su abuela, a 2 km. A los 5 minutos, cuando lleva 1 km, se da cuenta de que se ha dejado el regalo y vuelve a casa en 4 minutos. Tarda 1 minuto en cogerlo y vuelve a salir; esta vez llega a casa de su abuela en 8 minutos. Dibuja la gráfica de su distancia a casa.
Ver solución
Segmentos (0, 0)–(5, 1000), (5, 1000)–(9, 0), (9, 0)–(10, 0), (10, 0)–(18, 2000).
- De 0 a 5 min: sube de 0 a 1000 m (200 m/min).
- De 5 a 9 min: baja de 1000 m a 0 (vuelve a casa, 250 m/min).
- De 9 a 10 min: horizontal en 0 (está en casa).
- De 10 a 18 min: sube de 0 a 2000 m (250 m/min).
3. Difícil
Un recipiente está formado por un cilindro de 6 L de capacidad y 15 cm de altura, y encima otro cilindro de 18 L y también 15 cm de altura. Se llena con un grifo que echa 3 L por minuto. a) ¿Cuánto tarda en llenarse cada parte? b) ¿A qué ritmo (cm/min) sube el agua en cada parte? c) Dibuja la gráfica de la altura según el tiempo.

Ver solución
a) 2 min y 6 min. b) 7,5 cm/min y 2,5 cm/min. c) Segmentos (0, 0)–(2, 15) y (2, 15)–(8, 30).
a) Abajo: $6 : 3 = 2$ min. Arriba: $18 : 3 = 6$ min. b) Abajo: $15 : 2 = 7{,}5$ cm/min. Arriba: $15 : 6 = 2{,}5$ cm/min. c) Segmento de $(0, 0)$ a $(2, 15)$ y segmento menos inclinado de $(2, 15)$ a $(8, 30)$ . El cilindro de arriba es más ancho (tiene el triple de capacidad con la misma altura).