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Matemáticas 3.º ESO · Crecimiento, máximos y mínimos

Recuerda: crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos en una gráfica

Objetivo: Al terminar, sabrás leer en una gráfica los intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia, y localizar sus máximos y mínimos relativos.

Recuerda

Crecimiento y decrecimiento

Las gráficas se leen de izquierda a derecha, como un texto. Al avanzar hacia la derecha ( $x$ aumenta) nos fijamos en qué hace $y$ :

Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar $x$ , también aumenta $y$ : la gráfica sube.
Es decreciente si, al aumentar $x$ , $y$ disminuye: la gráfica baja.
Es constante si $y$ no cambia: la gráfica es horizontal.

Cómo se escriben los intervalos

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se escriben con valores de $x$ (los del eje horizontal) y abiertos: « $f$ crece en $(-4, -2)$ » significa que la gráfica sube desde $x = -4$ hasta $x = -2$ .

Si crece (o decrece) en varios trozos, se unen con el símbolo $\cup$ , que se lee «unión»: « $f$ crece en $(-4, -2) \cup (1, 3)$ ».

Máximos y mínimos relativos

Una función tiene un máximo relativo en un punto si ahí pasa de crecer a decrecer: es más alto que los puntos de su alrededor (una «cima»).
Tiene un mínimo relativo si pasa de decrecer a crecer: es más bajo que los puntos de alrededor (un «valle»).

Un máximo o un mínimo se da con las dos coordenadas: «máximo relativo en $(-2, 4)$ », es decir, en $x = -2$ la función vale 4.

Se llaman relativos porque solo se comparan con los puntos cercanos: una función puede tener varios máximos relativos y uno ser más bajo que otro. El punto más alto de toda la gráfica es el máximo absoluto, y el más bajo, el mínimo absoluto.

Puntos clave

La gráfica se recorre de izquierda a derecha: si sube, crece; si baja, decrece; si es horizontal, es constante.
Los intervalos de crecimiento se escriben con valores de $x$ y abiertos.
Si crece o decrece en varios trozos, los intervalos se unen con $\cup$ .
Máximo relativo: la función pasa de crecer a decrecer. Mínimo relativo: pasa de decrecer a crecer.
Un máximo o un mínimo se indica con el punto $(x, y)$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir los intervalos de crecimiento con los valores del eje Y.
Cómo corregirloCrecer o decrecer se refiere a «dónde», y eso lo dice $x$ : mira el eje horizontal.
ErrorLeer la gráfica de derecha a izquierda y decir que crece donde en realidad baja.
Cómo corregirloRecorre siempre la gráfica de izquierda a derecha, como cuando lees.
ErrorDar solo la $x$ o solo la $y$ de un máximo.
Cómo corregirloEscribe el punto: «máximo relativo en $(-2, 4)$ » dice dónde está ( $x = -2$ ) y cuánto vale ( $y = 4$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un día de invierno en Navacerrada situación real (gráfica)
La gráfica muestra la temperatura aproximada en el puerto de Navacerrada a lo largo de un día de enero (de 0 h a 24 h). a) ¿Entre qué horas sube la temperatura? ¿Entre cuáles baja? b) ¿Cuándo se alcanza la temperatura mínima y cuál es? ¿Y la máxima?

Resolución
a) Leemos de izquierda a derecha:
- Baja de 0 h a 7 h y de 15 h a 24 h: decrece en $(0, 7) \cup (15, 24)$ .
- Sube de 7 h a 15 h: crece en $(7, 15)$ .
b) Mínimo relativo en $(7, -4)$ : a las 7 h, $-4$ °C (justo antes de amanecer, pasa de bajar a subir). Máximo relativo en $(15, 5)$ : a las 15 h, 5 °C (pasa de subir a bajar).
Ejemplo 2. Una curva sin contexto gráfico
La figura muestra la gráfica de $f(x) = \dfrac{x^3 - 12x}{4}$ para $x$ entre $-4$ y $4$ . Indica dónde crece, dónde decrece y sus máximos y mínimos relativos.

Resolución
- Crece en $(-4, -2) \cup (2, 4)$ .
- Decrece en $(-2, 2)$ .
- Máximo relativo en $(-2, 4)$ : pasa de crecer a decrecer. Comprobación: $f(-2) = \dfrac{-8 + 24}{4} = 4$ .
- Mínimo relativo en $(2, -4)$ : pasa de decrecer a crecer. $f(2) = \dfrac{8 - 24}{4} = -4$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica de la figura une los puntos $(-5, -2)$ , $(-3, 1)$ , $(-1, 1)$ , $(1, 4)$ , $(4, -1)$ y $(6, 2)$ . Indica los intervalos donde crece, donde decrece y donde es constante, y sus máximos y mínimos relativos.
Ver solución
Crece en (−5, −3) ∪ (−1, 1) ∪ (4, 6); constante en (−3, −1); decrece en (1, 4). Máximo relativo en (1, 4); mínimo relativo en (4, −1).
- Crece en $(-5, -3) \cup (-1, 1) \cup (4, 6)$ .
- Es constante en $(-3, -1)$ .
- Decrece en $(1, 4)$ .
- Máximo relativo en $(1, 4)$ (pasa de subir a bajar) y mínimo relativo en $(4, -1)$ (pasa de bajar a subir).
2. Media
Una noria de 40 m de diámetro, cuyo punto más bajo está a 2 m del suelo, da una vuelta cada 6 minutos. La gráfica muestra la altura de una cabina durante los primeros 10 minutos. a) ¿En qué intervalos sube la cabina? ¿En cuáles baja? b) ¿Cuándo está en lo más alto y a qué altura? ¿Y en lo más bajo?

Ver solución
a) Sube en (0, 3) ∪ (6, 9); baja en (3, 6) ∪ (9, 10). b) Lo más alto a los 3 y a los 9 min (42 m); lo más bajo a los 6 min (2 m), igual que al empezar.
a) Crece en $(0, 3) \cup (6, 9)$ y decrece en $(3, 6) \cup (9, 10)$ . b) Máximos relativos en $(3, 42)$ y $(9, 42)$ : a los 3 y a los 9 minutos está a $2 + 40 = 42$ m. Mínimo relativo en $(6, 2)$ : a los 6 minutos vuelve a estar abajo, a 2 m (como en $t = 0$ ).

Para practicar más

1. Fácil
La gráfica de $f$ une los puntos $(-4, 3)$ , $(-1, -2)$ , $(2, 2)$ y $(5, -3)$ . Indica dónde crece y dónde decrece, y sus máximos y mínimos relativos.

Ver solución
Crece en (−1, 2); decrece en (−4, −1) ∪ (2, 5). Mínimo relativo en (−1, −2); máximo relativo en (2, 2).
Crece en $(-1, 2)$ ; decrece en $(-4, -1) \cup (2, 5)$ . Mínimo relativo en $(-1, -2)$ y máximo relativo en $(2, 2)$ .
2. Media
La gráfica muestra el número aproximado de dispositivos conectados a la wifi de un instituto entre las 8 h y las 15 h. a) ¿En qué intervalos aumenta el número de conectados? ¿En cuáles disminuye? b) ¿A qué horas hay máximos relativos? ¿Y mínimos? ¿Qué puede pasar a las 11 h?

Ver solución
a) Aumenta en (8, 9) ∪ (11, 12); disminuye en (9, 11) ∪ (12, 15). b) Máximos relativos en (9, 320) y (12, 560); mínimo relativo en (11, 280), probablemente por el recreo.
a) Crece en $(8, 9) \cup (11, 12)$ y decrece en $(9, 11) \cup (12, 15)$ . b) Máximos relativos en $(9, 320)$ y $(12, 560)$ ; el mayor número de conectados es a las 12 h, con 560. Mínimo relativo en $(11, 280)$ : puede ser la hora del recreo, cuando muchos alumnos salen al patio.
3. Media
Dibuja la gráfica de una función definida para $x$ entre 0 y 6 que crezca en $(0, 2) \cup (4, 6)$ , decrezca en $(2, 4)$ , tenga un máximo relativo en $(2, 3)$ y un mínimo relativo en $(4, -1)$ .

Ver solución
Respuesta abierta: p. ej., la línea quebrada que une (0, 0), (2, 3), (4, −1) y (6, 2).
Respuesta abierta. Por ejemplo, la línea quebrada que une $(0, 0)$ , $(2, 3)$ , $(4, -1)$ y $(6, 2)$ : sube hasta $(2, 3)$ , baja hasta $(4, -1)$ y vuelve a subir.