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Matemáticas 3.º ESO · Funciones: concepto, dominio y recorrido

Recuerda: el dominio en situaciones reales

Objetivo: Al terminar, sabrás decidir qué valores tienen sentido en una función que describe una situación real (tiempos, cantidades no negativas, números enteros) y escribir su dominio y su recorrido.

Recuerda

El dominio en un problema real

Cuando una función describe una situación real, su dominio no lo decide solo la fórmula: hay que preguntarse qué valores de $x$ tienen sentido.

Tiempos: normalmente $t \ge 0$ (empezamos a contar en $t = 0$ ) y la situación acaba en algún momento: un depósito que se vacía, una pelota que llega al suelo…
Longitudes, áreas, volúmenes, precios: no pueden ser negativos; a veces tampoco pueden ser 0.
Cantidades que se cuentan (personas, entradas, cuadernos): solo números naturales, $\{1, 2, 3, \dots\}$ . La gráfica es entonces un conjunto de puntos sueltos, que no se unen.
Límites físicos: una sala con 120 butacas, un depósito de 600 L, un móvil con el 100 % de batería…

El recorrido son los valores que toma la función dentro de ese dominio.

Cómo hacerlo: 1) piensa qué representa $x$ y desde dónde empieza; 2) busca dónde acaba la situación (a veces resolviendo una ecuación); 3) decide si $x$ puede tomar cualquier valor o solo números enteros.

Puntos clave

En un problema real, el dominio son los valores de $x$ que tienen sentido en la situación.
El tiempo suele empezar en $t = 0$ y acabar cuando termina el fenómeno (se vacía, llega al suelo…).
Si la variable solo toma valores enteros, el dominio es un conjunto de números y la gráfica son puntos sueltos.
El recorrido son los valores que toma la función en ese dominio.

Errores frecuentes

ErrorDar como dominio «todos los números reales» porque la fórmula se puede calcular para cualquier $x$ .
Cómo corregirloComprueba si tienen sentido los valores negativos o muy grandes: un volumen negativo o 200 alumnos en un autobús de 55 plazas no son posibles.
ErrorUnir con una línea los puntos de una función que solo tiene sentido para números enteros.
Cómo corregirloNo se puede comprar 2,5 entradas: dibuja solo los puntos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un depósito que se vacía situación real (gráfica)
Un depósito de riego de un huerto urbano tiene 600 L de agua y se vacía a razón de 40 L por minuto. El volumen que queda es $V(t) = 600 - 40t$ (litros, con $t$ en minutos). a) ¿Cuánto tarda en vaciarse? b) ¿Cuál es el dominio con sentido de $V$ ? ¿Y su recorrido?

Resolución
a) Se vacía cuando $V(t) = 0$ : $600 - 40t = 0 \Rightarrow t = 15$ min.

b) El tiempo empieza en $t = 0$ y la situación acaba en $t = 15$ (después ya no queda agua; la fórmula daría volúmenes negativos, que no tienen sentido): $\text{Dom}\, V = [0, 15]$ El volumen baja desde 600 L hasta 0 L: $\text{Rec}\, V = [0, 600]$ .
Ejemplo 2. La excursión en autobús situación real (variable discreta)
Alquilar un autobús de 55 plazas para una excursión a Segovia cuesta 660 €, que se reparten a partes iguales entre los $n$ alumnos que van: $C(n) = \dfrac{660}{n}$ euros por alumno. a) Calcula $C(30)$ y $C(55)$ . b) ¿Tiene sentido $C(0)$ ? ¿Y $C(60)$ ? ¿Y $C(30{,}5)$ ? ¿Cuál es el dominio?

Resolución
a) $C(30) = \dfrac{660}{30} = 22$ € y $C(55) = \dfrac{660}{55} = 12$ €.

b) $C(0)$ no tiene sentido (no se puede dividir entre 0, y además no habría excursión). $C(60)$ tampoco: solo hay 55 plazas. $C(30{,}5)$ tampoco: no hay medio alumno.

El dominio son los números naturales del 1 al 55: $\text{Dom}\, C = \{1, 2, 3, \dots, 55\}$ Su gráfica son 55 puntos sueltos. Cuantos más alumnos, menos paga cada uno: de 660 € (si va uno solo) a 12 € (si se llena).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una tienda vende baldosas cuadradas de cualquier tamaño hasta 60 cm de lado. El área de una baldosa de lado $x$ cm es $A(x) = x^2$ (cm²). Indica el dominio y el recorrido de $A$ en esta situación.

Ver solución
Dom = (0, 60]; Rec = (0, 3600]
El lado tiene que ser positivo y como mucho 60 cm: $\text{Dom}\, A = (0, 60]$ (el 0 no está: no hay baldosa de lado 0). El área va creciendo desde casi 0 hasta $60^2 = 3600$ cm²: $\text{Rec}\, A = (0, 3600]$ .
2. Fácil
Un móvil tiene el 75 % de batería y, mientras ves vídeos, pierde un 5 % cada hora: $B(t) = 75 - 5t$ (en %, con $t$ en horas). ¿Cuándo se agota? Indica el dominio y el recorrido de $B$ .

Ver solución
Al cabo de 15 h. Dom = [0, 15]; Rec = [0, 75]
Se agota cuando $75 - 5t = 0 \Rightarrow t = 15$ h. $\text{Dom}\, B = [0, 15]$ y $\text{Rec}\, B = [0, 75]$ .
3. Media
En una papelería cada cuaderno cuesta 1,20 € y, por la vuelta al cole, cada cliente puede comprar como máximo 10. a) Escribe el precio $P(n)$ de $n$ cuadernos e indica su dominio. b) Representa la función en los ejes. ¿Se deben unir los puntos?

Ver solución
a) P(n) = 1,20n; Dom = {1, 2, …, 10}. b) 10 puntos sueltos, sin unir.
a) $P(n) = 1{,}20n$ , con $\text{Dom}\, P = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$ . (Se puede incluir el 0 si se acepta «no comprar nada».) b) Son los puntos $(1;\ 1{,}20)$ , $(2;\ 2{,}40)$ , …, $(10;\ 12)$ . No se unen, porque no se pueden comprar 1,5 cuadernos. El recorrido es $\{1{,}20;\ 2{,}40;\ \dots;\ 12\}$ .

Para practicar más

1. Media
Desde una terraza a 20 m de altura se deja caer una piedra. Su altura es aproximadamente $h(t) = 20 - 5t^2$ (metros, con $t$ en segundos). ¿Cuándo llega al suelo? Indica el dominio y el recorrido de $h$ en esta situación.

Ver solución
A los 2 s. Dom = [0, 2]; Rec = [0, 20]
Llega al suelo cuando $h(t) = 0$ : $20 - 5t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2$ s (la solución $t = -2$ no tiene sentido). $\text{Dom}\, h = [0, 2]$ ; la altura baja de 20 m a 0 m: $\text{Rec}\, h = [0, 20]$ .
2. Fácil
Una piscina de 50 m³ tiene 10 m³ de agua y se llena a 5 m³ por hora: $V(t) = 10 + 5t$ . ¿Cuánto tarda en llenarse? Indica el dominio y el recorrido de $V$ .

Ver solución
8 h. Dom = [0, 8]; Rec = [10, 50]
Se llena cuando $10 + 5t = 50 \Rightarrow t = 8$ h. $\text{Dom}\, V = [0, 8]$ y $\text{Rec}\, V = [10, 50]$ .
3. Media
Una sala de cine de 120 butacas cobra 7 € por entrada. La recaudación de una sesión es $R(n) = 7n$ , donde $n$ es el número de espectadores. Indica el dominio y el recorrido de $R$ . ¿Cómo es su gráfica?

Ver solución
Dom = {0, 1, …, 120}; Rec = {0, 7, 14, …, 840}; puntos sueltos.
$n$ es un número natural entre 0 (sala vacía) y 120 (llena): $\text{Dom}\, R = \{0, 1, 2, \dots, 120\}$ . Recorrido: $\{0, 7, 14, \dots, 840\}$ , ya que $7 \cdot 120 = 840$ €. La gráfica son 121 puntos sueltos alineados, que no se unen.