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Explicación

Crecer y decrecer, con precisión

Una función $f$ es:

creciente en un intervalo si, para dos valores cualesquiera $x_1 < x_2$ de ese intervalo, se cumple $f(x_1) < f(x_2)$ ;
decreciente si $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ ;
constante si $f(x_1) = f(x_2)$ .

Para comprobarlo en un ejemplo, elige dos valores $x_1 < x_2$ del intervalo y compara sus imágenes.

Cómo se escribe la monotonía

Con valores de $x$ y con intervalos abiertos: en el punto exacto donde cambia, la función no crece ni decrece.
Si hay varios intervalos, se unen con $\cup$ : «crece en $(-6, -4) \cup (-1, 2)$ ».
Solo dentro del dominio: si la función empieza en $x = -6$ , ningún intervalo puede empezar antes.

Extremos relativos y absolutos

Máximo relativo en $x = a$ : $f(a)$ es mayor que los valores de la función cerca de $a$ . La función pasa de crecer a decrecer.
Mínimo relativo en $x = a$ : $f(a)$ es menor que los valores cercanos. Pasa de decrecer a crecer.
Máximo absoluto: el mayor valor que toma la función en todo su dominio. Mínimo absoluto: el menor.

	Relativo	Absoluto
Compara con…	los puntos cercanos	todos los puntos
Puede haber…	varios	un solo valor (aunque se alcance en varios puntos)
¿Puede estar en un extremo del dominio?	no	sí

Un máximo relativo puede ser también absoluto, o no. Si la función sigue subiendo sin fin, no tiene máximo absoluto. Cuando la función tiene máximo y mínimo absolutos y no tiene saltos, su recorrido es $[\text{mínimo}, \text{máximo}]$ .

Puntos clave

Creciente: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Decreciente: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ .
La monotonía se da con intervalos abiertos de $x$ , unidos con $\cup$ , y dentro del dominio.
Extremo relativo: comparado con los puntos cercanos. Extremo absoluto: comparado con todo el dominio.
El máximo (o mínimo) absoluto puede estar en un extremo del dominio, alcanzarse en varios puntos o no existir.
Los extremos se dan como puntos: «mínimo absoluto en $(-1, -1)$ ».

Errores frecuentes

ErrorEscribir «crece en $(-6, -4)$ y $(-1, 2)$ » o usar corchetes: «crece en $[-1, 2]$ ».
Cómo corregirloUsa $\cup$ para unir intervalos y paréntesis: $(-6, -4) \cup (-1, 2)$ .
ErrorPensar que el máximo absoluto siempre es un máximo relativo.
Cómo corregirloMira los extremos del dominio: si la gráfica acaba más arriba que cualquier cima, el máximo absoluto está en ese extremo.
ErrorCreer que comprobar dos valores demuestra que una función crece en todo el intervalo.
Cómo corregirloDos valores solo lo ilustran. Para funciones afines sí se puede razonar en general: si $x_1 < x_2$ , $3x_1 < 3x_2$ y por tanto $3x_1 - 1 < 3x_2 - 1$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cimas que no son la más alta gráfico
La gráfica de $f$ es la línea quebrada que une $(-6, 2)$ , $(-4, 5)$ , $(-1, -1)$ , $(2, 3)$ , $(4, 1)$ y $(6, 6)$ ; su dominio es $[-6, 6]$ . a) Estudia su crecimiento y decrecimiento. b) Halla sus máximos y mínimos relativos y absolutos. c) ¿Cuál es su recorrido?

Resolución
a) Crece en $(-6, -4) \cup (-1, 2) \cup (4, 6)$ y decrece en $(-4, -1) \cup (2, 4)$ .

b)
- Máximos relativos: $(-4, 5)$ y $(2, 3)$ (pasa de crecer a decrecer).
- Mínimos relativos: $(-1, -1)$ y $(4, 1)$ (pasa de decrecer a crecer).
- Máximo absoluto: el valor más alto es $6$ , en $x = 6$ : máximo absoluto en $(6, 6)$ . Está en el extremo del dominio, así que no es relativo; y ninguno de los máximos relativos es absoluto.
- Mínimo absoluto: el valor más bajo es $-1$ : mínimo absoluto en $(-1, -1)$ , que además es relativo.
c) La gráfica no tiene saltos, así que $\text{Rec}\, f = [-1, 6]$ .
Ejemplo 2. El corral más grande situación real (fórmula y gráfica)
Con 40 m de valla se quiere cercar un corral rectangular junto a la pared de una granja escuela, de modo que la pared hace de cuarto lado. Si los dos lados perpendiculares a la pared miden $x$ metros, el lado paralelo mide $40 - 2x$ y el área es $A(x) = x \cdot (40 - 2x)$ a) ¿Qué valores puede tomar $x$ ? b) Usa la gráfica para estudiar la monotonía y los extremos de $A$ . ¿Qué medidas debe tener el corral para que su área sea máxima?

Resolución
a) $x$ es una longitud y $40 - 2x$ también debe ser positiva o nula: $0 \le x \le 20$ . $\text{Dom}\, A = [0, 20]$ .

b) Con algunos valores: $A(5) = 5 \cdot 30 = 150$ ; $A(10) = 10 \cdot 20 = 200$ ; $A(15) = 15 \cdot 10 = 150$ .
- $A$ crece en $(0, 10)$ y decrece en $(10, 20)$ .
- Máximo relativo y absoluto en $(10, 200)$ .
- Mínimo absoluto: $A = 0$ , en $x = 0$ y en $x = 20$ (extremos del dominio: no hay corral).
El corral de mayor área mide 10 m × 20 m (lado paralelo a la pared: $40 - 20 = 20$ m) y tiene 200 m².
Ejemplo 3. Comprobar con la definición numérico
a) Comprueba que $f(x) = -2x + 5$ es decreciente. b) Comprueba con dos ejemplos que $g(x) = x^2$ decrece en $(-\infty, 0)$ y crece en $(0, +\infty)$ .

Resolución
a) Por ejemplo, $x_1 = 1 < x_2 = 4$ : $f(1) = 3$ y $f(4) = -3$ ; $f(1) > f(4)$ . ✔ En general: si $x_1 < x_2$ , al multiplicar por $-2$ cambia el sentido de la desigualdad: $-2x_1 > -2x_2$ , y sumando 5, $f(x_1) > f(x_2)$ . Es decreciente en todo $\mathbb{R}$ .

b) En $(-\infty, 0)$ : $x_1 = -3 < x_2 = -1$ ; $g(-3) = 9 > g(-1) = 1$ → decrece. ✔ En $(0, +\infty)$ : $x_1 = 1 < x_2 = 3$ ; $g(1) = 1 < g(3) = 9$ → crece. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica de $f$ une los puntos $(-5, -3)$ , $(-2, 4)$ , $(1, 0)$ , $(4, 3)$ y $(7, -4)$ , y su dominio es $[-5, 7]$ . Estudia su monotonía y halla sus extremos relativos y absolutos.
Ver solución
Crece en (−5, −2) ∪ (1, 4); decrece en (−2, 1) ∪ (4, 7). Máx. relativos: (−2, 4) y (4, 3); mín. relativo: (1, 0). Máx. absoluto: (−2, 4); mín. absoluto: (7, −4).
- Crece en $(-5, -2) \cup (1, 4)$ ; decrece en $(-2, 1) \cup (4, 7)$ .
- Máximos relativos en $(-2, 4)$ y $(4, 3)$ ; mínimo relativo en $(1, 0)$ .
- Máximo absoluto en $(-2, 4)$ (también relativo). Mínimo absoluto en $(7, -4)$ , en el extremo del dominio (no es relativo).
2. Media
La figura muestra la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x$ en el intervalo $[-2, 2]$ . Un compañero ha escrito: « $f$ crece en $(-2, 2)$ y $(1, 2)$ , y decrece en $[-1, 1]$ . Tiene un máximo en 2 y un mínimo en $-2$ .» Encuentra los errores y escribe la respuesta correcta, distinguiendo extremos relativos y absolutos.
Ver solución
Crece en (−2, −1) ∪ (1, 2); decrece en (−1, 1). Máx. relativo (−1, 2); mín. relativo (1, −2). Máx. absoluto 2, en x = −1 y x = 2; mín. absoluto −2, en x = −2 y x = 1.
Errores: no crece en todo $(-2, 2)$ (entre $-1$ y $1$ la gráfica baja); se une con «y» en lugar de $\cup$ ; $[-1, 1]$ debe ser abierto; los extremos se dan como puntos y hay que decir si son relativos o absolutos.

Correcto:
- Crece en $(-2, -1) \cup (1, 2)$ ; decrece en $(-1, 1)$ .
- Máximo relativo en $(-1, 2)$ : $f(-1) = -1 + 3 = 2$ . Mínimo relativo en $(1, -2)$ : $f(1) = 1 - 3 = -2$ .
- Como $f(2) = 8 - 6 = 2$ y $f(-2) = -8 + 6 = -2$ , el máximo absoluto es 2 y se alcanza en dos puntos, $(-1, 2)$ y $(2, 2)$ ; el mínimo absoluto es $-2$ , en $(-2, -2)$ y $(1, -2)$ .
3. Media
a) Comprueba con dos valores y razona en general que $f(x) = 3x - 1$ es creciente. b) ¿Es creciente, decreciente o constante $h(x) = 4$ ? Justifícalo con la definición.

Ver solución
a) Creciente (p. ej., f(−2) = −7 < f(5) = 14). b) Constante.
a) $x_1 = -2 < x_2 = 5$ : $f(-2) = -7 < f(5) = 14$ . En general, si $x_1 < x_2$ , entonces $3x_1 < 3x_2$ y $3x_1 - 1 < 3x_2 - 1$ : $f(x_1) < f(x_2)$ . Creciente. b) Para cualesquiera $x_1 < x_2$ , $h(x_1) = h(x_2) = 4$ : constante. Su gráfica es una recta horizontal y no tiene máximos ni mínimos relativos.
4. Difícil
La gráfica muestra la potencia eléctrica (en vatios) que consume una vivienda de Madrid a lo largo de un día. a) Indica los máximos y mínimos relativos y explica qué puede estar pasando en cada uno. b) ¿Cuáles son el máximo y el mínimo absolutos? c) ¿En qué intervalos aumenta el consumo?

Ver solución
a) Máx. relativos (8, 2500), (14, 2000), (21, 4000); mín. relativos (4, 300), (11, 1200), (16, 1000). b) Máx. absoluto (21, 4000); mín. absoluto (4, 300). c) (4, 8) ∪ (11, 14) ∪ (16, 21).
a) Máximos relativos: $(8, 2500)$ (desayuno, duchas), $(14, 2000)$ (comida) y $(21, 4000)$ (cena, lavadora, luces). Mínimos relativos: $(4, 300)$ (de madrugada solo funcionan la nevera y poco más), $(11, 1200)$ y $(16, 1000)$ (casa casi vacía). b) Máximo absoluto en $(21, 4000)$ : a las 21 h, 4000 W. Mínimo absoluto en $(4, 300)$ : a las 4 h, 300 W. c) Crece en $(4, 8) \cup (11, 14) \cup (16, 21)$ .

Para practicar más

1. Fácil
La gráfica de $f$ une los puntos $(-3, 0)$ , $(-1, -3)$ , $(2, 4)$ , $(4, 2)$ y $(6, 5)$ ; su dominio es $[-3, 6]$ . Estudia su monotonía y sus extremos relativos y absolutos. ¿Cuál es su recorrido?
Ver solución
Crece en (−1, 2) ∪ (4, 6); decrece en (−3, −1) ∪ (2, 4). Máx. relativo (2, 4); mín. relativos (−1, −3) y (4, 2). Máx. absoluto (6, 5); mín. absoluto (−1, −3). Rec = [−3, 5].
- Crece en $(-1, 2) \cup (4, 6)$ ; decrece en $(-3, -1) \cup (2, 4)$ .
- Máximo relativo en $(2, 4)$ ; mínimos relativos en $(-1, -3)$ y $(4, 2)$ .
- Máximo absoluto en $(6, 5)$ (extremo del dominio); mínimo absoluto en $(-1, -3)$ .
- $\text{Rec}\, f = [-3, 5]$ .
2. Media
La gráfica muestra la altura de un dron durante un vuelo de 12 minutos. a) ¿En qué intervalos sube, baja o se mantiene a la misma altura? b) ¿Cuál es la altura máxima y cuándo se alcanza? ¿Es un máximo relativo, absoluto o ambos? c) ¿Cuál es el mínimo absoluto? ¿Dónde se alcanza?

Ver solución
a) Sube en (0, 2) ∪ (5, 7); constante en (2, 5); baja en (7, 12). b) 50 m a los 7 min; relativo y absoluto. c) 0 m, en t = 0 y t = 12.
a) Crece en $(0, 2) \cup (5, 7)$ ; es constante en $(2, 5)$ (se mantiene a 30 m); decrece en $(7, 12)$ . b) Máximo en $(7, 50)$ : a los 7 minutos está a 50 m. Es relativo (pasa de subir a bajar) y absoluto (es la mayor altura). c) Mínimo absoluto 0 m, en $t = 0$ (despegue) y $t = 12$ (aterrizaje), los extremos del dominio.
3. Media
a) ¿Tiene máximos o mínimos la función $f(x) = 2x + 1$ definida para todos los números reales? b) ¿Y si solo la consideramos en el intervalo $[0, 3]$ ?

Ver solución
a) No tiene. b) Mínimo absoluto (0, 1) y máximo absoluto (3, 7); ningún extremo relativo.
a) Es creciente en todo $\mathbb{R}$ y sigue subiendo sin fin: no tiene máximos ni mínimos, ni relativos ni absolutos. b) En $[0, 3]$ sigue siendo creciente: el menor valor es $f(0) = 1$ y el mayor $f(3) = 7$ . Mínimo absoluto en $(0, 1)$ y máximo absoluto en $(3, 7)$ , en los extremos del dominio; no tiene extremos relativos.
4. Difícil
Dibuja la gráfica de una función con dominio $[-4, 4]$ que crezca en $(-4, -1) \cup (2, 4)$ , decrezca en $(-1, 2)$ , tenga un máximo relativo en $(-1, 3)$ , un mínimo relativo que también sea absoluto en $(2, -2)$ y cuyo máximo absoluto valga 5.

Ver solución
Respuesta abierta: p. ej., la línea quebrada que une (−4, 0), (−1, 3), (2, −2) y (4, 5).
Respuesta abierta. Por ejemplo, la línea quebrada que une $(-4, 0)$ , $(-1, 3)$ , $(2, -2)$ y $(4, 5)$ . El máximo absoluto, 5, tiene que estar en $x = 4$ (en el extremo del dominio), porque es el único sitio donde la función puede superar al máximo relativo. El punto de partida, en $x = -4$ , debe estar por encima de $-2$ .
5. Difícil
Para $f(x) = x^2 - 4x$ : a) Completa una tabla de valores para $x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . b) Deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento y el mínimo, y compruébalo con la definición tomando dos valores a cada lado del mínimo.

Ver solución
a) 5, 0, −3, −4, −3, 0, 5. b) Decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); mínimo absoluto en (2, −4).
a) $f(-1) = 5$ ; $f(0) = 0$ ; $f(1) = -3$ ; $f(2) = -4$ ; $f(3) = -3$ ; $f(4) = 0$ ; $f(5) = 5$ . b) Los valores bajan hasta $x = 2$ y luego suben (simétricos respecto a $x = 2$ ). Decrece en $(-\infty, 2)$ , crece en $(2, +\infty)$ y tiene un mínimo (relativo y absoluto) en $(2, -4)$ . Comprobación: $0 < 1$ y $f(0) = 0 > f(1) = -3$ (decrece); $3 < 4$ y $f(3) = -3 < f(4) = 0$ (crece). ✔

Máximos y mínimos relativos y absolutos; monotonía con intervalos