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Matemáticas 3.º ESO · Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Recuerda: puntos de corte con los ejes

Objetivo: Al terminar, sabrás leer los puntos de corte con los ejes en una gráfica y calcularlos para funciones afines, interpretándolos en contexto.

Recuerda

Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte con los ejes son los puntos donde la gráfica corta (o toca) al eje X y al eje Y.

Corte con el eje Y: todos los puntos del eje Y tienen $x = 0$ . Se calcula $f(0)$ y el punto es $\big(0, f(0)\big)$ . Una función corta al eje Y como mucho una vez.
Cortes con el eje X: todos los puntos del eje X tienen $y = 0$ . Se resuelve la ecuación $f(x) = 0$ ; cada solución $a$ da el punto $(a, 0)$ . Puede haber ninguno, uno o varios. Las soluciones se llaman ceros de la función.

Funciones afines $y = mx + n$

Corte con el eje Y: $(0, n)$ . Es la ordenada en el origen.
Corte con el eje X: $mx + n = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{n}{m}$ (si $m \neq 0$ ).
Si $m = 0$ , la recta $y = n$ es horizontal: no corta al eje X (salvo que sea $y = 0$ ).

Con los dos puntos de corte se puede dibujar la recta rápidamente.

Qué significan en un problema

Si $x$ es el tiempo:

el corte con el eje vertical es el valor inicial (lo que vale la magnitud al empezar, cuando $t = 0$ );
el corte con el eje horizontal indica cuándo la magnitud llega a 0 (un depósito que se vacía, un saldo que se agota…).

Puntos clave

Corte con el eje Y: $x = 0$ ; el punto es $(0, f(0))$ .
Cortes con el eje X: $y = 0$ ; se resuelve $f(x) = 0$ .
En $y = mx + n$ , el corte con el eje Y es $(0, n)$ y con el eje X, $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$ .
Los puntos de corte se escriben con sus dos coordenadas.
En un problema, el corte con el eje vertical es el valor inicial, y el corte con el horizontal, cuándo la magnitud vale 0.

Errores frecuentes

ErrorEscribir el corte con el eje X como $(0, 3)$ en vez de $(3, 0)$ .
Cómo corregirloEn el eje X la altura es 0: la segunda coordenada es 0. El punto es $(3, 0)$ .
ErrorPara el corte con el eje X, sustituir $x = 0$ .
Cómo corregirlo $x = 0$ da el corte con el eje Y. Para el eje X se iguala la función a 0: $y = 0$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cortes de una recta numérico y gráfico
Halla los puntos de corte con los ejes de $y = 2x - 6$ y comprueba que coinciden con la gráfica.

Resolución
- Eje Y ( $x = 0$ ): $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$ → $(0, -6)$ .
- Eje X ( $y = 0$ ): $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ → $(3, 0)$ .
En la gráfica, la recta corta al eje vertical en $-6$ y al horizontal en $3$ . ✔
Ejemplo 2. Un avión que aterriza situación real (significado de los cortes)
Un avión desciende hacia el aeropuerto de Barajas de forma que su altitud sobre la pista es aproximadamente $A(t) = 3000 - 250t$ (metros, con $t$ en minutos). Halla los puntos de corte con los ejes y explica qué significan.

Resolución
- Eje vertical ( $t = 0$ ): $A(0) = 3000$ → $(0, 3000)$ . Cuando empezamos a contar, el avión está a 3000 m de altitud.
- Eje horizontal ( $A = 0$ ): $3000 - 250t = 0 \Rightarrow t = 12$ → $(12, 0)$ . A los 12 minutos toca la pista.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla los puntos de corte con los ejes de: a) $y = 3x + 9$ b) $y = -\dfrac{x}{2} + 2$ c) $y = 5$ d) $y = 4x$

Ver solución
a) (0, 9) y (−3, 0). b) (0, 2) y (4, 0). c) (0, 5); no corta al eje X. d) (0, 0).
a) $x = 0 \Rightarrow y = 9$ : $(0, 9)$ . $3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3$ : $(-3, 0)$ . b) $(0, 2)$ . $-\dfrac{x}{2} + 2 = 0 \Rightarrow x = 4$ : $(4, 0)$ . c) $(0, 5)$ . La ecuación $5 = 0$ no tiene solución: la recta horizontal no corta al eje X. d) $(0, 0)$ : corta a los dos ejes en el origen.
2. Fácil
La gráfica de la figura une los puntos $(-6, -2)$ , $(-3, 4)$ , $(3, -2)$ y $(5, 2)$ . Lee sus puntos de corte con los ejes.
Ver solución
Eje X: (−5, 0), (1, 0) y (4, 0). Eje Y: (0, 1).
- Eje X: la gráfica cruza el eje horizontal en $(-5, 0)$ , $(1, 0)$ y $(4, 0)$ .
- Eje Y: lo corta en $(0, 1)$ .
3. Media
Una recta corta al eje Y en $(0, 4)$ y al eje X en $(-2, 0)$ . Escribe su ecuación.

Ver solución
y = 2x + 4
Ordenada en el origen: $n = 4$ . Pendiente: de $(-2, 0)$ a $(0, 4)$ sube 4 al avanzar 2, $m = \dfrac{4}{2} = 2$ . La recta es $y = 2x + 4$ . Comprobación: $2 \cdot (-2) + 4 = 0$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Halla los puntos de corte con los ejes de $y = -3x + 12$ y de $y = \dfrac{2}{3}x - 4$ .

Ver solución
(0, 12) y (4, 0); (0, −4) y (6, 0).
$y = -3x + 12$ : $(0, 12)$ ; $-3x + 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ : $(4, 0)$ . $y = \dfrac{2}{3}x - 4$ : $(0, -4)$ ; $\dfrac{2}{3}x = 4 \Rightarrow x = 6$ : $(6, 0)$ .
2. Fácil
Al encender un congelador que estaba a temperatura ambiente, durante los primeros minutos su temperatura es aproximadamente $T(t) = 20 - 4t$ (°C, con $t$ en minutos). Halla los puntos de corte con los ejes e interprétalos.

Ver solución
(0, 20): al encenderlo está a 20 °C. (5, 0): a los 5 min llega a 0 °C.
$T(0) = 20$ → $(0, 20)$ : al encenderlo está a 20 °C. $20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5$ → $(5, 0)$ : a los 5 minutos llega a 0 °C.
3. Fácil
La gráfica de la figura une los puntos $(-3, 4)$ , $(0, -2)$ y $(4, 2)$ . Lee sus puntos de corte con los ejes.

Ver solución
Eje X: (−1, 0) y (2, 0). Eje Y: (0, −2).
Eje X: $(-1, 0)$ y $(2, 0)$ . Eje Y: $(0, -2)$ .

¿Cómo te ha ido con esta lección?