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Matemáticas 3.º ESO · Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Puntos de corte de funciones cuadráticas, polinómicas y racionales

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular los puntos de corte con los ejes de funciones cuadráticas, polinómicas que se pueden factorizar y racionales sencillas.

Explicación

Cortes con los ejes de cualquier función

Las reglas son siempre las mismas:

Eje Y: se calcula $f(0)$ , si $0$ está en el dominio. El punto es $\big(0, f(0)\big)$ .
Eje X: se resuelve $f(x) = 0$ . Cada solución $a$ da un punto $(a, 0)$ .

Lo que cambia es la ecuación que hay que resolver.

Funciones cuadráticas: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Corte con el eje Y: $(0, c)$ .
Cortes con el eje X: $ax^2 + bx + c = 0$ , con la fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ o, si es incompleta, sacando factor común o despejando $x^2$ .
Según el número de soluciones, la parábola corta al eje X en dos puntos, lo toca en uno o no lo corta.

Funciones polinómicas factorizadas

Si $f(x) = x\,(x - 3)(x + 2)$ , un producto vale 0 cuando algún factor vale 0: $x = 0$ , $x = 3$ o $x = -2$ . Si no está factorizada, se saca factor común o se usa Ruffini.

Funciones racionales (cocientes)

Una fracción vale 0 cuando el numerador vale 0 (y el denominador no): $\frac{x - 3}{x + 1} = 0 \iff x - 3 = 0 \iff x = 3$ Los valores que anulan el denominador no están en el dominio. Si $x = 0$ anula el denominador, la función no corta al eje Y.

Puntos clave

Eje Y: $(0, f(0))$ , solo si $0$ está en el dominio. Como mucho hay un corte.
Eje X: soluciones de $f(x) = 0$ . Puede haber ninguna, una o varias.
En un producto factorizado, cada factor igualado a 0 da un corte con el eje X.
En una fracción, los cortes con el eje X salen del numerador; los ceros del denominador quedan fuera del dominio.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre $x$ al resolver $x^3 - x^2 - 6x = 0$ y perder la solución $x = 0$ .
Cómo corregirloSaca factor común: $x\,(x^2 - x - 6) = 0$ . El factor $x$ da la solución $x = 0$ .
ErrorEn $\dfrac{x - 3}{x + 1}$ , igualar a 0 el denominador para buscar los cortes con el eje X.
Cómo corregirloEl denominador nunca puede ser 0. Los cortes con el eje X salen de igualar a 0 el numerador.
ErrorCalcular $f(0)$ en una función racional sin mirar el dominio.
Cómo corregirloSi al sustituir $x = 0$ el denominador vale 0, la función no corta al eje Y.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cortes de una parábola numérico y gráfico
Halla los puntos de corte con los ejes de $f(x) = x^2 + 2x - 24$ y compruébalos en la gráfica.

Resolución
Eje Y: $f(0) = -24$ → $(0, -24)$ .

Eje X: $x^2 + 2x - 24 = 0$ : $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 4, \quad x_2 = -6$ Puntos $(4, 0)$ y $(-6, 0)$ .

En la gráfica, la parábola corta al eje horizontal en $-6$ y en $4$ , y al vertical en $-24$ . ✔
Ejemplo 2. Una función polinómica de grado 3 numérico (factorizar)
Halla los puntos de corte con los ejes de $g(x) = x^3 - x^2 - 6x$ .

Resolución
Eje Y: $g(0) = 0$ → $(0, 0)$ .

Eje X: sacamos factor común: $x^3 - x^2 - 6x = x\,(x^2 - x - 6) = 0$
- $x = 0$ .
- $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ : $x = 3$ y $x = -2$ .
Así, $g(x) = x\,(x - 3)(x + 2)$ y los cortes con el eje X son $(-2, 0)$ , $(0, 0)$ y $(3, 0)$ . El origen es a la vez corte con los dos ejes.
Ejemplo 3. Funciones racionales numérico
Halla los puntos de corte con los ejes de: a) $h(x) = \dfrac{x - 3}{x + 1}$ b) $k(x) = \dfrac{x + 2}{x}$

Resolución
a) $\text{Dom}\, h$ : todos los números salvo $x = -1$ .
- Eje Y: $h(0) = \dfrac{-3}{1} = -3$ → $(0, -3)$ .
- Eje X: numerador $= 0$ : $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (no anula el denominador) → $(3, 0)$ .
b) $\text{Dom}\, k$ : todos los números salvo $x = 0$ .
- Eje Y: $x = 0$ no está en el dominio → no corta al eje Y.
- Eje X: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ → $(-2, 0)$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla los puntos de corte con los ejes: a) $f(x) = x^2 - 25$ b) $g(x) = x^2 + 5x$

Ver solución
a) (0, −25), (−5, 0) y (5, 0). b) (0, 0) y (−5, 0).
a) $f(0) = -25$ → $(0, -25)$ . $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ → $(-5, 0)$ y $(5, 0)$ . b) $g(0) = 0$ → $(0, 0)$ . $x\,(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -5$ → $(0, 0)$ y $(-5, 0)$ .
2. Media
Halla los puntos de corte con los ejes de $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$ .

Ver solución
(0, −2), (2, 0) y (−1/2, 0).
$f(0) = -2$ → $(0, -2)$ . $2x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \dfrac{3 \pm 5}{4}$ : $x = 2$ y $x = -\dfrac{1}{2}$ → $(2, 0)$ y $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$ .
3. Media
Halla los puntos de corte con los ejes y explica cómo es la gráfica respecto al eje X: a) $f(x) = x^2 + 4$ b) $g(x) = x^2 - 6x + 9$

Ver solución
a) (0, 4); no corta al eje X. b) (0, 9) y (3, 0); toca el eje X en un solo punto.
a) $f(0) = 4$ → $(0, 4)$ . $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$ : sin solución. La parábola no corta al eje X (está siempre por encima). b) $g(0) = 9$ → $(0, 9)$ . $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (solución doble) → $(3, 0)$ . La parábola toca el eje X en $(3, 0)$ sin atravesarlo.
4. Difícil
Halla los puntos de corte con los ejes: a) $p(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 5)$ b) $r(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1}$

Ver solución
a) (0, 10), (−1, 0), (2, 0) y (5, 0). b) (0, 4), (−2, 0) y (2, 0).
a) $p(0) = 1 \cdot (-2) \cdot (-5) = 10$ → $(0, 10)$ . Cada factor igual a 0: $x = -1$ , $x = 2$ , $x = 5$ → $(-1, 0)$ , $(2, 0)$ , $(5, 0)$ . b) $\text{Dom}\, r$ : todos salvo $x = 1$ . $r(0) = \dfrac{-4}{-1} = 4$ → $(0, 4)$ . Numerador: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ (ninguno anula el denominador) → $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Halla los puntos de corte con los ejes de $f(x) = x^2 + x - 20$ .

Ver solución
(0, −20), (−5, 0) y (4, 0).
$f(0) = -20$ → $(0, -20)$ . $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \dfrac{-1 \pm 9}{2}$ : $x = 4$ , $x = -5$ → $(4, 0)$ y $(-5, 0)$ .
2. Media
Halla los puntos de corte con los ejes de $f(x) = x^3 - 9x$ .

Ver solución
(0, 0), (−3, 0) y (3, 0).
$f(0) = 0$ → $(0, 0)$ . $x\,(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = 0$ , $x = 3$ , $x = -3$ → $(-3, 0)$ , $(0, 0)$ , $(3, 0)$ .
3. Media
Halla los puntos de corte con los ejes: a) $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 3}$ b) $g(x) = \dfrac{5}{x - 2}$

Ver solución
a) (0, −2) y (3, 0). b) (0, −5/2); no corta al eje X.
a) $f(0) = \dfrac{-6}{3} = -2$ → $(0, -2)$ . $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ → $(3, 0)$ . b) $g(0) = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}$ → $\left(0, -\dfrac{5}{2}\right)$ . El numerador es 5, que nunca vale 0: no corta al eje X.
4. Difícil
Desde la terraza de un edificio, a 15 m del suelo, se lanza un balón hacia arriba. Su altura es $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ (metros, con $t$ en segundos). a) Halla los puntos de corte de la gráfica con los ejes. b) ¿Qué significan? ¿Tienen sentido todos?

Ver solución
a) (0, 15), (3, 0) y (−1, 0). b) Sale desde 15 m y llega al suelo a los 3 s; t = −1 no tiene sentido.
a) $h(0) = 15$ → $(0, 15)$ . $-5t^2 + 10t + 15 = 0 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{2 \pm 4}{2}$ : $t = 3$ y $t = -1$ . b) $(0, 15)$ : el balón sale desde 15 m de altura. $(3, 0)$ : llega al suelo a los 3 s. La solución $t = -1$ no tiene sentido, porque el tiempo empieza en $t = 0$ .