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Explicación

¿Por encima o por debajo del eje X?

Estudiar el signo de una función es averiguar para qué valores de $x$ :

$f(x) > 0$ : la gráfica está por encima del eje X;
$f(x) < 0$ : la gráfica está por debajo del eje X;
$f(x) = 0$ : la gráfica corta o toca el eje X (son los ceros).

Dónde puede cambiar el signo

Si la gráfica no tiene saltos, para pasar de arriba abajo tiene que cruzar el eje X. Por eso el signo solo puede cambiar:

en los ceros de la función (soluciones de $f(x) = 0$ ), y
en los puntos que no están en el dominio (por ejemplo, donde se anula un denominador).

Método de la tabla de signos

Calcula los ceros y los puntos que no están en el dominio.
Colócalos en la recta real: la dividen en intervalos.
En cada intervalo, elige un valor de prueba y calcula el signo de $f$ (o el signo de cada factor, si está factorizada).
Escribe la solución con intervalos abiertos.

Intervalo	$(-\infty, -4)$	$(-4, 3)$	$(3, +\infty)$
$x + 4$	$-$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$+$
$f(x) = (x + 4)(x - 3)$	$+$	$-$	$+$

Recuerda: un producto o un cociente es positivo si tiene un número par de factores negativos, y negativo si es impar.

Puntos clave

$f(x) > 0$ : gráfica por encima del eje X; $f(x) < 0$ : por debajo.
El signo solo puede cambiar en los ceros y en los puntos que no están en el dominio.
Tabla de signos: puntos clave en la recta, un valor de prueba en cada intervalo.
Los intervalos de signo se escriben abiertos, con valores de $x$ .
Un cero doble, como en $(x - 3)^2$ , no cambia el signo: la gráfica toca el eje y rebota.

Errores frecuentes

ErrorSuponer que el signo se alterna siempre: $+, -, +, -$ …
Cómo corregirloComprueba cada intervalo con un valor de prueba. En un cero doble el signo no cambia.
ErrorOlvidar los puntos que anulan el denominador en una función racional.
Cómo corregirloPonlos también en la recta: ahí la función no existe y el signo puede cambiar.
ErrorDar el signo con valores de $y$ («es positiva en $(0, 5)$ » porque la gráfica sube hasta 5).
Cómo corregirloEl signo es una propiedad de cada $x$ : di para qué valores de $x$ la gráfica está por encima del eje.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El signo en una gráfica gráfico
La figura muestra la gráfica de $f(x) = \dfrac{(x + 3)(x - 1)(x - 4)}{4}$ en el intervalo $[-4, 5]$ . Indica dónde es positiva y dónde es negativa.

Resolución
La gráfica corta al eje X en $x = -3$ , $x = 1$ y $x = 4$ .
- Por encima del eje: entre $-3$ y $1$ , y a la derecha de $4$ . $f(x) > 0$ en $(-3, 1) \cup (4, 5]$ .
- Por debajo del eje: a la izquierda de $-3$ y entre $1$ y $4$ . $f(x) < 0$ en $[-4, -3) \cup (1, 4)$ .
(Aquí incluimos $-4$ y $5$ porque son los extremos de la parte dibujada.)
Ejemplo 2. Tabla de signos de una cuadrática numérico (tabla de signos)
Estudia el signo de $f(x) = x^2 + x - 12$ .

Resolución
1. Ceros: $x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$ : $x = 3$ y $x = -4$ . Así, $f(x) = (x + 4)(x - 3)$ .
2. Los ceros dividen la recta en $(-\infty, -4)$ , $(-4, 3)$ y $(3, +\infty)$ .
3. Valores de prueba: $f(-5) = 25 - 5 - 12 = 8 > 0$ ; $f(0) = -12 < 0$ ; $f(4) = 16 + 4 - 12 = 8 > 0$ .
Intervalo $(-\infty, -4)$ $(-4, 3)$ $(3, +\infty)$

Signo de $f$ $+$ $-$ $+$

$f(x) > 0$ en $(-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$ ; $f(x) < 0$ en $(-4, 3)$ ; $f(x) = 0$ en $x = -4$ y $x = 3$ .

Intervalo	$(-\infty, -4)$	$(-4, 3)$	$(3, +\infty)$
Signo de $f$	$+$	$-$	$+$

Ejemplo 3. Signo de una función racional numérico

Estudia el signo de $g(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1}$ .

Resolución

Cero: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ .
Fuera del dominio: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ .

Intervalo	$(-\infty, -1)$	$(-1, 2)$	$(2, +\infty)$
Valor de prueba	$g(-2) = \dfrac{-4}{-1} = 4$	$g(0) = \dfrac{-2}{1} = -2$	$g(3) = \dfrac{1}{4}$
Signo	$+$	$-$	$+$

$g(x) > 0$ en $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ y $g(x) < 0$ en $(-1, 2)$ . En $x = -1$ la función no existe.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La figura muestra la gráfica de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{2}$ . Indica dónde es positiva, dónde es negativa y dónde vale 0.

Ver solución
f > 0 en (−∞, 0) ∪ (4, +∞); f < 0 en (0, 4); f = 0 en x = 0 y x = 4.
Corta al eje X en $x = 0$ y $x = 4$ . Está por debajo del eje entre ellos: $f(x) < 0$ en $(0, 4)$ . Por encima fuera: $f(x) > 0$ en $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ .
2. Fácil
Estudia el signo de $f(x) = 2x - 8$ .

Ver solución
f < 0 en (−∞, 4); f > 0 en (4, +∞).
Cero: $2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ . Prueba: $f(0) = -8 < 0$ ; $f(5) = 2 > 0$ . $f(x) < 0$ en $(-\infty, 4)$ y $f(x) > 0$ en $(4, +\infty)$ .
3. Media
Estudia el signo de: a) $f(x) = x^2 - 16$ b) $g(x) = -x^2 + 4x + 5$

Ver solución
a) + en (−∞, −4) ∪ (4, +∞); − en (−4, 4). b) + en (−1, 5); − en (−∞, −1) ∪ (5, +∞).
a) Ceros: $x = \pm 4$ . Prueba: $f(-5) = 9 > 0$ ; $f(0) = -16 < 0$ ; $f(5) = 9 > 0$ . $f(x) > 0$ en $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$ ; $f(x) < 0$ en $(-4, 4)$ .

b) Ceros: $-x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$ : $x = 5$ y $x = -1$ . Prueba: $g(-2) = -4 - 8 + 5 = -7 < 0$ ; $g(0) = 5 > 0$ ; $g(6) = -36 + 24 + 5 = -7 < 0$ . $g(x) > 0$ en $(-1, 5)$ ; $g(x) < 0$ en $(-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$ .

4. Difícil

Estudia el signo de $f(x) = x\,(x - 2)(x + 3)$ con una tabla de signos de sus factores.

Ver solución

− en (−∞, −3); + en (−3, 0); − en (0, 2); + en (2, +∞).

Ceros: $x = 0$ , $x = 2$ , $x = -3$ .

Intervalo	$(-\infty, -3)$	$(-3, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
$x$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x + 3$	$-$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

Comprobación: $f(-4) = -24$ ; $f(-1) = 6$ ; $f(1) = -4$ ; $f(3) = 18$ . ✔ $f(x) > 0$ en $(-3, 0) \cup (2, +\infty)$ ; $f(x) < 0$ en $(-\infty, -3) \cup (0, 2)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Estudia el signo de $f(x) = 6 - 3x$ .

Ver solución
f > 0 en (−∞, 2); f < 0 en (2, +∞).
Cero: $6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ . $f(0) = 6 > 0$ ; $f(3) = -3 < 0$ . $f(x) > 0$ en $(-\infty, 2)$ ; $f(x) < 0$ en $(2, +\infty)$ .
2. Media
Estudia el signo de $f(x) = x^2 - 5x + 4$ .

Ver solución
+ en (−∞, 1) ∪ (4, +∞); − en (1, 4).
Ceros: $x = \dfrac{5 \pm 3}{2}$ : $x = 4$ y $x = 1$ . Prueba: $f(0) = 4 > 0$ ; $f(2) = -2 < 0$ ; $f(5) = 4 > 0$ . $f(x) > 0$ en $(-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$ ; $f(x) < 0$ en $(1, 4)$ .
3. Media
Estudia el signo de $f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 2}$ .

Ver solución
+ en (−∞, −4) ∪ (2, +∞); − en (−4, 2).
Cero: $x = -4$ . Fuera del dominio: $x = 2$ . Prueba: $f(-5) = \dfrac{-1}{-7} > 0$ ; $f(0) = -2 < 0$ ; $f(3) = 7 > 0$ . $f(x) > 0$ en $(-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$ ; $f(x) < 0$ en $(-4, 2)$ .
4. Difícil
Una empresa madrileña de bicicletas eléctricas calcula que su beneficio anual es $B(x) = -x^2 + 14x - 40$ (miles de euros), donde $x$ son los cientos de bicicletas que fabrica (entre 0 y 14 cientos). a) ¿Para qué producciones tiene beneficios (B > 0)? ¿Y pérdidas? b) Comprueba en la gráfica tu respuesta.

Ver solución
a) Beneficios entre 400 y 1000 bicicletas, x en (4, 10); pérdidas en [0, 4) ∪ (10, 14].
a) Ceros: $-x^2 + 14x - 40 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 40 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{14 \pm 6}{2}$ : $x = 4$ y $x = 10$ . Prueba: $B(0) = -40 < 0$ ; $B(7) = -49 + 98 - 40 = 9 > 0$ ; $B(12) = -144 + 168 - 40 = -16 < 0$ . Beneficios ( $B > 0$ ) para $x \in (4, 10)$ : entre 400 y 1000 bicicletas. Pérdidas para $x \in [0, 4) \cup (10, 14]$ . b) La parábola está por encima del eje horizontal entre 4 y 10.
5. Difícil
Estudia el signo de $f(x) = (x + 1)(x - 3)^2$ . ¿Qué ocurre en $x = 3$ ?

Ver solución
− en (−∞, −1); + en (−1, 3) ∪ (3, +∞). En x = 3 vale 0 pero no cambia de signo.
Ceros: $x = -1$ y $x = 3$ (doble). El factor $(x - 3)^2$ es siempre positivo salvo en $x = 3$ , donde vale 0. Prueba: $f(-2) = (-1) \cdot 25 = -25 < 0$ ; $f(0) = 1 \cdot 9 = 9 > 0$ ; $f(4) = 5 \cdot 1 = 5 > 0$ . $f(x) < 0$ en $(-\infty, -1)$ ; $f(x) > 0$ en $(-1, 3) \cup (3, +\infty)$ . En $x = 3$ la gráfica toca el eje X y vuelve a subir: el signo no cambia.

El signo de una función por intervalos