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Matemáticas 3.º ESO · Continuidad

Recuerda: funciones continuas y discontinuas

Objetivo: Al terminar, sabrás clasificar gráficas en continuas y discontinuas e indicar en qué puntos son discontinuas y de qué tipo es la discontinuidad.

Recuerda

Funciones continuas

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.

Si en algún punto hay que levantar el lápiz, la función es discontinua en ese punto. Las discontinuidades más habituales son:

Salto: la gráfica «salta» de una altura a otra. Por ejemplo, en una función definida a trozos.
Hueco (o punto que falta): la gráfica es continua salvo en un punto que no está; se dibuja con un punto hueco ( $\circ$ ).
Ramas infinitas: cerca de un valor de $x$ , la gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo y en ese valor la función no existe. Ocurre, por ejemplo, en $y = \dfrac{4}{x}$ en $x = 0$ .

Los «picos» o esquinas no son discontinuidades: se dibujan sin levantar el lápiz.

Para describir una discontinuidad, di en qué valor de $x$ está y de qué tipo es.

Puntos rellenos y puntos huecos

Cuando una gráfica tiene un salto, el extremo de cada tramo se marca con un punto relleno ( $\bullet$ ) si ese punto pertenece a la gráfica y con un punto hueco ( $\circ$ ) si no pertenece. Así se sabe cuánto vale la función justo en el salto.

La continuidad en situaciones reales

Las magnitudes que cambian poco a poco, como la temperatura, la altura de una persona o la distancia recorrida, dan gráficas continuas.
Los precios por tramos (aparcamientos, envíos de paquetes, alquileres por horas) cambian de golpe: sus gráficas tienen saltos.

Puntos clave

Continua: se dibuja sin levantar el lápiz.
Discontinuidades: salto, hueco (punto que falta) y ramas infinitas.
Una esquina o un pico no rompe la continuidad.
Punto relleno: el punto pertenece a la gráfica; punto hueco: no pertenece.
Las discontinuidades se dan con el valor de $x$ donde ocurren.
En las funciones con denominador, los valores que lo anulan son puntos de discontinuidad.
Las tarifas por tramos dan gráficas con saltos.

Errores frecuentes

ErrorDecir que una gráfica con un pico es discontinua.
Cómo corregirloPregúntate si tienes que levantar el lápiz. En un pico no hace falta: es continua.
ErrorDar la discontinuidad como un punto $(x, y)$ o con un valor de $y$ .
Cómo corregirloBasta el valor de $x$ : «es discontinua en $x = -1$ ».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una función con un salto gráfico
La función de la figura tiene dos tramos rectos: el primero va de $(-5, -2)$ a $(-1, 2)$ , ambos incluidos; el segundo empieza en $(-1, 1)$ , no incluido, y llega a $(3, -3)$ . ¿Es continua? Si no lo es, indica dónde y de qué tipo es la discontinuidad.

Resolución
Al llegar a $x = -1$ hay que levantar el lápiz para bajar de la altura 2 a la altura 1. La función es discontinua en $x = -1$ , con un salto de una unidad. En el resto de puntos es continua.

En $x = -1$ la función vale 2 (ese punto es del primer tramo); el punto $(-1, 1)$ es hueco.
Ejemplo 2. Ramas que se disparan gráfico
La figura muestra la gráfica de $y = \dfrac{4}{x}$ . ¿Es continua? ¿Por qué?

Resolución
No se puede calcular $\dfrac{4}{0}$ : la función no existe en $x = 0$ . Cerca de 0, por la derecha la gráfica sube sin fin y por la izquierda baja sin fin (ramas infinitas). Para dibujarla hay que levantar el lápiz: es discontinua en $x = 0$ . En todos los demás puntos es continua.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica de la figura une los puntos $(-3, 2)$ , $(1, -2)$ y $(4, 1)$ (es la de $y = |x - 1| - 2$ ). ¿Es continua? Justifícalo.

Ver solución
Sí, es continua: el pico en (1, −2) no es una discontinuidad.
Se dibuja entera sin levantar el lápiz. Tiene un pico en $(1, -2)$ , pero un cambio brusco de dirección no es un salto. Es continua.
2. Media
La función de la figura tiene tres tramos:
- de $(-4, -1)$ a $(-1, 2)$ , ambos incluidos;
- de $(-1, -2)$ , no incluido, a $(2, 1)$ , no incluido;
- de $(2, 3)$ , incluido, a $(5, 3)$ .
Indica sus puntos de discontinuidad, el tipo y cuánto vale la función en cada uno.
Ver solución
Salto en x = −1 (f(−1) = 2) y salto en x = 2 (f(2) = 3).
- En $x = -1$ : la gráfica baja de golpe de 2 a $-2$ . Salto de 4 unidades. $f(-1) = 2$ .
- En $x = 2$ : sube de golpe de 1 a 3. Salto de 2 unidades. $f(2) = 3$ . En el resto es continua.
3. Media
Sin dibujarlas, indica si estas funciones son continuas. Si no lo son, di en qué valor de $x$ son discontinuas. a) $y = 2x + 1$ b) $y = \dfrac{3}{x - 2}$ c) $y = x^2 - 4$ d) $y = \dfrac{1}{x + 5}$

Ver solución
a) Continua. b) Discontinua en x = 2. c) Continua. d) Discontinua en x = −5.
a) y c) son polinómicas: se pueden calcular para cualquier $x$ y su gráfica (recta o parábola) no tiene saltos. Continuas. b) El denominador se anula en $x = 2$ : no existe $f(2)$ . Discontinua en $x = 2$ . d) El denominador se anula en $x = -5$ . Discontinua en $x = -5$ .

Para practicar más

1. Fácil
La función de la figura está formada por un trozo de la parábola $y = x^2$ para $x$ entre $-2$ y $1$ (ambos incluidos) y por el segmento que va de $(1, 3)$ , no incluido, a $(3, 5)$ . ¿Es continua? ¿Cuánto vale $f(1)$ ?

Ver solución
Discontinua en x = 1 (salto de 1 a 3). f(1) = 1.
En $x = 1$ la parábola llega a la altura $1^2 = 1$ y el segundo tramo empieza en la altura 3: hay que levantar el lápiz. Discontinua en $x = 1$ , con un salto de 2 unidades. Como el punto $(1, 3)$ no está incluido, $f(1) = 1$ .
2. Difícil
La función $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ se puede simplificar: $\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1$ si $x \neq 1$ . Su gráfica es la recta $y = x + 1$ con un punto hueco en $(1, 2)$ . a) ¿Es continua? ¿De qué tipo es su discontinuidad? b) ¿Cómo podrías «arreglarla» para que fuera continua?

Ver solución
a) Discontinua en x = 1: hueco. b) Definiendo f(1) = 2.
a) $f(1)$ no existe (el denominador vale 0), así que falta el punto $(1, 2)$ : discontinua en $x = 1$ , con un hueco. b) Bastaría con añadir el punto que falta: definir $f(1) = 2$ . Entonces la gráfica sería la recta $y = x + 1$ completa, que es continua.
3. Media
Dibuja la gráfica de una función definida en $[-3, 3]$ que sea continua en todos los puntos salvo en $x = 1$ , donde tenga un salto.

Ver solución
Respuesta abierta: p. ej., y = 2 en [−3, 1] e y = −1 en (1, 3].
Respuesta abierta. Por ejemplo: el segmento horizontal $y = 2$ para $x$ en $[-3, 1]$ y el segmento $y = -1$ para $x$ en $(1, 3]$ (con un punto hueco en $(1, -1)$ ).