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Matemáticas 3.º ESO · Funciones: concepto, dominio y recorrido

Recuerda: dominio y recorrido en una gráfica

Objetivo: Al terminar, sabrás leer en una gráfica el dominio y el recorrido de una función y escribirlos con intervalos y uniones de intervalos.

Recuerda

Dominio y recorrido

El dominio de una función $f$ , $\text{Dom}\, f$ , es el conjunto de valores de $x$ que tienen imagen.
El recorrido (o imagen) de $f$ , $\text{Rec}\, f$ , es el conjunto de valores de $y$ que toma la función.

Cómo se leen en la gráfica

Dominio: imagina que la gráfica «proyecta su sombra» sobre el eje X (hacia arriba o hacia abajo). Esa sombra es el dominio.
Recorrido: proyecta la gráfica sobre el eje Y (hacia la izquierda o la derecha). Esa sombra es el recorrido.

En los extremos de un tramo, un punto relleno ( $\bullet$ ) pertenece a la gráfica y un punto hueco ( $\circ$ ) no pertenece. Si la gráfica sigue indefinidamente, se indica con una flecha.

Intervalos

Desigualdad	Intervalo	Se lee
$a \le x \le b$	$[a, b]$	cerrado: incluye $a$ y $b$
$a < x < b$	$(a, b)$	abierto: no incluye $a$ ni $b$
$a \le x < b$	$[a, b)$	incluye $a$ , no incluye $b$
$x \ge a$	$[a, +\infty)$	desde $a$ en adelante
$x < b$	$(-\infty, b)$	todos los menores que $b$

Los símbolos $+\infty$ («más infinito») y $-\infty$ («menos infinito») indican que el intervalo no tiene final por ese lado; como no son números que se alcancen, llevan siempre paréntesis. Todos los números reales se escriben $(-\infty, +\infty)$ o $\mathbb{R}$ . Si la sombra tiene dos trozos separados, se unen con el símbolo $\cup$ («unión»): $[-4, 0] \cup [2, 6)$ .

Puntos clave

Dominio: valores de $x$ con imagen; se lee proyectando la gráfica sobre el eje X.
Recorrido: valores de $y$ que toma la función; se lee proyectando sobre el eje Y.
Corchete $[\ ]$ si el extremo está incluido (punto relleno); paréntesis $(\ )$ si no (punto hueco o infinito).
Si hay trozos separados, se escriben con $\cup$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir el recorrido con los valores del eje X.
Cómo corregirloEl dominio va en el eje horizontal y el recorrido en el vertical. Para el recorrido, busca el punto más bajo y el más alto de la gráfica.
ErrorTomar como recorrido los valores de $y$ de los extremos de la gráfica.
Cómo corregirloEl recorrido va del valor más bajo al más alto que alcanza la curva, que no tienen por qué estar en los extremos.
ErrorPoner corchete junto a $+\infty$ o $-\infty$ .
Cómo corregirloEl infinito no es un número que se alcance: siempre va con paréntesis, $[3, +\infty)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dominio y recorrido de una línea quebrada gráfico
La gráfica de $f$ es la línea quebrada de la figura, que va de $(-3, 2)$ a $(5, 1)$ pasando por $(-1, 4)$ y $(2, -2)$ ; los dos extremos están incluidos. Halla $\text{Dom}\, f$ y $\text{Rec}\, f$ .

Resolución
Dominio: la gráfica empieza en $x = -3$ y acaba en $x = 5$ , sin saltos, y los dos extremos están incluidos: $\text{Dom}\, f = [-3, 5]$ .

Recorrido: el punto más bajo es $(2, -2)$ y el más alto, $(-1, 4)$ . La función toma todos los valores entre $-2$ y $4$ : $\text{Rec}\, f = [-2, 4]$ .

Fíjate: los extremos del recorrido no son las alturas de los extremos de la gráfica (2 y 1), sino la mínima y la máxima.
Ejemplo 2. Una función en dos trozos gráfico (con unión de intervalos)
La función $g$ tiene dos tramos rectos:
- el primero va de $(-4, 1)$ a $(0, 3)$ , con los dos extremos incluidos;
- el segundo va de $(2, -1)$ , incluido, a $(6, 2)$ , no incluido (punto hueco).
Halla $\text{Dom}\, g$ y $\text{Rec}\, g$ .
Resolución
Dominio: el primer tramo da $[-4, 0]$ ; el segundo, $[2, 6)$ (el 6 no está). Entre $0$ y $2$ no hay gráfica: $\text{Dom}\, g = [-4, 0] \cup [2, 6)$

Recorrido: el primer tramo toma los valores $[1, 3]$ y el segundo $[-1, 2)$ . Juntando las dos «sombras» sobre el eje Y no queda ningún hueco, porque se solapan entre 1 y 2: $\text{Rec}\, g = [-1, 3]$

El valor 2 sí está en el recorrido aunque el segundo tramo no llegue a él: lo alcanza el primer tramo (en $x = -2$ ).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica de la figura corresponde a $f(x) = (x - 1)^2 - 4$ con $x$ entre $-2$ y $3$ (extremos incluidos). Halla $\text{Dom}\, f$ y $\text{Rec}\, f$ .

Ver solución
Dom f = [−2, 3]; Rec f = [−4, 5]
Dominio: de $x = -2$ a $x = 3$ : $[-2, 3]$ . Recorrido: el punto más bajo es $(1, -4)$ y el más alto, el extremo izquierdo: $f(-2) = (-3)^2 - 4 = 5$ . Así, $\text{Rec}\, f = [-4, 5]$ .
2. Fácil
a) Escribe como intervalo: $-2 < x \le 5$ ; $x \ge 3$ ; $x < 0$ . b) Escribe como desigualdad el intervalo $[-1, 4)$ y di si el 4 pertenece a él.

Ver solución
a) (−2, 5]; [3, +∞); (−∞, 0). b) −1 ≤ x < 4; el 4 no pertenece.
a) $(-2, 5]$ ; $[3, +\infty)$ ; $(-\infty, 0)$ . b) $-1 \le x < 4$ . El 4 no pertenece (paréntesis).
3. Media
La gráfica de la figura empieza en el punto $(-2, 0)$ , incluido, y sigue subiendo indefinidamente hacia la derecha (en la figura solo se ve hasta $x = 7$ ). Halla su dominio y su recorrido.

Ver solución
Dom = [−2, +∞); Rec = [0, +∞)
Dominio: desde $x = -2$ (incluido) hacia la derecha sin final: $[-2, +\infty)$ . Recorrido: desde $y = 0$ (incluido) hacia arriba sin final: $[0, +\infty)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Halla el dominio y el recorrido de la función de la figura, que es la línea quebrada que une $(-5, -2)$ , $(-2, 3)$ , $(1, 1)$ y $(4, 5)$ , con los extremos incluidos.

Ver solución
Dom = [−5, 4]; Rec = [−2, 5]
Dominio: de $x = -5$ a $x = 4$ : $[-5, 4]$ . Recorrido: el valor más bajo es $-2$ y el más alto, $5$ : $[-2, 5]$ .
2. Difícil
La función de la figura tiene dos tramos:
- de $(-3, -2)$ , incluido, a $(1, 2)$ , no incluido;
- de $(1, 3)$ , incluido, a $(4, 5)$ , incluido.
Halla su dominio y su recorrido.
Ver solución
Dom = [−3, 4]; Rec = [−2, 2) ∪ [3, 5]
Dominio: el primer tramo da $[-3, 1)$ y el segundo $[1, 4]$ . El 1 está (lo pone el segundo tramo), así que no hay hueco: $[-3, 4]$ . Recorrido: el primer tramo da $[-2, 2)$ y el segundo $[3, 5]$ . Entre 2 y 3 no hay valores: $[-2, 2) \cup [3, 5]$ .
3. Media
Dibuja la gráfica de una función cuyo dominio sea $[-2, 3]$ y cuyo recorrido sea $[0, 4]$ .

Ver solución
Respuesta abierta: p. ej., la línea quebrada que une (−2, 0), (1, 4) y (3, 2).
Respuesta abierta. Por ejemplo, la línea quebrada que une $(-2, 0)$ , $(1, 4)$ y $(3, 2)$ : empieza en $x = -2$ , acaba en $x = 3$ , su punto más bajo está a altura 0 y el más alto a altura 4.