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Matemáticas 3.º ESO · Funciones: concepto, dominio y recorrido

Antiimágenes: ¿qué valor de x da este resultado?

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular antiimágenes resolviendo ecuaciones sencillas y leyéndolas en la gráfica con una recta horizontal.

Explicación

Cuatro formas de expresar una función

Una misma función se puede dar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula, y conviene saber pasar de una a otra:

Del enunciado a la fórmula: se traduce al lenguaje algebraico lo que se hace con $x$ («2 € fijos más 0,75 € por bola» → $C(b) = 2 + 0{,}75b$ ).
De la fórmula a la tabla: se eligen valores de $x$ y se calculan sus imágenes.
De la tabla a la gráfica: cada columna es un punto $(x, y)$ ; se unen si $x$ puede tomar cualquier valor intermedio.
De la gráfica o la tabla a la fórmula: se mira cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta 1 y cuánto vale $y$ cuando $x = 0$ .

La fórmula es la forma más completa (permite calcular cualquier valor); la gráfica es la que mejor deja ver cómo se comporta la función.

De la imagen a la antiimagen

Si $f(a) = b$ , decimos que $b$ es la imagen de $a$ y que $a$ es una antiimagen de $b$ . Calcular una imagen es ir de $x$ a $y$ ; calcular antiimágenes es hacer el camino al revés: dado un valor $k$ de $y$ , buscar los $x$ que cumplen $f(x) = k$ .

Con la fórmula: se resuelve una ecuación

Para hallar las antiimágenes de $k$ se plantea y se resuelve la ecuación $f(x) = k$

Ejemplo: si $f(x) = 3x + 1$ , las antiimágenes de $10$ cumplen $3x + 1 = 10 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$ . Comprobación: $f(3) = 10$ . ✔

Con una tabla: se busca en la fila de $y$

Se busca $k$ entre los valores de $y$ y se leen los $x$ que tiene encima (puede haber varios). Si $k$ no aparece en la tabla, la tabla no basta: hace falta la fórmula o la gráfica.

Con la gráfica: una recta horizontal

Se traza la recta horizontal $y = k$ . Los puntos donde corta a la gráfica tienen como primera coordenada las antiimágenes de $k$ .

¿Cuántas antiimágenes hay?

Cada $x$ tiene una sola imagen, pero un valor $k$ puede tener ninguna, una o varias antiimágenes:

$f(x) = x^2$ : el 9 tiene dos antiimágenes ( $3$ y $-3$ ), el 0 tiene una ( $0$ ) y el $-4$ no tiene ninguna (ningún cuadrado es negativo).

Puntos clave

Una función se puede dar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula; la fórmula permite calcular cualquier valor.
Las antiimágenes de $k$ son los valores de $x$ con $f(x) = k$ .
Con la fórmula, se resuelve la ecuación $f(x) = k$ ; con la gráfica, se corta con la recta horizontal $y = k$ .
Un valor puede tener ninguna, una o varias antiimágenes.
Comprueba siempre: la imagen de la antiimagen tiene que dar $k$ .

Errores frecuentes

ErrorSustituir $k$ en lugar de $x$ (calcular $f(k)$ en vez de resolver $f(x) = k$ ).
Cómo corregirloPregúntate qué te dan: si te dan el valor de $y$ , hay que igualar la fórmula a ese valor y despejar $x$ .
ErrorDar una sola solución en $x^2 = 9$ .
Cómo corregirloUna ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones: $x = 3$ y $x = -3$ .
ErrorPensar que siempre existe antiimagen.
Cómo corregirloSi la recta horizontal $y = k$ no corta la gráfica (o la ecuación no tiene solución), $k$ no tiene antiimagen.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Antiimágenes resolviendo ecuaciones numérico
a) Dada $f(x) = 2x + 7$ , halla la antiimagen de $3$ . b) Dada $g(x) = x^2 - 4$ , halla las antiimágenes de $5$ , de $-4$ y de $-6$ .

Resolución
a) $2x + 7 = 3 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$ . Comprobación: $f(-2) = -4 + 7 = 3$ . ✔

b)
- De $5$ : $x^2 - 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ o $x = -3$ . Dos antiimágenes.
- De $-4$ : $x^2 - 4 = -4 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ . Una antiimagen.
- De $-6$ : $x^2 - 4 = -6 \Rightarrow x^2 = -2$ , sin solución. $-6$ no tiene antiimagen.
Ejemplo 2. Antiimágenes en la gráfica gráfico
La figura muestra la gráfica de $h(x) = -x^2 + 2x + 3$ para $x$ entre $-2$ y $4$ , y la recta horizontal $y = 3$ . a) Halla en la gráfica las antiimágenes de $3$ y compruébalo con la fórmula. b) ¿Cuántas antiimágenes tienen $4$ y $5$ ?

Resolución
a) La recta $y = 3$ corta a la curva en $(0, 3)$ y $(2, 3)$ : las antiimágenes de 3 son $x = 0$ y $x = 2$ . Comprobación: $h(0) = 3$ y $h(2) = -4 + 4 + 3 = 3$ . ✔ (Con la ecuación: $-x^2 + 2x + 3 = 3 \Rightarrow -x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0$ .)

b) La recta $y = 4$ solo toca a la curva en su punto más alto, $(1, 4)$ : el 4 tiene una antiimagen, $x = 1$ . La recta $y = 5$ pasa por encima de la curva: el 5 no tiene antiimágenes.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dada $h(x) = 5 - 3x$ , halla el valor de $x$ tal que: a) $h(x) = 11$ b) $h(x) = 0$

Ver solución
a) x = −2 b) x = 5/3
a) $5 - 3x = 11 \Rightarrow -3x = 6 \Rightarrow x = -2$ . Comprobación: $h(-2) = 5 + 6 = 11$ . ✔ b) $5 - 3x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}$ .
2. Media
Dada $f(x) = x^2 + 1$ , halla las antiimágenes de $10$ , de $1$ y de $0$ .
Ver solución
De 10: 3 y −3. De 1: 0. De 0: ninguna.
- $x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ .
- $x^2 + 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ .
- $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ : sin solución. El 0 no tiene antiimagen.
3. Media
En un taxi de Madrid, de día, el precio aproximado de un trayecto es $T(d) = 2{,}50 + 1{,}30d$ euros, donde $d$ son los kilómetros recorridos. Si un trayecto ha costado 15,50 €, ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Ver solución
10 km
Buscamos la antiimagen de 15,50: $2{,}50 + 1{,}30d = 15{,}50 \Rightarrow 1{,}30d = 13 \Rightarrow d = \dfrac{13}{1{,}30} = 10$ km. Comprobación: $T(10) = 2{,}50 + 13 = 15{,}50$ €. ✔

Para practicar más

1. Fácil
Dada $f(x) = 4x - 9$ , halla la antiimagen de $7$ y la de $-1$ .

Ver solución
De 7: x = 4. De −1: x = 2.
$4x - 9 = 7 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$ . $4x - 9 = -1 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$ .
2. Media
La gráfica de $f$ es la línea quebrada que une $(-3, 4)$ , $(-1, 0)$ , $(2, 3)$ y $(5, 1)$ . a) Halla las antiimágenes de $2$ trazando la recta $y = 2$ . b) ¿Cuántas antiimágenes tienen $4$ y $5$ ?

Ver solución
a) x = −2, x = 1 y x = 3,5. b) El 4, una (x = −3); el 5, ninguna.
a) La recta $y = 2$ corta a la gráfica tres veces: en el primer tramo en $x = -2$ (punto medio entre $-3$ y $-1$ ), en el segundo en $x = 1$ (sube 1 unidad por cada unidad) y en el tercero en $x = 3{,}5$ (baja 2 unidades en 3, así que baja 1 en 1,5). b) El 4 tiene una antiimagen, $x = -3$ ; el 5 no tiene ninguna (la gráfica no llega a esa altura).
3. Fácil
Al encender un horno, su temperatura sigue aproximadamente $T(t) = 20 + 15t$ (°C), con $t$ en minutos, hasta llegar a la temperatura elegida. ¿Cuánto tarda en llegar a 200 °C?

Ver solución
12 min
$20 + 15t = 200 \Rightarrow 15t = 180 \Rightarrow t = 12$ min.