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Matemáticas 3.º ESO · Continuidad

La continuidad en situaciones reales

Objetivo: Al terminar, sabrás relacionar la continuidad o discontinuidad de una gráfica con la situación que representa: tarifas por tramos, cambios bruscos y magnitudes que solo toman valores enteros.

Explicación

¿Debe ser continua esta gráfica?

Cuando una función describe una situación real, su continuidad depende de cómo cambia la magnitud.

Magnitudes que cambian poco a poco → continuas

La temperatura, la altura de una persona, el agua de un depósito que se llena, la distancia recorrida… no pueden pasar de un valor a otro sin pasar por los intermedios. Sus gráficas son continuas.

Tarifas por tramos → saltos

Muchos precios se cobran por tramos: «por cada hora o fracción», «hasta 1 kg», «cada GB extra». El precio es constante dentro de cada tramo y salta al empezar el siguiente. La gráfica es escalonada (una función escalonada), discontinua en los puntos donde cambia de tramo.

Hay que fijarse bien en a qué tramo pertenece cada extremo: si se cobra «por hora o fracción», 2 h exactas se pagan como 2 h, pero 2 h y 1 min, como 3 h.

Cambios bruscos → saltos

Algunas magnitudes cambian de golpe en un instante: el saldo de una tarjeta al pagar, la gasolina del depósito al repostar, el marcador de un partido al marcar un gol… La gráfica tiene un salto en ese instante.

Magnitudes que se cuentan → puntos sueltos

Si la variable independiente solo puede tomar valores enteros (número de entradas, de personas, de días), la gráfica son puntos aislados y no se unen. No tiene sentido preguntar si es continua «entre» dos valores enteros.

Puntos clave

Si la magnitud cambia poco a poco (temperatura, altura, volumen), la gráfica es continua.
Las tarifas por tramos dan funciones escalonadas, con saltos donde cambia el tramo.
Un cambio brusco en un instante (pagar, repostar, marcar un gol) produce un salto.
Si $x$ solo toma valores enteros, la gráfica son puntos sueltos que no se unen.
En cada salto, fíjate en a qué tramo pertenece el extremo («hasta», «más de», «o fracción»).

Errores frecuentes

ErrorUnir los escalones de una tarifa con segmentos verticales.
Cómo corregirloUna gráfica de función no puede tener segmentos verticales (a un $x$ le corresponderían muchos valores). Dibuja escalones separados y marca con punto relleno o hueco cada extremo.
ErrorUnir los puntos de una función que solo tiene sentido para números enteros.
Cómo corregirloNo existen 2,5 entradas: deja los puntos sueltos.
ErrorPensar que toda tarifa por tramos da saltos.
Cómo corregirloSi en cada tramo se cobra un precio por unidad (por ejemplo, por cada m³ de agua), el total no salta: cambia la inclinación, pero la gráfica es continua.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El aparcamiento por horas situación real (tarifa por tramos)
Un aparcamiento del centro de Madrid cobra 2,80 € por cada hora o fracción, con un máximo de 4 horas. a) ¿Cuánto se paga por 30 min, por 2 h y por 2 h 10 min? b) Interpreta la gráfica. ¿Es continua?

Resolución
a) «Hora o fracción» significa que cualquier trozo de hora empezado se paga entero:
- 30 min → 1 hora → 2,80 €.
- 2 h exactas → 2 horas → $2 \cdot 2{,}80 =$ 5,60 €.
- 2 h 10 min → 3 horas → $3 \cdot 2{,}80 =$ 8,40 €.
b) La gráfica es escalonada: el precio es constante en $(0, 1]$ , $(1, 2]$ , $(2, 3]$ y $(3, 4]$ y salta 2,80 € al empezar cada nueva hora. Es discontinua en $t = 1$ , $t = 2$ y $t = 3$ . En cada escalón, el extremo derecho está incluido (punto relleno) y el izquierdo no (punto hueco): $f(2) = 5{,}60$ .
Ejemplo 2. ¿Continua, a saltos o en puntos sueltos? verbal (razonar sobre la situación)
Decide cómo será la gráfica de cada situación: a) La altura de una niña desde que nace hasta los 18 años. b) El precio de una llamada de móvil que se cobra por minutos iniciados. c) El número de alumnos que asisten a clase cada día de un mes.

Resolución
a) La altura crece poco a poco, nunca pasa de 120 cm a 125 cm sin pasar por los valores intermedios: continua. b) El precio es el mismo durante todo un minuto y sube de golpe al empezar el siguiente: escalonada, con saltos al final de cada minuto. c) La variable independiente son los días (1, 2, 3, …): la gráfica son puntos sueltos, que no se unen.
Ejemplo 3. Repostar gasolina gráfico (cambio brusco)
La gráfica muestra los litros de gasolina en el depósito de un coche según los kilómetros recorridos en un viaje. a) ¿Dónde es discontinua? ¿Qué ha pasado? b) ¿Cuánto consume el coche cada 100 km?

Resolución
a) Es discontinua en $d = 500$ km: el depósito pasa de golpe de 5 L a 50 L. En ese punto el coche ha repostado 45 L. (El repostaje dura unos minutos, pero en ese tiempo no se recorren kilómetros: por eso en esta gráfica es un salto.)

b) En los primeros 500 km gasta $40 - 5 = 35$ L: $\dfrac{35}{500} \cdot 100 = 7$ L cada 100 km. Comprobación en el segundo tramo: en 300 km gasta $50 - 29 = 21$ L, y $\dfrac{21}{300} \cdot 100 = 7$ L. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si la gráfica de cada situación es continua, escalonada (con saltos) o de puntos sueltos: a) La temperatura del agua de una piscina a lo largo de un día. b) El precio de una entrada de cine según la edad: 5 € hasta 12 años, 8 € de 13 a 64 y 5 € a partir de 65. c) La distancia recorrida por una corredora en el maratón de Madrid según el tiempo. d) Los goles que lleva marcados un equipo a lo largo de un partido.

Ver solución
a) Continua. b) Escalonada (saltos en 13 y 65 años). c) Continua. d) Escalonada (salta en cada gol).
a) La temperatura cambia poco a poco: continua. b) El precio cambia de golpe al cumplir 13 y 65 años: escalonada. (Si la edad se cuenta en años enteros, también podrían ser puntos sueltos.) c) La distancia aumenta poco a poco: continua. d) El marcador sube de golpe en cada gol: escalonada.
2. Media
Una empresa de mensajería cobra por enviar un paquete: hasta 1 kg, 4 €; más de 1 kg y hasta 3 kg, 6,50 €; más de 3 kg y hasta 5 kg, 9 €. a) ¿Cuánto cuesta enviar un paquete de 3 kg? ¿Y uno de 3,2 kg? b) Dibuja la gráfica en los ejes e indica dónde es discontinua.

Ver solución
a) 6,50 € y 9 €. b) Escalonada, discontinua en 1 kg y en 3 kg.
a) 3 kg está en el tramo «hasta 3 kg»: 6,50 €. 3,2 kg es «más de 3 kg»: 9 €. b) Tres escalones: 4 € en $(0, 1]$ , 6,50 € en $(1, 3]$ y 9 € en $(3, 5]$ , con punto relleno a la derecha y hueco a la izquierda de cada escalón. Discontinua en 1 kg y en 3 kg.
3. Difícil
Una compañía de agua cobra (precios inventados) 0,40 € por m³ en los primeros 25 m³ del bimestre y 0,90 € por cada m³ que pase de 25. a) Calcula lo que se paga por 20 m³, 25 m³, 30 m³ y 40 m³. b) Dibuja la gráfica. ¿Tiene saltos? ¿Qué cambia en $x = 25$ ?

Ver solución
a) 8 €, 10 €, 14,50 € y 23,50 €. b) Es continua; en x = 25 la recta se hace más inclinada.
a) $20 \cdot 0{,}40 = 8$ €; $25 \cdot 0{,}40 = 10$ €; $10 + 5 \cdot 0{,}90 = 14{,}50$ €; $10 + 15 \cdot 0{,}90 = 23{,}50$ €. b) Hasta 25 m³ es la recta $C = 0{,}40x$ ; a partir de ahí, $C = 10 + 0{,}90\,(x - 25)$ , que empieza también en 10 €. No hay salto: es continua. En $x = 25$ solo cambia la inclinación: cada m³ pasa a costar más.
4. Media
La gráfica muestra el saldo del monedero electrónico de la cafetería del instituto de Hugo entre las 8 h y las 18 h. a) ¿En qué momentos es discontinua? b) Explica qué ocurre en cada salto y cuánto dinero se mueve.

Ver solución
a) A las 11 h, 14 h y 16 h. b) Gasta 2,50 € a las 11 h y 5 € a las 14 h; recarga 20 € a las 16 h.
a) Hay saltos a las 11 h, 14 h y 16 h. b) A las 11 h el saldo baja de 10 € a 7,50 €: paga 2,50 € (un bocadillo en el recreo). A las 14 h baja de 7,50 € a 2,50 €: paga 5 € (la comida). A las 16 h sube de 2,50 € a 22,50 €: recarga 20 €.
5. Difícil
Las entradas de un zoo cuestan 25 € cada una, pero si se compran 4 o más, cada entrada sale a 20 € (precios inventados). a) Haz una tabla del precio total para 1, 2, 3, 4, 5 y 6 entradas y represéntala. b) ¿Se deben unir los puntos? c) ¿Qué es más barato, comprar 3 entradas o 4?

Ver solución
a) 25, 50, 75, 80, 100 y 120 €. b) No. c) 3 entradas (75 €), pero 4 cuestan solo 5 € más (80 €).
a) 1 → 25 €; 2 → 50 €; 3 → 75 €; 4 → $4 \cdot 20 = 80$ €; 5 → 100 €; 6 → 120 €. b) No: el número de entradas es un número natural, así que la gráfica son puntos sueltos. c) Son más baratas 3 entradas (75 €) que 4 (80 €), pero por solo 5 € más se lleva una entrada más. Si van 3 personas, a veces compensa comprar 4.

Para practicar más

1. Fácil
Indica si la gráfica de cada situación es continua, escalonada o de puntos sueltos: a) La altura de un globo aerostático durante su vuelo. b) El número de personas dentro de un ascensor a lo largo de una mañana. c) El precio de un aparcamiento que cobra por cada 15 minutos o fracción. d) El volumen de agua de una bañera mientras se llena.

Ver solución
a) Continua. b) Escalonada. c) Escalonada. d) Continua.
a) La altura cambia poco a poco: continua. b) Cambia de golpe cuando alguien entra o sale: escalonada. c) Precio por tramos: escalonada. d) El volumen crece poco a poco: continua.
2. Media
Un aparcamiento de un aeropuerto cobra 1,50 € por cada 15 minutos o fracción. La gráfica muestra el precio durante la primera hora. a) ¿Cuánto se paga por 20 min, por 45 min y por 1 h? b) ¿En qué puntos es discontinua la gráfica?

Ver solución
a) 3 €, 4,50 € y 6 €. b) En 15, 30 y 45 min.
a) 20 min son 2 fracciones de 15 min: 3 €. 45 min son 3 fracciones exactas: 4,50 €. 1 h son 4: 6 €. b) Salta 1,50 € en $t = 15$ , $t = 30$ y $t = 45$ min.
3. Media
La gráfica muestra la altura del agua en una bañera. Cuenta qué ocurre y explica cada discontinuidad.
Ver solución
Se llena 8 min; a los 8 min alguien entra (sube de golpe 10 cm); a los 20 min sale (baja 10 cm) y se vacía en 6 min.
- De 0 a 8 min se llena: la altura sube de 0 a 24 cm, poco a poco.
- En $t = 8$ salta de 24 a 34 cm: alguien se mete en la bañera (el agua sube de golpe).
- De 8 a 20 min la altura es constante (34 cm): está bañándose con el grifo cerrado.
- En $t = 20$ baja de golpe de 34 a 24 cm: sale de la bañera.
- De 20 a 26 min se vacía hasta 0. Es discontinua en $t = 8$ y en $t = 20$ .
4. Difícil
Una tarifa de móvil cuesta 10 € al mes e incluye 20 GB. Cada GB extra (o fracción) cuesta 2 €. a) ¿Cuánto se paga si se gastan 20 GB? ¿Y 20,5 GB? ¿Y 23 GB? b) La gráfica muestra el precio entre 15 y 24 GB. ¿Es continua en $x = 20$ ?

Ver solución
a) 10 €, 12 € y 16 €. b) No: salta de 10 € a 12 €.
a) 20 GB → 10 €. 20,5 GB → 1 GB extra (fracción) → 12 €. 23 GB → 3 GB extra → 16 €. b) Hasta 20 GB (incluido) el precio es 10 €, y en cuanto se pasa, 12 €: salto en $x = 20$ . Es discontinua en 20, 21, 22 y 23 GB.