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Matemáticas 3.º ESO · Funciones: concepto, dominio y recorrido

Recuerda: la notación f(x) y el cálculo de imágenes

Objetivo: Al terminar, sabrás usar la notación f(x) para calcular imágenes a partir de la fórmula, de una tabla o de la gráfica, e interpretarlas en contexto.

Recuerda

La notación f(x)

Para nombrar una función usamos una letra: $f$ , $g$ , $h$ … Si $f$ es una función, $f(x)$ (se lee « $f$ de $x$ ») es el valor de $y$ que corresponde a $x$ : $y = f(x)$

El valor $f(a)$ se llama imagen de $a$ .
El punto $\big(a, f(a)\big)$ está en la gráfica de $f$ .

En los problemas, la función suele nombrarse con la inicial de lo que mide: $C(n)$ para un coste según el número de unidades, $h(t)$ para una altura según el tiempo… Así, $C(20) = 150$ se lee «20 unidades cuestan 150 €».

Cómo se calcula una imagen

Con la fórmula: se sustituye $x$ por el número, entre paréntesis si es negativo o una fracción, y se opera respetando la jerarquía. Si $f(x) = 2x^2 - 1$ , entonces $f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 17$ .
Con una tabla: se busca el valor de $x$ en la primera fila y se lee el de debajo.
Con la gráfica: desde el valor $a$ del eje X se sube (o se baja) en vertical hasta la curva y se lee la altura en el eje Y.

Puntos clave

$f(a)$ es la imagen de $a$ : el valor de la función cuando $x = a$ .
Para calcular $f(a)$ con la fórmula, sustituye $x$ por $a$ entre paréntesis.
En la gráfica, $f(a)$ es la altura de la curva en $x = a$ .
Si $f(a) = b$ , el punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ , y al revés.

Errores frecuentes

ErrorCalcular $f(-3)$ con $x^2$ como $-3^2 = -9$ .
Cómo corregirloPon el número entre paréntesis: $(-3)^2 = 9$ . Sin paréntesis solo se eleva el 3.
ErrorConfundir $f(2)$ con «multiplicar $f$ por 2».
Cómo corregirlo $f(2)$ significa «la imagen de 2»: se sustituye $x$ por 2 en la fórmula.
ErrorLeer en la gráfica la $x$ en el eje vertical.
Cómo corregirloLa $x$ siempre está en el eje horizontal. Busca la $x$ abajo y lee la imagen a la altura de la curva.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Imágenes a partir de la fórmula numérico
Dada $f(x) = x^2 - 3x + 2$ , calcula $f(0)$ , $f(-1)$ , $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$ y $f(3)$ .

Resolución
- $f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$
- $f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$
- $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - 3 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{6}{4} + \dfrac{8}{4} = \dfrac{3}{4}$
- $f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$
Fíjate: $f(0) = f(3) = 2$ . Dos valores distintos de $x$ pueden tener la misma imagen. Los puntos $(0, 2)$ , $(-1, 6)$ y $(3, 2)$ están en la gráfica de $f$ .
Ejemplo 2. El nivel de un embalse gráfico (situación real)
La gráfica muestra el nivel aproximado de un embalse de la sierra de Madrid, en porcentaje de su capacidad, al principio de cada mes de un año ( $1$ = enero, …, $12$ = diciembre). Llamamos $N$ a esta función.

a) Halla $N(4)$ y $N(9)$ y explica qué significan. b) ¿En qué mes es mayor el nivel? ¿Cuál es?

Resolución
a) Leemos la altura de la gráfica: $N(4) = 82$ y $N(9) = 62$ . Significa que a principios de abril el embalse está al 82 % de su capacidad, y a principios de septiembre, al 62 %.

b) El punto más alto es $(5, 85)$ : el mayor nivel es en mayo, con un 85 %.

Observa que el eje vertical empieza en 50 %: así se ven mejor los cambios.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dada $f(x) = 3x - 5$ , calcula: a) $f(2)$ b) $f(-1)$ c) $f(0)$ d) $f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$

Ver solución
a) 1 b) −8 c) −5 d) −3
a) $f(2) = 3 \cdot 2 - 5 = 1$ b) $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5 = -8$ c) $f(0) = 3 \cdot 0 - 5 = -5$ d) $f\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = 3 \cdot \dfrac{2}{3} - 5 = 2 - 5 = -3$
2. Fácil
La función $g$ viene dada por esta tabla:

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$

$g(x)$ 7 4 3 4 7 12

a) Halla $g(-1)$ , $g(3)$ y $g(0) + g(2)$ . b) ¿Qué punto de la gráfica de $g$ corresponde a $g(2)$ ?

Ver solución
a) 4; 12; 10. b) (2, 7)
a) $g(-1) = 4$ ; $g(3) = 12$ ; $g(0) + g(2) = 3 + 7 = 10$ . b) El punto $(2, 7)$ .
3. Media
La gráfica de la función $f$ es la línea quebrada que une $(-4, -1)$ , $(-2, 3)$ , $(1, 0)$ y $(4, 2)$ . Lee en la gráfica: a) $f(-4)$ b) $f(-2)$ c) $f(0)$ d) $f(4)$ e) $f(-3)$

Ver solución
a) −1 b) 3 c) 1 d) 2 e) 1
Desde cada valor de $x$ vamos en vertical hasta la gráfica y leemos la altura: a) $f(-4) = -1$ b) $f(-2) = 3$ c) $f(0) = 1$ (el tramo de $(-2, 3)$ a $(1, 0)$ baja 1 unidad por cada unidad que avanza) d) $f(4) = 2$ e) $f(-3) = 1$ (punto medio entre $-1$ y $3$ ).

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g(x)$	7	4	3	4	7	12

Para practicar más

1. Fácil
Dada $f(x) = 2x^2 - x$ , calcula $f(-2)$ , $f(3)$ y $f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ .
Ver solución
f(−2) = 10; f(3) = 15; f(−1/2) = 1
- $f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - (-2) = 8 + 2 = 10$
- $f(3) = 2 \cdot 9 - 3 = 15$
- $f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$
2. Media
Para la fiesta de fin de curso, una tienda cobra por imprimir $n$ camisetas $C(n) = 60 + 4{,}5n$ euros. a) Calcula $C(20)$ y $C(50)$ . b) ¿Qué significa $C(0) = 60$ ?

Ver solución
a) 150 € y 285 €. b) Es el coste fijo (60 €), aunque no se imprima ninguna camiseta.
a) $C(20) = 60 + 4{,}5 \cdot 20 = 60 + 90 = 150$ €; $C(50) = 60 + 4{,}5 \cdot 50 = 60 + 225 = 285$ €. b) $C(0) = 60$ : hay un coste fijo de 60 € (preparar el diseño, la pantalla de impresión…) que se paga sea cual sea el número de camisetas. Cada camiseta añade 4,50 €.
3. Media
Sin dibujar la gráfica, decide si los puntos $A(2, 3)$ , $B(-1, 2)$ y $C(-3, 8)$ están en la gráfica de $f(x) = x^2 - 1$ .
Ver solución
A sí; B no; C sí.
Un punto $(a, b)$ está en la gráfica si $f(a) = b$ .
- $f(2) = 4 - 1 = 3$ → $A$ sí está.
- $f(-1) = 1 - 1 = 0 \neq 2$ → $B$ no está.
- $f(-3) = 9 - 1 = 8$ → $C$ sí está.