Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Funciones: concepto, dominio y recorrido

Recuerda: ¿qué es una función?

Objetivo: Al terminar, sabrás decidir si una relación dada con un enunciado, una tabla o una gráfica es una función, usando la prueba de la recta vertical, e identificar sus variables.

Recuerda

¿Qué es una función?

En muchas situaciones dos magnitudes están relacionadas: el precio y los kilos, la temperatura y la hora, el área de un cuadrado y su lado… Una relación entre dos variables es una función cuando a cada valor de la primera, $x$ , le hace corresponder un único valor de la segunda, $y$ .

$x$ es la variable independiente (la que elegimos o la que «pasa»: el tiempo, los kilos, los kilómetros…). Se representa en el eje horizontal.
$y$ es la variable dependiente (la que se obtiene a partir de $x$ ). Se representa en el eje vertical.

Decimos que « $y$ es función de $x$ ». Lo importante es la palabra único: a un mismo $x$ no le pueden corresponder dos valores distintos de $y$ . En cambio, sí puede haber dos valores de $x$ con el mismo $y$ .

Cuatro formas de dar una función

Con un enunciado: «el precio de las naranjas depende de los kilos que compres».
Con una tabla de valores.
Con una gráfica en unos ejes cartesianos.
Con una expresión algebraica (fórmula): $y = 1{,}80 \cdot x$ .

Prueba de la recta vertical

Una gráfica es de una función si cualquier recta vertical la corta, como mucho, en un punto. Si alguna recta vertical la corta en dos o más puntos, a ese $x$ le corresponden varios valores de $y$ y no es función.

Relaciones que no son funciones

No todas las relaciones son funciones. Por ejemplo, «a cada edad, los alumnos del instituto que la tienen» no lo es: a la edad de 13 años le corresponden muchos alumnos. Tampoco «a cada número positivo, los números cuyo cuadrado es ese número»: al 4 le corresponden el 2 y el $-2$ .

Puntos clave

Función: a cada valor de $x$ le corresponde un único valor de $y$ .
$x$ es la variable independiente (eje horizontal) e $y$ la dependiente (eje vertical).
Una función se puede dar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula.
Prueba de la recta vertical: si alguna recta vertical corta a la gráfica en más de un punto, no es función.
Dos valores de $x$ pueden tener la misma $y$ ; lo que no puede pasar es que un $x$ tenga dos $y$ .

Errores frecuentes

ErrorPensar que una tabla no es función porque se repite un valor de $y$ .
Cómo corregirloLo que no se puede repetir con resultados distintos es la $x$ . Si $x = 2$ y $x = 14$ dan el mismo $y$ , sigue siendo función.
ErrorUsar rectas horizontales para la prueba de la gráfica.
Cómo corregirloLa prueba se hace con rectas verticales (un mismo $x$ ). Que una recta horizontal corte varias veces no impide que sea función.
ErrorConfundir qué variable depende de cuál.
Cómo corregirloPregúntate: «¿qué depende de qué?». El precio depende de los kilos, no al revés: los kilos son la variable independiente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El precio de la luz a lo largo del día situación real (tabla)
La tabla da el precio aproximado de la electricidad (en €/kWh) a distintas horas de un día en una casa de Madrid:

Hora 2 6 10 14 18 22

Precio (€/kWh) 0,10 0,08 0,15 0,10 0,12 0,18

a) ¿Es el precio función de la hora? ¿Cuáles son las variables? b) ¿Es la hora función del precio?

Resolución
a) Sí. A cada hora le corresponde un único precio. La variable independiente es la hora y la dependiente, el precio (en €/kWh).

b) No. Si damos el precio 0,10 €/kWh, le corresponden dos horas distintas: las 2 y las 14. A un valor le corresponderían dos resultados, así que la hora no es función del precio.
Ejemplo 2. La prueba de la recta vertical gráfico
¿Es la curva de la figura la gráfica de una función? Usa la recta vertical $x = 2$ que está dibujada.

Resolución
La recta vertical $x = 2$ corta a la curva en dos puntos: $(2, 2)$ y $(2, -2)$ . Al valor $x = 2$ le corresponden dos valores de $y$ , así que no es la gráfica de una función.

Basta con encontrar una sola recta vertical que corte dos veces para decir que no es función.

Hora	2	6	10	14	18	22
Precio (€/kWh)	0,10	0,08	0,15	0,10	0,12	0,18

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si cada relación es una función. Si lo es, di cuál es la variable independiente y cuál la dependiente. a) A cada alumno de tu clase, su fecha de nacimiento. b) A cada cantidad de litros de gasolina que echas, lo que pagas. c) A cada número positivo, los números cuyo cuadrado es ese número. d) A cada edad, los alumnos de tu instituto que tienen esa edad.

Ver solución
a) Sí (alumno → fecha). b) Sí (litros → precio). c) No. d) No.
a) Sí: cada alumno tiene una sola fecha de nacimiento. Independiente: el alumno; dependiente: la fecha. b) Sí: a cada cantidad de litros le corresponde un único precio. Independiente: los litros; dependiente: el precio (€). c) No: al 9 le corresponden dos números, $3$ y $-3$ , porque $3^2 = (-3)^2 = 9$ . d) No: a la edad de 14 años le corresponden muchos alumnos.
2. Fácil
¿Cuál de estas tablas representa una función de $x$ ? Justifícalo.

Tabla A

$x$ 1 2 3 4

$y$ 5 7 5 9

Tabla B

$x$ 0 1 1 2

$y$ 3 4 6 8

Ver solución
A sí es función; B no lo es.
Tabla A: cada $x$ aparece una sola vez, con un solo valor de $y$ . Que $y = 5$ salga dos veces (para $x = 1$ y $x = 3$ ) no importa. Es función.

Tabla B: el valor $x = 1$ tiene dos valores de $y$ distintos, $4$ y $6$ . No es función.
3. Media
Observa la línea quebrada de la figura, formada por los segmentos que unen $(0, 0)$ , $(3, 3)$ , $(2, 5)$ y $(5, 6)$ . ¿Es la gráfica de una función? Busca una recta vertical que lo justifique.

Ver solución
No es función: la recta x = 2,5 la corta en tres puntos.
Entre $x = 2$ y $x = 3$ la línea «vuelve hacia atrás». Por ejemplo, la recta vertical $x = 2{,}5$ la corta en tres puntos, de alturas $y = 2{,}5$ ; $y = 4$ e $y \approx 5{,}2$ .

Como a $x = 2{,}5$ le corresponden tres valores de $y$ , no es la gráfica de una función. (Cualquier recta vertical con $2 < x < 3$ sirve.)

$x$	1	2	3	4
$y$	5	7	5	9

$x$	0	1	1	2
$y$	3	4	6	8

Para practicar más

1. Fácil
En cada situación, indica la variable independiente y la dependiente, con sus unidades. a) El precio de un trayecto en taxi por Madrid depende de los kilómetros recorridos. b) La altura de una planta de tomate según los días que han pasado desde que se sembró. c) El tiempo que tardas en ir a Toledo en coche según la velocidad media.

Ver solución
a) km → €. b) días → cm. c) km/h → h (o min).
a) Independiente: distancia recorrida (km). Dependiente: precio (€). b) Independiente: tiempo (días). Dependiente: altura de la planta (cm). c) Independiente: velocidad media (km/h). Dependiente: tiempo de viaje (h o min).
2. Media
La tabla relaciona el número de lados de un polígono con su número de diagonales:

Lados 3 4 5 6 7

Diagonales 0 2 5 9 ?

a) ¿Es el número de diagonales función del número de lados? ¿Por qué? b) Dibuja un heptágono y cuenta sus diagonales para completar la tabla. Comprueba el resultado con la fórmula $d = \dfrac{n \cdot (n - 3)}{2}$ , donde $n$ es el número de lados.

Ver solución
a) Sí. b) 14 diagonales.
a) Sí: cada polígono con un número de lados dado tiene un único número de diagonales. b) Desde cada vértice salen $7 - 3 = 4$ diagonales; $7 \cdot 4 = 28$ , pero así cada diagonal se cuenta dos veces: $28 : 2 = 14$ . Con la fórmula: $d = \dfrac{7 \cdot (7 - 3)}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$ diagonales.
3. Media
Dibuja en los ejes una curva que no sea la gráfica de una función y traza una recta vertical que lo demuestre.

Ver solución
Respuesta abierta: por ejemplo, una circunferencia.
Respuesta abierta. Por ejemplo, una circunferencia de centro $(0, 0)$ y radio 3: la recta vertical $x = 0$ la corta en $(0, 3)$ y en $(0, -3)$ , dos puntos con el mismo $x$ , así que no es función.