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Explicación

Cómo resolver un problema de progresiones

Escribe los primeros términos a partir del enunciado: $a_1, a_2, a_3, \dots$
Decide el tipo de progresión:

En el enunciado…	Tipo	Dato
«cada mes 5 € más», «cada fila 2 asientos menos»	aritmética (se suma)	diferencia $d$
«se duplica», «el triple que el anterior», «la mitad cada hora»	geométrica (se multiplica)	razón $r$

Decide qué te piden:
- lo que ocurre en un momento (el mes 12, la hora 6…) → un término $a_n$ ;
- lo acumulado («en total», «entre todos», «en todo el año») → una suma $S_n$ .
Elige la fórmula:

	Término general	Suma de $n$ términos
Aritmética	$a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$	$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$
Geométrica	$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$	$S_n = \dfrac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$

Contesta con unidades y comprueba que el resultado tiene sentido.

Cuidado con el primer término: si el enunciado da una cantidad inicial «en el momento 0» y pregunta qué hay «después de $n$ periodos», es más cómodo escribir $a_0 \cdot r^n$ (se multiplica $n$ veces).

Puntos clave

Se suma una cantidad fija → progresión aritmética; se multiplica por un número fijo → geométrica.
«En total», «acumulado» → suma $S_n$ ; lo que ocurre en un momento → término $a_n$ .
Escribe siempre los primeros términos antes de elegir la fórmula.
Si hay una cantidad inicial y se repite un cambio $n$ veces, el resultado es la inicial por $r^n$ .
Las progresiones geométricas con $r > 1$ acaban superando a cualquier aritmética.

Errores frecuentes

ErrorTratar «se duplica cada mes» como si se sumara 2 cada mes.
Cómo corregirlo«Duplicar» es multiplicar por 2: es geométrica con $r = 2$ . Escribe los términos: $100, 200, 400, \dots$ , no $100, 102, 104, \dots$
ErrorContestar con un término cuando piden el total («¿cuánto ha ahorrado en el año?» → dar lo del mes 12).
Cómo corregirloLee la pregunta otra vez: si dice «en total» o «en todo», hay que sumar.
ErrorEquivocarse en el número de periodos: en 3 horas con duplicación cada 20 min, contar 3 periodos.
Cómo corregirloPasa todo a la misma unidad: 3 h = 180 min = 9 periodos de 20 min.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Ahorrar para un viaje situación real (aritmética)
Pablo quiere ahorrar para el viaje de fin de curso. En enero guarda 20 € y cada mes guarda 5 € más que el mes anterior. a) ¿Cuánto guarda en diciembre? b) ¿Cuánto ha ahorrado en total al terminar el año?

Resolución
Términos: $20, 25, 30, \dots$ : se suma 5 cada mes → aritmética con $a_1 = 20$ y $d = 5$ . a) Diciembre es el mes 12 (un término): $a_{12} = 20 + 11 \cdot 5 = 75$ €. b) «En total» → suma: $S_{12} = \dfrac{(20 + 75)\cdot 12}{2} = 570$ €.
Ejemplo 2. Bacterias en el laboratorio situación real (geométrica)
En un laboratorio se prepara un cultivo con 500 bacterias. El número de bacterias se duplica cada 20 minutos. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 horas?

Resolución
«Se duplica» → geométrica con $r = 2$ . En 3 h $= 180$ min hay $180 : 20 = 9$ periodos de 20 min. La cantidad inicial se multiplica 9 veces por 2: $500 \cdot 2^9 = 500 \cdot 512 = 256\,000 \text{ bacterias}$ Con la notación de las progresiones: $a_1 = 1000$ (tras el primer periodo), $a_9 = 1000 \cdot 2^8 = 256\,000$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si cada situación corresponde a una progresión aritmética o geométrica y da su diferencia o su razón: a) Un árbol crece 30 cm cada año. b) Una cuenta de una red social duplica sus seguidores cada mes. c) Cada 4 años, un objeto vale la mitad que 4 años antes. d) Se apilan cajas de 500 folios cada una: contamos los folios que hay en la pila cada vez que se añade una caja.

Ver solución
a) Aritmética, d = 30 cm. b) Geométrica, r = 2. c) Geométrica, r = 1/2 (cada 4 años). d) Aritmética, d = 500 folios por caja.
a) Se suman 30 cm: aritmética, $d = 30$ cm. b) Se multiplica por 2: geométrica, $r = 2$ . c) Se multiplica por $\tfrac{1}{2}$ cada 4 años: geométrica, $r = \tfrac{1}{2}$ (contando periodos de 4 años). d) El número de folios aumenta 500 con cada caja: aritmética, $d = 500$ .
2. Fácil
Para preparar un examen, Irene estudia 15 minutos el primer día y cada día estudia 10 minutos más que el anterior. a) ¿Cuántos minutos estudia el día 8? b) ¿Cuánto tiempo ha estudiado en total en esos 8 días? Exprésalo en horas y minutos.

Ver solución
a) 85 min. b) 400 min = 6 h 40 min.
Aritmética: $a_1 = 15$ , $d = 10$ . a) $a_8 = 15 + 7 \cdot 10 = 85$ min. b) $S_8 = \dfrac{(15 + 85)\cdot 8}{2} = 400$ min $= 6$ h $40$ min.
3. Media
Un bulo empieza a circular por internet: en la primera hora lo comparten 2 personas y cada hora lo comparte el triple de personas nuevas que la hora anterior. a) ¿Cuántas personas nuevas lo comparten en la hora 6? b) ¿Cuántas personas lo han compartido en total en esas 6 horas?

Ver solución
a) 486. b) 728.
Geométrica: $a_1 = 2$ , $r = 3$ . a) $a_6 = 2 \cdot 3^5 = 486$ personas. b) $S_6 = \dfrac{2 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = 3^6 - 1 = 728$ personas.
4. Difícil
Te ofrecen dos formas de pagarte un trabajo de verano:
- Oferta A: 10 € el primer día y cada día 2 € más que el anterior.
- Oferta B: 1 céntimo el primer día y cada día el doble que el anterior.
¿Cuánto cobrarías en total con cada oferta si trabajas 10 días? ¿Y si trabajas 20 días? ¿Qué oferta te conviene en cada caso?
Ver solución
10 días: A = 190 €, B = 10,23 € (mejor A). 20 días: A = 580 €, B = 10 485,75 € (mejor B).
A: aritmética, $a_1 = 10$ , $d = 2$ . 10 días: $a_{10} = 28$ ; $S_{10} = \dfrac{(10 + 28)\cdot 10}{2} = 190$ €. 20 días: $a_{20} = 48$ ; $S_{20} = \dfrac{(10 + 48)\cdot 20}{2} = 580$ €.

B: geométrica, $a_1 = 0{,}01$ €, $r = 2$ . 10 días: $S_{10} = 0{,}01 \cdot (2^{10} - 1) = 0{,}01 \cdot 1023 = 10{,}23$ €. 20 días: $S_{20} = 0{,}01 \cdot (2^{20} - 1) = 0{,}01 \cdot 1\,048\,575 = 10\,485{,}75$ €.

Para 10 días conviene la A; para 20 días, muchísimo la B: la geométrica empieza despacio pero acaba superando a la aritmética.

Para practicar más

1. Fácil
Lucas mete en su hucha 3 € la primera semana y cada semana 2 € más que la anterior. a) ¿Cuánto mete la semana 20? b) ¿Cuánto dinero tiene en la hucha después de 20 semanas?

Ver solución
a) 41 €. b) 440 €.
Aritmética: $a_1 = 3$ , $d = 2$ . a) $a_{20} = 3 + 19 \cdot 2 = 41$ €. b) $S_{20} = \dfrac{(3 + 41)\cdot 20}{2} = 440$ €.
2. Media
Una planta acuática cubre 2 m² de la superficie de un estanque y cada semana duplica la superficie que cubre. a) ¿Qué superficie cubre al cabo de 6 semanas? b) El estanque tiene 512 m². ¿Cuántas semanas tarda en cubrirlo entero? c) ¿Cuándo estaba cubierta la mitad del estanque?

Ver solución
a) 128 m². b) 8 semanas. c) A las 7 semanas.
Geométrica con $r = 2$ : tras $n$ semanas cubre $2 \cdot 2^n$ m². a) $2 \cdot 2^6 = 128$ m². b) $2 \cdot 2^n = 512 \Rightarrow 2^n = 256 = 2^8 \Rightarrow n = 8$ semanas. c) Como se duplica cada semana, una semana antes de cubrirlo entero cubría la mitad: a las 7 semanas ( $2 \cdot 2^7 = 256$ m²).
3. Media
Hugo empieza a ir a la piscina municipal. El primer día nada 400 m y cada día nada 100 m más que el anterior. ¿Qué día nadará 2 km por primera vez?

Ver solución
El día 17.
Aritmética: $a_1 = 400$ , $d = 100$ (en metros). $400 + (n-1)\cdot 100 = 2000 \Rightarrow (n-1)\cdot 100 = 1600 \Rightarrow n = 17$ .
4. Fácil
Un ayuntamiento de la Comunidad de Madrid planta 150 árboles el primer año de un plan de reforestación y cada año planta 30 árboles más que el anterior. ¿Cuántos árboles planta el octavo año? ¿Cuántos ha plantado en total en los 8 años?

Ver solución
360 árboles el octavo año; 2040 en total.
Aritmética: $a_1 = 150$ , $d = 30$ . $a_8 = 150 + 7 \cdot 30 = 360$ árboles. $S_8 = \dfrac{(150 + 360)\cdot 8}{2} = 2040$ árboles.

Problemas de progresiones: ¿aritmética o geométrica?