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Matemáticas 3.º ESO · Problemas de progresiones

Crecimiento y decrecimiento porcentual con progresiones

Objetivo: Al terminar, sabrás modelizar con progresiones geométricas situaciones en las que una cantidad aumenta o disminuye un mismo porcentaje en cada periodo: depreciación, poblaciones e interés compuesto.

Explicación

Variaciones porcentuales repetidas

Aumentar una cantidad un $p\ \%$ es multiplicarla por el índice de variación: $\text{aumento del } p\ \% \;\to\; \cdot\left(1 + \frac{p}{100}\right) \qquad \text{disminución del } p\ \% \;\to\; \cdot\left(1 - \frac{p}{100}\right)$ Por ejemplo, subir un 5 % es multiplicar por 1,05 y bajar un 20 % es multiplicar por 0,80.

Si el mismo porcentaje se aplica en cada periodo (cada año, cada mes…), las cantidades forman una progresión geométrica cuya razón es el índice de variación: $C_0,\ C_0 \cdot r,\ C_0 \cdot r^2,\ \dots \qquad \boxed{C_n = C_0 \cdot r^{\,n}}$ donde $C_0$ es la cantidad inicial y $C_n$ la cantidad después de $n$ periodos.

Crecimiento (poblaciones, seguidores, ahorros): $r > 1$ .
Decrecimiento (depreciación de un coche, un medicamento que se elimina): $0 < r < 1$ .

Interés compuesto

Si los intereses se suman al capital cada año, el capital crece en progresión geométrica. Es la fórmula del interés compuesto: $C_f = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$ ¡Ojo con las letras! En esta fórmula, $r$ es el rédito (el porcentaje anual) y $t$ el número de años; la razón de la progresión es $1 + \dfrac{r}{100}$ .

En el interés simple, en cambio, se cobra siempre lo mismo cada año: el capital crece en progresión aritmética.

¿Cuándo se llega a una cantidad?

Para saber cuántos periodos hacen falta, se prueba con la calculadora $n = 1, 2, 3, \dots$ (tanteo) hasta pasar la cantidad buscada.

Puntos clave

Aumentar un $p\ \%$ es multiplicar por $1 + \frac{p}{100}$ ; disminuir un $p\ \%$ , por $1 - \frac{p}{100}$ .
Un mismo porcentaje repetido da una progresión geométrica de razón el índice de variación.
Después de $n$ periodos: $C_n = C_0 \cdot r^n$ .
Interés compuesto: progresión geométrica. Interés simple: progresión aritmética.
Para saber cuándo se alcanza una cantidad, tantea con la calculadora.

Errores frecuentes

ErrorRestar el porcentaje siempre de la cantidad inicial: un coche de 24 000 € que pierde un 15 % al año «pierde 3600 € cada año».
Cómo corregirloCada año pierde el 15 % de lo que vale ese año, que es cada vez menos: se multiplica por 0,85 cada año.
ErrorSumar porcentajes: «subir un 10 % dos años seguidos es subir un 20 %».
Cómo corregirlo $1{,}10 \cdot 1{,}10 = 1{,}21$ : es una subida del 21 %.
ErrorUsar como razón el porcentaje en lugar del índice: multiplicar por 0,15 cuando el valor baja un 15 %.
Cómo corregirloSi baja un 15 %, queda el 85 %: la razón es 0,85. Multiplicar por 0,15 da solo lo que se pierde.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Lo que pierde un coche situación real (decrecimiento)
Un coche nuevo cuesta 24 000 € y pierde cada año el 15 % del valor que tenía el año anterior. a) ¿Cuánto vale al cabo de 1 año? ¿Y al cabo de 5 años? b) ¿Después de cuántos años vale menos de la mitad de lo que costó?

Resolución
Perder un 15 % es multiplicar por $0{,}85$ : progresión geométrica con $r = 0{,}85$ . a) $C_1 = 24\,000 \cdot 0{,}85 = 20\,400$ €. $C_5 = 24\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 10\,648{,}93$ €. b) Buscamos $n$ con $0{,}85^n < 0{,}5$ . Tanteo: $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ (todavía más de la mitad); $0{,}85^5 \approx 0{,}444$ (menos de la mitad). A los 5 años.
Ejemplo 2. La población de Madrid situación real (crecimiento)
La ciudad de Madrid tiene unos 3,4 millones de habitantes. Supongamos que su población creciera un 1 % cada año. ¿Cuántos habitantes tendría dentro de 10 años? Redondea a las centésimas de millón.

Resolución
Crecer un 1 % es multiplicar por $1{,}01$ . Dentro de 10 años: $P_{10} = 3{,}4 \cdot 1{,}01^{10} \approx 3{,}4 \cdot 1{,}1046 \approx 3{,}76 \text{ millones}$ En 10 años crecería algo más de un 10 % ( $1{,}01^{10} \approx 1{,}105$ ), porque cada año el 1 % se calcula sobre una población mayor.
Ejemplo 3. Interés simple frente a interés compuesto gráfico
Se depositan 5000 € a un interés del 3 % anual durante 10 años. a) Con interés compuesto, ¿cuánto dinero habrá al cabo de 4 años? ¿Y de 10 años? b) Con interés simple, cada año se cobran siempre $5000 \cdot 0{,}03 = 150$ €. ¿Cuánto habrá a los 4 y a los 10 años? c) Observa la gráfica: ¿qué tipo de progresión sigue cada capital?

Resolución
a) Compuesto: $r = 1{,}03$ . $C_4 = 5000 \cdot 1{,}03^4 \approx 5627{,}54$ €; $C_{10} = 5000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 6719{,}58$ €. b) Simple: se suman 150 € cada año. A los 4 años: $5000 + 4 \cdot 150 = 5600$ €; a los 10 años: $5000 + 10 \cdot 150 = 6500$ €. c) El capital con interés simple sigue una progresión aritmética ( $d = 150$ ): sus puntos están alineados. El del compuesto sigue una progresión geométrica ( $r = 1{,}03$ ): sus puntos se curvan hacia arriba y cada año se separan más de los otros.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un móvil cuesta 800 € y pierde el 25 % de su valor cada año. ¿Cuánto vale al cabo de 3 años?

Ver solución
337,50 €.
$r = 0{,}75$ : $C_3 = 800 \cdot 0{,}75^3 = 800 \cdot 0{,}421875 = 337{,}50$ €.
2. Fácil
Una aplicación tiene 5000 usuarios y el número de usuarios aumenta un 20 % cada mes. ¿Cuántos usuarios tendrá al cabo de 6 meses? Redondea a las unidades.

Ver solución
Unos 14 930 usuarios.
$r = 1{,}2$ : $C_6 = 5000 \cdot 1{,}2^6 \approx 14\,929{,}92 \approx 14\,930$ usuarios.
3. Media
Se depositan 2000 € en una cuenta al 2,5 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 6 años? ¿Cuántos euros de intereses se han generado?

Ver solución
2319,39 €; 319,39 € de intereses.
$r = 1{,}025$ : $C_6 = 2000 \cdot 1{,}025^6 \approx 2319{,}39$ €. Intereses: $2319{,}39 - 2000 = 319{,}39$ €.
4. Difícil
¿Cuántos años tarda en duplicarse un capital colocado al 6 % de interés compuesto anual? Resuélvelo por tanteo con la calculadora.

Ver solución
12 años.
Buscamos $n$ con $1{,}06^n \geq 2$ . $1{,}06^{10} \approx 1{,}791$ ; $1{,}06^{11} \approx 1{,}898$ ; $1{,}06^{12} \approx 2{,}012$ . Se duplica a los 12 años (no depende del capital inicial).
5. Media
En pleno verano, un embalse de la sierra de Madrid tiene 60 hm³ de agua y pierde el 4 % de su agua cada semana. ¿Cuánta agua tendrá al cabo de 8 semanas si no llueve? Redondea a las centésimas.

Ver solución
Unos 43,28 hm³.
$r = 0{,}96$ : $C_8 = 60 \cdot 0{,}96^8 \approx 43{,}28$ hm³.

Para practicar más

1. Fácil
Una moto cuesta 6000 € y se deprecia un 12 % cada año. ¿Cuánto vale al cabo de 4 años?

Ver solución
Unos 3598,17 €.
$r = 0{,}88$ : $C_4 = 6000 \cdot 0{,}88^4 \approx 3598{,}17$ €.
2. Fácil
Un pueblo de la Comunidad de Madrid tiene 12 000 habitantes y su población crece un 3 % cada año. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 5 años? Redondea a las unidades.

Ver solución
Unos 13 911 habitantes.
$r = 1{,}03$ : $P_5 = 12\,000 \cdot 1{,}03^5 \approx 13\,911{,}29 \approx 13\,911$ habitantes.
3. Media
Se invierten 10 000 € al 4 % de interés compuesto anual durante 3 años. a) Escribe el capital al final de cada año. ¿Qué tipo de progresión forman? b) ¿Cuántos euros de intereses se han generado en total?

Ver solución
a) 10 400; 10 816; 11 248,64 €; geométrica de razón 1,04. b) 1248,64 €.
a) $C_1 = 10\,400$ €; $C_2 = 10\,816$ €; $C_3 = 11\,248{,}64$ €. Progresión geométrica con $r = 1{,}04$ . b) $11\,248{,}64 - 10\,000 = 1248{,}64$ €.
4. Difícil
Una persona toma una dosis de 500 mg de un medicamento. Cada hora, su cuerpo elimina el 20 % de la cantidad de medicamento que queda. a) ¿Cuánto medicamento queda al cabo de 6 horas? Redondea a las centésimas. b) ¿Al cabo de cuántas horas quedan por primera vez menos de 100 mg?

Ver solución
a) 131,07 mg. b) A las 8 horas.
Queda el 80 % cada hora: $r = 0{,}8$ . a) $500 \cdot 0{,}8^6 \approx 131{,}07$ mg. b) Tanteo: $500 \cdot 0{,}8^7 \approx 104{,}86$ mg (aún más de 100); $500 \cdot 0{,}8^8 \approx 83{,}89$ mg. A las 8 horas.