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Matemáticas 3.º ESO · Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

Objetivo: Al terminar, sabrás decidir si una progresión geométrica tiene suma infinita y calcularla con S = a₁ / (1 − r) cuando −1 < r < 1.

Explicación

Cuándo tiene suma una progresión geométrica

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica, $S_n = \dfrac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$ , se puede escribir también así (cambiando de signo el numerador y el denominador): $S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}$

Si $-1 < r < 1$ , las potencias $r^n$ se hacen cada vez más pequeñas y se acercan a 0 (por ejemplo, $0{,}5^{10} \approx 0{,}001$ ). Entonces $S_n$ se acerca a $\dfrac{a_1}{1 - r}$ .
Si $r \geq 1$ o $r \leq -1$ , los términos no se hacen pequeños y la suma infinita no da un número.

Fórmula de la suma infinita

Si $-1 < r < 1$ : $\boxed{S = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots = \frac{a_1}{1 - r}}$

Pasos

Calcula la razón $r$ .
Comprueba que $-1 < r < 1$ . Si no se cumple, la suma infinita no existe.
Aplica $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$ , con cuidado con los signos si $r$ es negativa.

Por ejemplo, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = \dfrac{\tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}} = 1$ .

Puntos clave

Una progresión geométrica tiene suma infinita solo si $-1 < r < 1$ .
Suma infinita: $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$ .
Si $r$ es negativa, $1 - r$ es mayor que 1: $1 - (-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{3}{2}$ .
Si $r \geq 1$ o $r \leq -1$ , la suma infinita no da un número.
La fórmula también permite despejar $a_1$ o $r$ si se conoce la suma.

Errores frecuentes

ErrorAplicar la fórmula sin mirar la razón: con $2 + 6 + 18 + \dots$ obtener $\dfrac{2}{1 - 3} = -1$ .
Cómo corregirloComprueba primero $-1 < r < 1$ . Aquí $r = 3$ : la suma crece sin límite (¡no puede dar negativo sumando positivos!).
ErrorEquivocarse con el signo cuando $r$ es negativa: $1 - (-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2}$ .
Cómo corregirloMenos por menos es más: $1 - (-\tfrac{1}{2}) = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$ .
ErrorPensar que con $r = -1$ hay suma porque «unos términos compensan a otros».
Cómo corregirloCon $r = -1$ las sumas parciales saltan entre dos valores sin acercarse a ninguno: no hay suma.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Aplicar la fórmula numérico
Calcula, si existe, la suma de los infinitos términos de: a) $6 + 3 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{4} + \dots$ b) $5 - \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{8} + \dots$

Resolución
a) $r = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , que está entre $-1$ y $1$ : hay suma. $S = \frac{6}{1 - \tfrac{1}{2}} = \frac{6}{\tfrac{1}{2}} = 12$ (Con la calculadora, $S_{10} \approx 11{,}988$ : se acerca a 12 ✔.)

b) $r = \dfrac{-5/2}{5} = -\dfrac{1}{2}$ , entre $-1$ y $1$ : hay suma. $S = \frac{5}{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)} = \frac{5}{\tfrac{3}{2}} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$
Ejemplo 2. ¿Tiene suma o no? numérico (convergencia)
Decide si estas sumas infinitas dan un número y, si es así, calcúlalo: a) $2 + 6 + 18 + \dots$ b) $100 + 80 + 64 + \dots$ c) $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

Resolución
a) $r = 3 > 1$ : los términos crecen; no tiene suma. b) $r = \dfrac{80}{100} = 0{,}8$ : hay suma. $S = \dfrac{100}{1 - 0{,}8} = \dfrac{100}{0{,}2} = 500$ . c) $r = -1$ : las sumas parciales son $1, 0, 1, 0, \dots$ y no se acercan a ningún número; no tiene suma.
Ejemplo 3. Cuadrados encajados geométrico
Dibujamos un cuadrado de 8 cm de lado. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma otro cuadrado dentro, cuya área es la mitad. Repetimos el proceso indefinidamente con cada nuevo cuadrado. ¿Cuánto suman las áreas de todos los cuadrados?

Resolución
Áreas: $64, 32, 16, 8, \dots$ cm². Progresión geométrica con $a_1 = 64$ y $r = \dfrac{1}{2}$ . $S = \frac{64}{1 - \tfrac{1}{2}} = 128\ \text{cm}^2$ La suma de las áreas de los infinitos cuadrados es el doble del área del primero.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la suma de los infinitos términos: a) $12 + 4 + \dfrac{4}{3} + \dots$ b) $20 + 5 + \dfrac{5}{4} + \dots$ c) $1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{25} - \dots$

Ver solución
a) 18. b) 80/3. c) 5/6.
a) $r = \tfrac{1}{3}$ : $S = \dfrac{12}{1 - \tfrac{1}{3}} = \dfrac{12}{\tfrac{2}{3}} = 18$ . b) $r = \tfrac{1}{4}$ : $S = \dfrac{20}{\tfrac{3}{4}} = \dfrac{80}{3} \approx 26{,}67$ . c) $r = -\tfrac{1}{5}$ : $S = \dfrac{1}{1 + \tfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\tfrac{6}{5}} = \dfrac{5}{6}$ .
2. Media
¿Tienen suma estas progresiones? Si la tienen, calcúlala. a) $3 + 4{,}5 + 6{,}75 + \dots$ b) $45 + 30 + 20 + \dots$ c) $7 - 7 + 7 - 7 + \dots$

Ver solución
a) No (r = 1,5). b) Sí, 135. c) No (r = −1).
a) $r = 1{,}5 > 1$ : no tiene suma. b) $r = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$ : $S = \dfrac{45}{1 - \tfrac{2}{3}} = \dfrac{45}{\tfrac{1}{3}} = 135$ . c) $r = -1$ : no tiene suma (las sumas parciales son $7, 0, 7, 0, \dots$ ).
3. Media
a) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 30 y su razón es $\tfrac{1}{3}$ . Calcula el primer término. b) Otra progresión geométrica tiene $a_1 = 8$ y su suma infinita es 10. Calcula la razón.

Ver solución
a) a₁ = 20. b) r = 0,2.
a) $30 = \dfrac{a_1}{1 - \tfrac{1}{3}} \Rightarrow a_1 = 30 \cdot \dfrac{2}{3} = 20$ . b) $10 = \dfrac{8}{1 - r} \Rightarrow 1 - r = 0{,}8 \Rightarrow r = 0{,}2$ .
4. Difícil
Un triángulo equilátero tiene 48 cm² de área. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma otro triángulo equilátero cuya área es la cuarta parte. Se repite el proceso indefinidamente. ¿Cuánto suman las áreas de todos los triángulos?

Ver solución
64 cm².
Áreas: $48, 12, 3, \dots$ : $a_1 = 48$ , $r = \tfrac{1}{4}$ . $S = \dfrac{48}{1 - \tfrac{1}{4}} = \dfrac{48}{\tfrac{3}{4}} = 64$ cm².

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la suma de los infinitos términos: a) $9 + 3 + 1 + \dots$ b) $16 - 8 + 4 - \dots$ c) $2 + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{25} + \dots$

Ver solución
a) 27/2 = 13,5. b) 32/3. c) 5/2.
a) $r = \tfrac{1}{3}$ : $S = \dfrac{9}{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{27}{2} = 13{,}5$ . b) $r = -\tfrac{1}{2}$ : $S = \dfrac{16}{\tfrac{3}{2}} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ . c) $r = \tfrac{1}{5}$ : $S = \dfrac{2}{\tfrac{4}{5}} = \dfrac{5}{2}$ .
2. Media
¿Tienen suma estas progresiones? Si la tienen, calcúlala. a) $1 + 1{,}1 + 1{,}21 + \dots$ b) $81 - 27 + 9 - \dots$

Ver solución
a) No (r = 1,1). b) Sí, 243/4 = 60,75.
a) $r = 1{,}1 > 1$ : no tiene suma. b) $r = -\tfrac{1}{3}$ : $S = \dfrac{81}{1 + \tfrac{1}{3}} = \dfrac{81}{\tfrac{4}{3}} = \dfrac{243}{4} = 60{,}75$ .
3. Media
Una progresión geométrica tiene $a_1 = 9$ y la suma de todos sus términos es 12. Calcula la razón y escribe los cuatro primeros términos.

Ver solución
r = 1/4; 9, 9/4, 9/16, 9/64.
$12 = \dfrac{9}{1 - r} \Rightarrow 1 - r = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow r = \dfrac{1}{4}$ . Términos: $9, \dfrac{9}{4}, \dfrac{9}{16}, \dfrac{9}{64}$ .
4. Difícil
Un niño se balancea en un columpio sin que nadie lo empuje. En la primera oscilación el asiento recorre 2 m y en cada oscilación recorre el 90 % de lo que recorrió en la anterior. Si suponemos que sigue oscilando indefinidamente, ¿qué distancia recorre en total el asiento?

Ver solución
20 m.
Distancias: $2;\ 1{,}8;\ 1{,}62;\ \dots$ m: geométrica con $a_1 = 2$ y $r = 0{,}9$ . $S = \dfrac{2}{1 - 0{,}9} = \dfrac{2}{0{,}1} = 20$ m.