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Matemáticas 3.º ESO · Patrones y regularidades numéricas

Recuerda: números figurados y la fórmula de un patrón

Objetivo: Al terminar, sabrás expresar con palabras y con una fórmula la regla de un patrón numérico o geométrico, y usarla para calcular cualquier figura.

Recuerda

La fórmula de un patrón

Si numeramos las figuras de un patrón ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ), podemos buscar una fórmula que dé el número de elementos de la figura $n$ . Con ella calculamos cualquier figura sin dibujarla.

Cómo encontrar la fórmula

Haz una tabla: figura $n$ y número de elementos.
Si cada figura añade siempre la misma cantidad $a$ , la fórmula es del tipo $a \cdot n + b$ . El número $b$ se obtiene con la primera figura. (Muchas veces se escribe sin el punto: $3n + 1$ significa $3 \cdot n + 1$ .)
Lee la fórmula en el dibujo: ¿qué hay fijo y qué se repite $n$ veces?
Comprueba la fórmula con dos figuras.

Números figurados

$n$	1	2	3	4	5
Cuadrados $n^2$	1	4	9	16	25
Triangulares $\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}$	1	3	6	10	15

Cuadrados: puntos colocados formando un cuadrado de $n$ filas y $n$ columnas.
Triangulares: puntos colocados en filas de $1, 2, 3, \dots, n$ puntos.

Puntos clave

Tabla figura $n$ → cantidad: es el primer paso.
Si se añade siempre la misma cantidad $a$ , la fórmula es $a \cdot n + b$ .
La fórmula se puede leer en el dibujo: parte fija + parte que se repite $n$ veces.
Números cuadrados: $n^2$ . Números triangulares: $\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}$ .
Para saber qué figura tiene una cantidad dada, se deshacen las operaciones de la fórmula en orden contrario: primero se quita la parte fija y después se divide.

Errores frecuentes

ErrorCalcular la figura 10 multiplicando la figura 1 por 10 (en los palillos, $4 \cdot 10 = 40$ ).
Cómo corregirloLos cuadrados comparten palillos: usa la fórmula $3n + 1$ , que da 31, y compruébala dibujando la figura 2.
ErrorEncontrar una fórmula que sirve para la primera figura pero no para las demás.
Cómo corregirloComprueba siempre con al menos dos figuras (por ejemplo, la 2 y la 3).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cuadrados con palillos series con figuras (de la regla a la fórmula)
Con palillos se forman cuadrados en fila: la figura 1 es un cuadrado (4 palillos); la figura 2 son dos cuadrados pegados (7 palillos); la figura 3, tres cuadrados pegados (10 palillos). a) ¿Cuántos palillos tiene la figura 10? b) Escribe la regla con palabras y con una fórmula. c) ¿Qué figura se puede formar con exactamente 100 palillos?

Resolución
Tabla: $n = 1, 2, 3 \to 4, 7, 10$ . Cada cuadrado nuevo necesita 3 palillos (el lado de la izquierda ya lo pone el anterior).

b) Con palabras: un palillo inicial y 3 palillos por cada cuadrado. Fórmula: $P = 3n + 1$ . Comprobación: $n = 2$ : $3 \cdot 2 + 1 = 7$ ✔; $n = 3$ : $3 \cdot 3 + 1 = 10$ ✔.

a) $n = 10$ : $P = 3 \cdot 10 + 1 = 31$ palillos.

c) Deshacemos las operaciones: quitamos el palillo inicial, $100 - 1 = 99$ , y repartimos en grupos de 3, $99 : 3 = 33$ . Es la figura 33. Comprobación: $3 \cdot 33 + 1 = 100$ ✔.
Ejemplo 2. Los números triangulares números figurados (fórmula con un dibujo)
Los números triangulares cuentan los puntos de triángulos con filas de $1, 2, 3, \dots$ puntos: $1, 3, 6, 10, \dots$ a) ¿Cuántos puntos tiene el triángulo de 10 filas? b) Explica por qué el triángulo de $n$ filas tiene $\dfrac{n \cdot (n+1)}{2}$ puntos.

Resolución
a) $1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$ puntos.

b) Si juntamos dos triángulos iguales (uno de ellos girado), forman un rectángulo de $n$ filas y $n + 1$ columnas, que tiene $n \cdot (n+1)$ puntos. Cada triángulo es la mitad: $T_n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$ Comprobación: $n = 4$ : $\dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Con palillos se forman hexágonos en fila: la figura 1 es un hexágono (6 palillos), la figura 2 son dos hexágonos pegados por un lado (11 palillos), la figura 3, tres hexágonos (16 palillos). a) Escribe la regla con palabras y con una fórmula. b) ¿Cuántos palillos tiene la figura 10? c) ¿Qué figura tiene 76 palillos?

Ver solución
a) Un palillo inicial y 5 por hexágono: P = 5n + 1. b) 51. c) La figura 15.
a) Cada hexágono nuevo añade 5 palillos (comparte un lado con el anterior): $P = 5n + 1$ . Comprobación: $n = 3$ : $16$ ✔. b) $5 \cdot 10 + 1 = 51$ . c) Quitamos el palillo inicial y repartimos en grupos de 5: $76 - 1 = 75$ ; $75 : 5 = 15$ . Es la figura 15.
2. Media
Con baldosas se forman rectángulos: la figura 1 tiene 1 fila de 2 baldosas; la figura 2, 2 filas de 3; la figura 3, 3 filas de 4; y así sucesivamente. a) Escribe la serie del número de baldosas de las cuatro primeras figuras. b) Escribe la fórmula de la figura $n$ y calcula cuántas baldosas tiene la figura 10.

Ver solución
a) 2, 6, 12, 20. b) n · (n + 1); 110 baldosas.
a) $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 3 = 6$ , $3 \cdot 4 = 12$ , $4 \cdot 5 = 20$ . b) La figura $n$ tiene $n$ filas de $n + 1$ baldosas: $B = n \cdot (n+1)$ . Figura 10: $10 \cdot 11 = 110$ baldosas.
3. Media
Los números cuadrados son $1, 4, 9, 16, \dots$ a) ¿Cuántos puntos tiene el cuadrado número 12? b) ¿Qué número de figura tiene 225 puntos?

Ver solución
a) 144. b) La figura 15.
a) $12^2 = 144$ . b) Buscamos el número que, multiplicado por sí mismo, da 225: $15 \cdot 15 = 225$ , es decir, $\sqrt{225} = 15$ . Es la figura 15.

Para practicar más

1. Fácil
Con palillos se forman triángulos en fila, alternando uno hacia arriba y otro hacia abajo: la figura 1 tiene 3 palillos, la figura 2 tiene 5 y la figura 3 tiene 7. a) Escribe la fórmula del número de palillos de la figura $n$ . b) ¿Cuántos palillos tiene la figura 20? c) ¿Qué figura tiene 61 palillos?

Ver solución
a) P = 2n + 1. b) 41. c) La figura 30.
a) Cada triángulo nuevo añade 2 palillos: $P = 2n + 1$ (comprobación: $n = 2$ : $5$ ✔). b) $2 \cdot 20 + 1 = 41$ . c) $61 - 1 = 60$ ; $60 : 2 = 30$ : la figura 30.
2. Media
En una feria se monta una pirámide de vasos de plástico: la fila de arriba tiene 1 vaso, la siguiente 2, la siguiente 3, y así hasta la fila de abajo. a) ¿Cuántos vasos hacen falta para una pirámide de 8 filas? b) Si tienes 45 vasos, ¿cuántas filas tiene la pirámide más alta que puedes montar usándolos todos?

Ver solución
a) 36 vasos. b) 9 filas.
Son números triangulares: $T_n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2}$ . a) $T_8 = \dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$ vasos. b) Probamos: $T_9 = \dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45$ ✔. Con 45 vasos sale una pirámide de 9 filas.
3. Media
Con baldosas se forman cruces: la figura 1 tiene una baldosa central y 1 baldosa en cada uno de sus 4 brazos (5 baldosas); la figura 2 tiene la central y 2 baldosas en cada brazo (9 baldosas); la figura 3, la central y 3 en cada brazo (13 baldosas). a) Escribe la regla con palabras y con una fórmula. b) ¿Cuántas baldosas tiene la figura 25? c) ¿Qué figura tiene 121 baldosas?

Ver solución
a) Una central y n en cada uno de los 4 brazos: B = 4n + 1. b) 101. c) La figura 30.
a) $B = 4n + 1$ (la baldosa central más $4$ brazos de $n$ baldosas). Comprobación: $n = 3$ : $13$ ✔. b) $4 \cdot 25 + 1 = 101$ . c) $121 - 1 = 120$ ; $120 : 4 = 30$ : la figura 30.