Alumnos | AulaDual

Explicación

Patrones más complejos

Hasta ahora, cada figura añadía siempre la misma cantidad. Ahora veremos patrones en los que:

Las diferencias no son constantes, pero crecen de forma regular ( $+3, +5, +7, \dots$ ). Entonces en la fórmula aparece $n^2$ .
Se combinan dos operaciones, por ejemplo «multiplica por 2 y resta 1». Entonces suele aparecer una potencia como $2^n$ .

Método

Tabla con $n$ y la cantidad. Calcula las diferencias y, si hace falta, las diferencias de las diferencias.
Mira el dibujo: descompón la figura en partes que sepas contar (un cuadrado de $n \times n$ , $4$ esquinas, $n$ filas de…).
Escribe la fórmula y compruébala con dos o tres figuras.
Justifica: explica qué cuenta cada parte de la fórmula, o demuestra con álgebra que dos fórmulas distintas son iguales.

Varias formas de contar, una sola fórmula

Una misma figura se puede contar de varias maneras y cada una da una expresión diferente. Si las dos cuentan bien, al operar deben dar la misma expresión. Por ejemplo, $4 \cdot (n+1)$ y $4n + 4$ son iguales (propiedad distributiva).

Justificar con álgebra

Para demostrar que algo pasa siempre, se escribe con letras. Un número par cualquiera es $2n$ ; un impar cualquiera, $2n - 1$ o $2n + 1$ ; dos números consecutivos, $n$ y $n + 1$ . Comprobar con unos cuantos ejemplos no es una demostración.

Puntos clave

Diferencias que crecen de forma regular (+3, +5, +7…) indican que en la fórmula aparece $n^2$ .
Si cada término se obtiene multiplicando el anterior y sumando o restando algo, suele aparecer una potencia ( $2^n$ , $3^n$ …).
Leer la fórmula en el dibujo: descomponer la figura en partes que sabemos contar.
Distintas formas de contar dan expresiones equivalentes: se comprueba operando.
Para justificar que algo ocurre siempre se usa álgebra; unos ejemplos no bastan.

Errores frecuentes

ErrorContar dos veces los elementos compartidos (en un marco, sumar 4 lados de $n + 2$ baldosas: $4n + 8$ ).
Cómo corregirloComprueba con la figura 1 dibujada: el marco de un hueco de $1 \times 1$ tiene 8 baldosas, no 12. Las esquinas pertenecen a dos lados.
ErrorDar por demostrada una propiedad porque se cumple en tres ejemplos.
Cómo corregirloEscribe los números con letras ( $n$ , $n + 1$ , $2n + 1$ …) y opera: así vale para todos los casos.
ErrorEscribir $(n+2)^2 - n^2 = 4$ , «restando los cuadrados por separado».
Cómo corregirloDesarrolla la identidad notable: $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$ , así que $(n+2)^2 - n^2 = 4n + 4$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El marco de baldosas de una fuente geométrico (varias formas de contar)
En un parque de Madrid hay fuentes cuadradas de distintos tamaños. Alrededor de una fuente que ocupa un cuadrado de $n \times n$ baldosas se coloca un marco de baldosas de granito de una baldosa de ancho. Para $n = 1$ el marco tiene 8 baldosas; para $n = 2$ , 12; para $n = 3$ , 16. a) Obtén la fórmula del número de baldosas del marco para una fuente de $n \times n$ y justifícala de dos formas distintas. b) ¿Cuántas baldosas necesita el marco de una fuente de $15 \times 15$ ? c) Con 100 baldosas exactas, ¿de qué tamaño es la fuente?

Resolución
Tabla: $n = 1, 2, 3 \to 8, 12, 16$ : se suman 4 cada vez.

a) Forma 1 (lados + esquinas): cada uno de los 4 lados de la fuente tiene al lado $n$ baldosas del marco, y faltan las 4 esquinas: $B = 4n + 4$ . Forma 2 (cuadrado grande menos hueco): el marco más la fuente forman un cuadrado de $(n+2) \times (n+2)$ ; le quitamos la fuente, de $n \times n$ : $B = (n+2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4$ Las dos formas dan la misma expresión. Comprobación: $n = 2$ : $4 \cdot 2 + 4 = 12$ ✔.

b) $n = 15$ : $B = 4 \cdot 15 + 4 = 64$ baldosas.

c) $4n + 4 = 100 \Rightarrow 4n = 96 \Rightarrow n = 24$ : la fuente es de $24 \times 24$ baldosas.
Ejemplo 2. Duplicar y restar 1 numérico (patrón con dos operaciones)
Observa la serie $3, 5, 9, 17, 33, \dots$ a) Halla la regla que permite pasar de un término al siguiente. b) Comprueba que el término que ocupa el lugar $n$ es $2^n + 1$ y úsalo para calcular el término 10. c) Justifica con álgebra que la regla de a) y la fórmula de b) siempre coinciden.

Resolución
a) Diferencias: $+2, +4, +8, +16$ : se duplican. Otra forma de verlo: cada término es el doble del anterior menos 1: $3 \cdot 2 - 1 = 5$ , $5 \cdot 2 - 1 = 9$ , $9 \cdot 2 - 1 = 17$ …

b) $n = 1$ : $2^1 + 1 = 3$ ✔; $n = 2$ : $2^2 + 1 = 5$ ✔; $n = 3$ : $9$ ✔; $n = 4$ : $17$ ✔; $n = 5$ : $33$ ✔. Término 10: $2^{10} + 1 = 1024 + 1 = 1025$ .

c) Si un término es $2^n + 1$ , al aplicar la regla («doble menos 1») obtenemos: $2 \cdot (2^n + 1) - 1 = 2^{n+1} + 2 - 1 = 2^{n+1} + 1$ que es justo la fórmula para el lugar $n + 1$ . Por eso la fórmula funciona para todos los términos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Observa la serie $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ a) ¿Qué regla con dos operaciones permite pasar de un término al siguiente? Escribe los dos términos siguientes. b) Comprueba con los cinco primeros términos que el término que ocupa el lugar $n$ es $3 \cdot 2^{n-1} - 1$ .

Ver solución
a) Doble más 1: 95 y 191. b) 3 · 2⁰ − 1 = 2; 3 · 2 − 1 = 5; 3 · 4 − 1 = 11; 3 · 8 − 1 = 23; 3 · 16 − 1 = 47.
a) $2 \cdot 2 + 1 = 5$ , $5 \cdot 2 + 1 = 11$ , $11 \cdot 2 + 1 = 23$ … Siguen $47 \cdot 2 + 1 = 95$ y $95 \cdot 2 + 1 = 191$ . b) $n = 1$ : $3 \cdot 2^0 - 1 = 2$ ; $n = 2$ : $3 \cdot 2 - 1 = 5$ ; $n = 3$ : $3 \cdot 4 - 1 = 11$ ; $n = 4$ : $3 \cdot 8 - 1 = 23$ ; $n = 5$ : $3 \cdot 16 - 1 = 47$ ✔.
2. Media
La figura $n$ de un patrón está formada por un cuadrado de $n \times n$ puntos y 2 puntos más colocados aparte. Las primeras figuras tienen $3, 6, 11, 18, 27$ puntos. a) Calcula las diferencias entre términos consecutivos. ¿Qué te indica que en la fórmula aparezca $n^2$ ? b) Escribe la fórmula y calcula los puntos de la figura 10. c) ¿Qué figura tiene 402 puntos?

Ver solución
a) 3, 5, 7, 9: crecen de 2 en 2, como las de los cuadrados. b) n² + 2; 102 puntos. c) La figura 20.
a) Diferencias: $3, 5, 7, 9$ . No son constantes, pero crecen de 2 en 2, igual que las de los cuadrados $1, 4, 9, 16, 25$ . b) Cuadrado de $n \times n$ más 2 puntos: $P = n^2 + 2$ . Figura 10: $10^2 + 2 = 102$ . c) $n^2 + 2 = 402 \Rightarrow n^2 = 400 \Rightarrow n = 20$ (la solución $-20$ no vale).
3. Difícil
En la liga de fútbol sala del instituto cada equipo juega dos partidos contra cada uno de los demás (ida y vuelta). a) ¿Cuántos partidos hay con 4 equipos? ¿Y con 10? b) Escribe la fórmula del número de partidos con $n$ equipos y explica por qué funciona. c) Si la liga tiene 56 partidos, ¿cuántos equipos participan?

Ver solución
a) 12 y 90 partidos. b) n · (n − 1). c) 8 equipos.
b) Cada uno de los $n$ equipos juega en casa contra los otros $n - 1$ . Así se cuentan todos los partidos una sola vez (cada partido tiene un único equipo local): $P = n \cdot (n-1)$ . a) $4 \cdot 3 = 12$ partidos; $10 \cdot 9 = 90$ partidos. c) $n \cdot (n-1) = 56 \Rightarrow n^2 - n - 56 = 0 \Rightarrow n = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \dfrac{1 \pm 15}{2}$ , es decir, $n = 8$ o $n = -7$ . Solo vale $n = 8$ equipos. (También se puede tantear: $8 \cdot 7 = 56$ .)
4. Difícil
Comprueba con tres ejemplos que la suma de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de 4. Después demuéstralo usando álgebra.

Ver solución
(2n − 1) + (2n + 1) = 4n, que es múltiplo de 4.
Ejemplos: $3 + 5 = 8$ ; $7 + 9 = 16$ ; $21 + 23 = 44$ : todos múltiplos de 4. Demostración: dos impares consecutivos se pueden escribir como $2n - 1$ y $2n + 1$ . Su suma es $(2n - 1) + (2n + 1) = 4n$ que es múltiplo de 4 para cualquier $n$ .

Para practicar más

1. Media
Observa la serie $1, 4, 13, 40, \dots$ a) Descubre la regla con dos operaciones y escribe los dos términos siguientes. b) Comprueba que el término que ocupa el lugar $n$ es $\dfrac{3^n - 1}{2}$ para los seis primeros términos.

Ver solución
a) Triple más 1: 121 y 364. b) (3 − 1)/2 = 1; (9 − 1)/2 = 4; (27 − 1)/2 = 13; (81 − 1)/2 = 40; (243 − 1)/2 = 121; (729 − 1)/2 = 364.
a) $1 \cdot 3 + 1 = 4$ , $4 \cdot 3 + 1 = 13$ , $13 \cdot 3 + 1 = 40$ . Siguen $40 \cdot 3 + 1 = 121$ y $121 \cdot 3 + 1 = 364$ . b) $\dfrac{3 - 1}{2} = 1$ ; $\dfrac{9 - 1}{2} = 4$ ; $\dfrac{27 - 1}{2} = 13$ ; $\dfrac{81 - 1}{2} = 40$ ; $\dfrac{243 - 1}{2} = 121$ ; $\dfrac{729 - 1}{2} = 364$ ✔.
2. Media
Alrededor de un arenero rectangular de $n$ baldosas de ancho y $2n$ de largo se pone un marco de una baldosa de ancho. Para $n = 1$ el marco tiene 10 baldosas; para $n = 2$ , 16; para $n = 3$ , 22. a) Obtén la fórmula del número de baldosas del marco y justifícala de dos formas. b) ¿Cuántas baldosas tiene el marco para $n = 5$ ?

Ver solución
a) 6n + 4. b) 34 baldosas.
a) Lados + esquinas: dos lados de $n$ baldosas, dos lados de $2n$ y 4 esquinas: $2n + 2 \cdot 2n + 4 = 6n + 4$ . Rectángulo grande menos hueco: $(n+2)\cdot(2n+2) - n \cdot 2n = 2n^2 + 6n + 4 - 2n^2 = 6n + 4$ . Comprobación: $n = 2$ : $6 \cdot 2 + 4 = 16$ ✔. b) $6 \cdot 5 + 4 = 34$ baldosas.
3. Difícil
Una diagonal de un polígono une dos vértices no consecutivos. El número de diagonales de un polígono de $n$ lados es $\dfrac{n \cdot (n-3)}{2}$ . a) Justifica la fórmula: ¿con cuántos vértices se puede unir cada vértice mediante una diagonal? ¿Por qué se divide entre 2? b) ¿Cuántas diagonales tienen un hexágono y un decágono? c) ¿Qué polígono tiene 20 diagonales?

Ver solución
a) Cada vértice con n − 3; cada diagonal se cuenta dos veces. b) 9 y 35. c) El octógono (8 lados).
a) Desde cada vértice salen diagonales a todos los vértices menos a él mismo y a sus dos vecinos: $n - 3$ . Con $n$ vértices son $n \cdot (n-3)$ , pero así cada diagonal se cuenta dos veces (una desde cada extremo); por eso se divide entre 2. b) Hexágono: $\dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$ . Decágono: $\dfrac{10 \cdot 7}{2} = 35$ . c) $\dfrac{n(n-3)}{2} = 20 \Rightarrow n^2 - 3n - 40 = 0 \Rightarrow n = \dfrac{3 \pm 13}{2}$ : $n = 8$ (la solución $-5$ no vale). Es el octógono.
4. Difícil
a) Comprueba con los números 15 y 16 que la diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es igual a la suma de los dos números. b) Demuéstralo con álgebra para dos números consecutivos cualesquiera $n$ y $n + 1$ .

Ver solución
a) 256 − 225 = 31 = 15 + 16. b) (n + 1)² − n² = 2n + 1 = n + (n + 1).
a) $16^2 - 15^2 = 256 - 225 = 31$ y $15 + 16 = 31$ ✔. b) $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 = n + (n + 1)$ , que es la suma de los dos números.

Generalizar patrones y justificar la fórmula