Recuerda: series y su regla de formación

Recuerda

Errores frecuentes

• ErrorMirar solo los dos primeros términos: en $2, 4, 8, \dots$ decir que «se suma 2».

  Cómo corregirloComprueba con el tercer término: $4 + 2 = 6 \neq 8$. La regla correcta es multiplicar por 2.

• ErrorPensar que si las diferencias no son iguales no hay regla.

  Cómo corregirloEscribe las diferencias debajo de la serie: a menudo forman ellas mismas una serie sencilla ($+2, +3, +4, \dots$).

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Cuatro series, cuatro reglas numérico

   Continúa cada serie con dos términos más y explica su regla de formación: a) $5, 9, 13, 17, \dots$ b) $96, 48, 24, 12, \dots$ c) $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ d) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$

   Resolución

   a) Diferencias: $9 - 5 = 4$, $13 - 9 = 4$, $17 - 13 = 4$. Se suma 4: $17 + 4 = 21$, $21 + 4 = 25$. b) Cocientes: $48 : 96 = \tfrac{1}{2}$, $24 : 48 = \tfrac{1}{2}$… Se divide entre 2: $6$, $3$. c) Son los cuadrados $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$: siguen $6^2 = 36$ y $7^2 = 49$. d) Diferencias: $+1, +2, +3, +4$. Crecen de uno en uno, así que ahora toca $+5$ y $+6$: $12 + 5 = 17$, $17 + 6 = 23$.

2. Ejemplo 2. Figuras en forma de L series con figuras

   Con cuadraditos se forman figuras en forma de L:

   • Figura 1: un cuadradito en la esquina, uno encima y uno a su derecha (3 cuadraditos).
   • Figura 2: la esquina, dos encima y dos a la derecha (5 cuadraditos).
   • Figura 3: la esquina, tres encima y tres a la derecha (7 cuadraditos).

   a) ¿Cuántos cuadraditos tienen las figuras 4 y 5? b) Describe con palabras cómo se pasa de una figura a la siguiente.

   Resolución

   Escribimos la serie de números: $3, 5, 7, \dots$ Cada figura tiene 2 cuadraditos más que la anterior (uno más en cada brazo de la L).

   a) Figura 4: $7 + 2 = 9$ cuadraditos. Figura 5: $9 + 2 = 11$ cuadraditos. b) Se añade un cuadradito al final del brazo vertical y otro al final del brazo horizontal.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Continúa cada serie con dos términos más y explica su regla: a) $7, 12, 17, 22, \dots$ b) $3, 6, 12, 24, \dots$ c) $50, 43, 36, 29, \dots$ d) $1, 8, 27, 64, \dots$

   Ver solución

   a) 27, 32 (se suma 5). b) 48, 96 (se multiplica por 2). c) 22, 15 (se resta 7). d) 125, 216 (cubos).

   a) Diferencia constante $+5$: $22 + 5 = 27$, $27 + 5 = 32$. b) Cociente constante $\times 2$: $24 \cdot 2 = 48$, $48 \cdot 2 = 96$. c) Diferencia constante $-7$: $29 - 7 = 22$, $22 - 7 = 15$. d) Son los cubos $1^3, 2^3, 3^3, 4^3$: siguen $5^3 = 125$ y $6^3 = 216$.

2. 2. Media

   Descubre la regla y continúa con dos términos más: a) $1, 3, 2, 4, 3, 5, \dots$ b) $81, 27, 9, 3, \dots$

   Ver solución

   a) 4, 6 (se suma 2 y se resta 1, alternando). b) 1 y 1/3 (se divide entre 3).

   a) Diferencias: $+2, -1, +2, -1, +2$. Toca $-1$ y después $+2$: $5 - 1 = 4$, $4 + 2 = 6$. b) Cada término es el anterior dividido entre 3: $3 : 3 = 1$, $1 : 3 = \dfrac{1}{3}$.

3. 3. Media

   En el comedor del instituto se juntan mesas cuadradas en fila. Con 1 mesa se sientan 4 personas (una por lado); con 2 mesas juntas, 6 personas; con 3 mesas, 8 personas. a) ¿Cuántas personas se sientan con 4, 5 y 6 mesas? b) Explica con palabras por qué cada mesa nueva añade ese número de sitios.

   Ver solución

   a) 10, 12 y 14 personas. b) Cada mesa nueva añade 2 sitios (uno a cada lado largo de la fila).

   a) Serie $4, 6, 8, \dots$: se suman 2 cada vez → 4 mesas: 10; 5 mesas: 12; 6 mesas: 14. b) Al juntar una mesa al final, el sitio del extremo se desplaza, pero aparecen 2 sitios nuevos: uno arriba y otro abajo de la fila.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Continúa cada serie con dos términos más y explica su regla: a) $4, 11, 18, 25, \dots$ b) $1, 5, 25, 125, \dots$ c) $100, 91, 82, 73, \dots$ d) $0, 3, 8, 15, 24, \dots$

   Ver solución

   a) 32, 39. b) 625, 3125. c) 64, 55. d) 35, 48.

   a) Se suma 7: $25 + 7 = 32$, $32 + 7 = 39$. b) Se multiplica por 5: $125 \cdot 5 = 625$, $625 \cdot 5 = 3125$. c) Se resta 9: $73 - 9 = 64$, $64 - 9 = 55$. d) Diferencias $+3, +5, +7, +9$ (impares): siguen $+11$ y $+13$ → $24 + 11 = 35$, $35 + 13 = 48$. (También: cada término es un cuadrado menos 1: $6^2 - 1 = 35$, $7^2 - 1 = 48$.)

2. 2. Fácil

   Una tienda de bisutería monta collares con bolas negras y blancas. El collar 1 tiene 1 bola negra y 2 blancas; el collar 2, 2 negras y 4 blancas; el collar 3, 3 negras y 6 blancas. a) ¿Cuántas bolas en total tienen los collares 5 y 6? b) ¿Cuántas bolas blancas tiene el collar 6?

   Ver solución

   a) 15 y 18 bolas. b) 12 bolas blancas.

   a) Totales: $3, 6, 9, \dots$: se suman 3 cada vez (una negra y dos blancas). Collar 4: 12; collar 5: 15; collar 6: 18. b) Las blancas son el doble del número del collar: $2 \cdot 6 = 12$.

3. 3. Media

   Completa los huecos de cada serie: a) $2,\ \_\_,\ 18,\ 54,\ \_\_,\ 486$ b) $\_\_,\ 15,\ 22,\ \_\_,\ 36$

   Ver solución

   a) 6 y 162. b) 8 y 29.

   a) De 18 a 54 se multiplica por 3: $2 \cdot 3 = 6$; $54 \cdot 3 = 162$. Comprobación: $6 \cdot 3 = 18$ ✔ y $162 \cdot 3 = 486$ ✔. b) De 15 a 22 se suma 7: el primero es $15 - 7 = 8$ y el cuarto, $22 + 7 = 29$. Comprobación: $29 + 7 = 36$ ✔.