Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Sucesiones: término general y recurrencia

Sucesiones: términos y término general

Objetivo: Al terminar, sabrás qué es una sucesión, calcular cualquiera de sus términos a partir del término general y averiguar si un número es término de la sucesión.

Explicación

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una lista ordenada de infinitos números: $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ \dots,\ a_n,\ \dots$

Cada número es un término. El subíndice indica el lugar que ocupa: $a_1$ es el primer término, $a_2$ el segundo…
$a_n$ es el término que ocupa el lugar $n$ (un término cualquiera).

El término general

El término general es una expresión con $n$ que permite calcular cualquier término sustituyendo $n$ por el lugar que queremos. Por ejemplo, si $a_n = 2n + 1$ : $a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \quad a_2 = 5, \quad a_3 = 7, \quad \dots, \quad a_{50} = 2 \cdot 50 + 1 = 101$

¿Es un número término de la sucesión?

Igualamos el término general al número y despejamos $n$ :

Si $n$ sale un número natural (1, 2, 3…), el número sí es término y ocupa el lugar $n$ .
Si $n$ sale decimal, negativo o cero, no es término.

Representación gráfica

Se dibujan los puntos $(n, a_n)$ : $(1, a_1)$ , $(2, a_2)$ , $(3, a_3)$ … No se unen, porque $n$ solo toma los valores $1, 2, 3, \dots$ (no hay término 1,5).

Puntos clave

Una sucesión es una lista ordenada e infinita de números: $a_1, a_2, a_3, \dots$
El subíndice es el lugar; $a_n$ es el valor del término que ocupa ese lugar.
Con el término general se calcula cualquier término sustituyendo $n$ .
Para saber si un número es término, se iguala a $a_n$ y se despeja $n$ : tiene que salir un número natural.
La gráfica de una sucesión son puntos sueltos $(n, a_n)$ que no se unen.

Errores frecuentes

ErrorConfundir el lugar con el valor: leer $a_5$ como «el término que vale 5».
Cómo corregirlo $a_5$ es el término que está en el quinto lugar; su valor se obtiene sustituyendo $n = 5$ en el término general.
ErrorDar por bueno un lugar decimal: en $a_n = 4n - 3$ , decir que «150 es el término 38,25».
Cómo corregirloLos lugares son números naturales. Si al despejar $n$ no sale natural, el número no es término de la sucesión.
ErrorSustituir mal cuando hay potencias: con $a_n = n^2 - 1$ , calcular $a_3 = 3 \cdot 2 - 1$ .
Cómo corregirlo $n^2$ es $n \cdot n$ : $a_3 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Calcular términos y buscar uno numérico
Dada la sucesión de término general $a_n = 4n - 3$ : a) Calcula $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_{10}$ y $a_{100}$ . b) ¿Es 97 un término de la sucesión? ¿Y 150?

Resolución
a) $a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ ; $a_2 = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ ; $a_3 = 9$ ; $a_{10} = 40 - 3 = 37$ ; $a_{100} = 400 - 3 = 397$ .

b) $4n - 3 = 97 \Rightarrow 4n = 100 \Rightarrow n = 25$ . Es natural: 97 es el término 25, $a_{25} = 97$ . $4n - 3 = 150 \Rightarrow 4n = 153 \Rightarrow n = 38{,}25$ . No es natural: 150 no es término de la sucesión.
Ejemplo 2. La gráfica de una sucesión gráfico
Calcula los seis primeros términos de la sucesión $b_n = \dfrac{12}{n}$ y represéntalos. ¿Qué ocurre con los términos al aumentar $n$ ? ¿Por qué no se unen los puntos?

Resolución
$b_1 = 12$ , $b_2 = 6$ , $b_3 = 4$ , $b_4 = 3$ , $b_5 = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ , $b_6 = 2$ .

Dibujamos los puntos $(1, 12)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5;\ 2{,}4)$ , $(6, 2)$ … Los términos disminuyen cada vez más despacio y se acercan a 0 (por ejemplo, $b_{100} = 0{,}12$ ), pero nunca llegan a 0.

No se unen porque solo existen los términos con $n = 1, 2, 3, \dots$ : no hay término «entre» $b_1$ y $b_2$ .
Ejemplo 3. El patinete eléctrico situación real
Una empresa de patinetes eléctricos de alquiler en Madrid cobra 1 € por desbloquear el patinete y 0,25 € por cada minuto de uso. Llamamos $c_n$ al precio, en euros, de un viaje de $n$ minutos. a) Escribe el término general $c_n$ y calcula $c_1$ , $c_2$ y $c_3$ . b) ¿Cuánto cuesta un viaje de 20 minutos? c) Si un viaje ha costado 8,50 €, ¿cuántos minutos ha durado?

Resolución
a) $c_n = 1 + 0{,}25\,n$ . $c_1 = 1{,}25$ €; $c_2 = 1{,}50$ €; $c_3 = 1{,}75$ €. b) $c_{20} = 1 + 0{,}25 \cdot 20 = 6$ €. c) $1 + 0{,}25\,n = 8{,}50 \Rightarrow 0{,}25\,n = 7{,}50 \Rightarrow n = 30$ minutos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dada la sucesión $a_n = 5n + 2$ , calcula $a_1$ , $a_4$ y $a_{20}$ .

Ver solución
a₁ = 7; a₄ = 22; a₂₀ = 102.
$a_1 = 5 \cdot 1 + 2 = 7$ ; $a_4 = 5 \cdot 4 + 2 = 22$ ; $a_{20} = 5 \cdot 20 + 2 = 102$ .
2. Fácil
Escribe los cinco primeros términos de la sucesión $a_n = n^2 - 1$ y calcula $a_{12}$ .

Ver solución
0, 3, 8, 15, 24; a₁₂ = 143.
$a_1 = 1 - 1 = 0$ ; $a_2 = 4 - 1 = 3$ ; $a_3 = 9 - 1 = 8$ ; $a_4 = 16 - 1 = 15$ ; $a_5 = 25 - 1 = 24$ . $a_{12} = 144 - 1 = 143$ .
3. Media
Calcula $a_1$ , $a_2$ y $a_9$ en la sucesión $a_n = \dfrac{n + 4}{2n + 1}$ . Da los resultados en forma de fracción.

Ver solución
a₁ = 5/3; a₂ = 6/5; a₉ = 13/19.
$a_1 = \dfrac{1 + 4}{2 + 1} = \dfrac{5}{3}$ ; $a_2 = \dfrac{2 + 4}{4 + 1} = \dfrac{6}{5}$ ; $a_9 = \dfrac{9 + 4}{18 + 1} = \dfrac{13}{19}$ .
4. Media
a) ¿Son 75 y 100 términos de la sucesión $a_n = 3n + 6$ ? Si lo son, indica qué lugar ocupan. b) ¿Es 132 término de la sucesión $b_n = n^2 + n$ ?

Ver solución
a) 75 sí (lugar 23); 100 no. b) Sí, es b₁₁.
a) $3n + 6 = 75 \Rightarrow 3n = 69 \Rightarrow n = 23$ : sí, $a_{23} = 75$ . $3n + 6 = 100 \Rightarrow 3n = 94 \Rightarrow n = 31{,}\widehat{3}$ : no es término. b) $n^2 + n = 132 \Rightarrow n^2 + n - 132 = 0 \Rightarrow n = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \dfrac{-1 \pm 23}{2}$ : $n = 11$ o $n = -12$ . Como 11 es natural, sí: $b_{11} = 132$ (comprobación: $121 + 11 = 132$ ✔).
5. Media
Calcula los seis primeros términos de la sucesión $a_n = 2n - 5$ y represéntalos en los ejes.

Ver solución
−3, −1, 1, 3, 5, 7. Puntos (1, −3), (2, −1), (3, 1), (4, 3), (5, 5), (6, 7), sin unir.
$a_1 = -3$ ; $a_2 = -1$ ; $a_3 = 1$ ; $a_4 = 3$ ; $a_5 = 5$ ; $a_6 = 7$ . Se dibujan los puntos $(1, -3)$ , $(2, -1)$ , $(3, 1)$ , $(4, 3)$ , $(5, 5)$ , $(6, 7)$ sin unirlos. Están alineados: cada término es 2 unidades mayor que el anterior.

Para practicar más

1. Fácil
Escribe los cinco primeros términos de la sucesión $a_n = 7 - 2n$ y calcula $a_{30}$ .

Ver solución
5, 3, 1, −1, −3; a₃₀ = −53.
$a_1 = 7 - 2 = 5$ ; $a_2 = 3$ ; $a_3 = 1$ ; $a_4 = -1$ ; $a_5 = -3$ . $a_{30} = 7 - 60 = -53$ .
2. Fácil
Dada la sucesión $a_n = n^3 - n$ , calcula sus cuatro primeros términos y $a_{10}$ .

Ver solución
0, 6, 24, 60; a₁₀ = 990.
$a_1 = 1 - 1 = 0$ ; $a_2 = 8 - 2 = 6$ ; $a_3 = 27 - 3 = 24$ ; $a_4 = 64 - 4 = 60$ ; $a_{10} = 1000 - 10 = 990$ .
3. Media
En la sucesión $a_n = 6n - 2$ , ¿son 64 y 101 términos? Si lo son, indica el lugar que ocupan.

Ver solución
64 sí (lugar 11); 101 no.
$6n - 2 = 64 \Rightarrow 6n = 66 \Rightarrow n = 11$ : sí, $a_{11} = 64$ . $6n - 2 = 101 \Rightarrow 6n = 103 \Rightarrow n = 17{,}1\widehat{6}$ : no es término. (Además, todos los términos son pares y 101 es impar.)
4. Media
En un videojuego, los puntos que hacen falta para llegar al nivel $n$ son $p_n = 50\,n^2$ . a) ¿Cuántos puntos hacen falta para llegar al nivel 4? b) ¿Qué nivel se alcanza al conseguir 5000 puntos exactos?

Ver solución
a) 800 puntos. b) El nivel 10.
a) $p_4 = 50 \cdot 4^2 = 50 \cdot 16 = 800$ puntos. b) $50\,n^2 = 5000 \Rightarrow n^2 = 100 \Rightarrow n = 10$ (la solución $-10$ no vale).