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Explicación

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número $r$ , llamado razón: $a_n = a_{n-1} \cdot r \qquad r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \dots$

Para saber si una sucesión es geométrica, se divide cada término entre el anterior: los cocientes tienen que ser todos iguales.

Con el primer término positivo:

Si $r > 1$ , la progresión es creciente: $2, 6, 18, 54, \dots$ ( $r = 3$ ).
Si $0 < r < 1$ , es decreciente: $200, 100, 50, 25, \dots$ ( $r = \tfrac{1}{2}$ ).
Si $r < 0$ , los signos se alternan: $1, -4, 16, -64, \dots$ ( $r = -4$ ).

Término general

Para llegar de $a_1$ a $a_n$ hay que multiplicar por la razón $n - 1$ veces: $a_1 \xrightarrow{\cdot r} a_2 \xrightarrow{\cdot r} a_3 \xrightarrow{\cdot r} \cdots \xrightarrow{\cdot r} a_n$

$\boxed{a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}}$

Por ejemplo, en $2, 6, 18, 54, \dots$ : $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ , y $a_8 = 2 \cdot 3^7 = 4374$ .

Representación gráfica

Los puntos $(n, a_n)$ no están alineados: si $r > 1$ , suben cada vez más deprisa; si $0 < r < 1$ , bajan cada vez más despacio acercándose a 0.

Cuidado con la jerarquía: en $a_1 \cdot r^{n-1}$ se calcula primero la potencia y después se multiplica.

Puntos clave

Progresión geométrica: cada término es el anterior multiplicado por la razón $r$ .
$r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ (un término entre el anterior); debe ser siempre el mismo.
Término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ .
Con $a_1 > 0$ : $r > 1$ creciente; $0 < r < 1$ decreciente; $r < 0$ signos alternos.
Primero la potencia y después el producto: $2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81$ , no $6^4$ .

Errores frecuentes

ErrorCalcular $a_1 \cdot r^{n-1}$ multiplicando primero: $2 \cdot 3^4 = 6^4$ .
Cómo corregirloLa potencia va antes que el producto: $2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ .
ErrorCalcular la razón dividiendo al revés: en $80, 40, 20, \dots$ decir que $r = 2$ .
Cómo corregirlo $r$ es un término entre el anterior: $40 : 80 = \tfrac{1}{2}$ . Si la progresión decrece (con términos positivos), $r < 1$ .
ErrorConfundir aritmética y geométrica: en $2, 4, 6, 8$ decir que la razón es 2.
Cómo corregirloComprueba con todos los términos: $6 : 4 = 1{,}5 \neq 2$ . Es aritmética ( $d = 2$ ), no geométrica.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Es una progresión geométrica? numérico
Indica cuáles de estas sucesiones son progresiones geométricas. En las que lo sean, da la razón, el término general y el sexto término. a) $5, 15, 45, 135, \dots$ b) $80, 40, 20, 10, \dots$ c) $2, -6, 18, -54, \dots$ d) $1, 4, 9, 16, \dots$

Resolución
a) Cocientes: $15 : 5 = 3$ , $45 : 15 = 3$ , $135 : 45 = 3$ . Sí, $r = 3$ . $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ ; $a_6 = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215$ . b) Cocientes: $\tfrac{1}{2}$ siempre. Sí, $r = \tfrac{1}{2}$ . $a_n = 80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ ; $a_6 = \dfrac{80}{32} = 2{,}5$ . c) Cocientes: $-3$ siempre. Sí, $r = -3$ (signos alternos). $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ ; $a_6 = 2 \cdot (-3)^5 = -486$ . d) Cocientes: $4$ , $2{,}25$ … No es geométrica (son los cuadrados).
Ejemplo 2. Doblar una hoja de papel situación real y gráfico
Una hoja de papel tiene un grosor de unos 0,1 mm. Cada vez que la doblamos por la mitad, el grosor se duplica. Llamamos $a_n$ al grosor, en mm, después de $n$ dobleces. a) Escribe $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ y el término general. b) ¿Qué grosor tiene después de 7 dobleces? (En la práctica, es difícil pasar de 7.) c) Si se pudiera doblar 42 veces, ¿qué grosor tendría? Compáralo con la distancia de la Tierra a la Luna, unos 384 000 km.

Resolución
a) $a_1 = 0{,}2$ mm, $a_2 = 0{,}4$ mm, $a_3 = 0{,}8$ mm. Es geométrica con $r = 2$ : $a_n = 0{,}2 \cdot 2^{n-1}$ (o, lo que es lo mismo, $0{,}1 \cdot 2^n$ ). b) $a_7 = 0{,}2 \cdot 2^6 = 0{,}2 \cdot 64 = 12{,}8$ mm (más de 1 cm). c) $a_{42} = 0{,}1 \cdot 2^{42} \approx 4{,}4 \cdot 10^{11}$ mm $= 4{,}4 \cdot 10^{5}$ km, unos 440 000 km: ¡más que la distancia a la Luna!

En la gráfica se ve cómo los puntos suben cada vez más deprisa: no están alineados.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Cuáles son progresiones geométricas? Indica la razón de las que lo sean. a) $4, 12, 36, 108, \dots$ b) $64, 16, 4, 1, \dots$ c) $1, -2, 4, -8, \dots$ d) $2, 4, 6, 8, \dots$

Ver solución
a) Sí, r = 3. b) Sí, r = 1/4. c) Sí, r = −2. d) No (es aritmética).
a) Cocientes $3, 3, 3$ : sí, $r = 3$ . b) Cocientes $\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}$ : sí, $r = \tfrac{1}{4}$ . c) Cocientes $-2, -2, -2$ : sí, $r = -2$ . d) Cocientes $2;\ 1{,}5;\ 1{,}\widehat{3}$ : no. (Es aritmética con $d = 2$ .)
2. Fácil
Escribe el término general y calcula $a_6$ en cada progresión geométrica: a) $a_1 = 3$ , $r = 2$ . b) $a_1 = 1000$ , $r = 0{,}1$ .

Ver solución
a) aₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹; a₆ = 96. b) aₙ = 1000 · 0,1ⁿ⁻¹; a₆ = 0,01.
a) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ ; $a_6 = 3 \cdot 2^5 = 96$ . b) $a_n = 1000 \cdot 0{,}1^{\,n-1}$ ; $a_6 = 1000 \cdot 0{,}1^5 = 1000 \cdot 0{,}00001 = 0{,}01$ .
3. Media
En la progresión geométrica $2, 10, 50, \dots$ a) Calcula $a_7$ . b) ¿Es 1250 un término de la progresión? ¿Qué lugar ocupa?

Ver solución
a) 31 250. b) Sí, es a₅.
$a_1 = 2$ , $r = 5$ : $a_n = 2 \cdot 5^{n-1}$ . a) $a_7 = 2 \cdot 5^6 = 2 \cdot 15\,625 = 31\,250$ . b) $2 \cdot 5^{n-1} = 1250 \Rightarrow 5^{n-1} = 625 = 5^4 \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$ .
4. Media
En un torneo de pádel por eliminatorias se inscriben 64 parejas. En cada ronda queda eliminada la mitad. Llamamos $a_n$ al número de parejas que juegan la ronda $n$ . a) Escribe los cuatro primeros términos y el término general. b) ¿Cuántas rondas se juegan hasta que queda la pareja campeona?

Ver solución
a) 64, 32, 16, 8; aₙ = 64 · (1/2)ⁿ⁻¹. b) 6 rondas.
a) $64, 32, 16, 8$ : geométrica con $r = \tfrac{1}{2}$ . $a_n = 64 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ . b) Las rondas las juegan $64, 32, 16, 8, 4, 2$ parejas (la final es la ronda 6). Tras la ronda 6 queda $1$ pareja: $a_7 = 64 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^6 = 1$ . Se juegan 6 rondas.

Para practicar más

1. Fácil
¿Cuáles son progresiones geométricas? Indica la razón de las que lo sean. a) $7, 14, 28, 56, \dots$ b) $250, 50, 10, 2, \dots$ c) $-3, 6, -12, 24, \dots$ d) $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dots$

Ver solución
a) Sí, r = 2. b) Sí, r = 1/5. c) Sí, r = −2. d) No.
a) Cocientes $2, 2, 2$ : $r = 2$ . b) Cocientes $\tfrac{1}{5}$ siempre: $r = \tfrac{1}{5}$ . c) Cocientes $-2$ siempre: $r = -2$ . d) Cocientes $\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{2}{3}$ … distintos: no es geométrica.
2. Fácil
Escribe el término general y calcula $a_5$ : a) $a_1 = 6$ , $r = 3$ . b) $a_1 = 48$ , $r = -\dfrac{1}{2}$ .

Ver solución
a) aₙ = 6 · 3ⁿ⁻¹; a₅ = 486. b) aₙ = 48 · (−1/2)ⁿ⁻¹; a₅ = 3.
a) $a_n = 6 \cdot 3^{n-1}$ ; $a_5 = 6 \cdot 81 = 486$ . b) $a_n = 48 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ ; $a_5 = 48 \cdot \tfrac{1}{16} = 3$ (exponente par: positivo).
3. Media
¿Es 3072 un término de la progresión geométrica $3, 12, 48, \dots$ ? Si lo es, ¿qué lugar ocupa?

Ver solución
Sí, es a₆.
$a_1 = 3$ , $r = 4$ : $3 \cdot 4^{n-1} = 3072 \Rightarrow 4^{n-1} = 1024 = 4^5 \Rightarrow n = 6$ .
4. Media
Una hoja de tamaño A0 tiene un área de 1 m². Al cortarla por la mitad se obtienen dos hojas A1; al cortar una A1 por la mitad, dos A2; y así sucesivamente. a) Escribe el área de una hoja A1, A2 y A3. ¿Forman una progresión geométrica? ¿Cuál es la razón? b) Escribe el área de una hoja A $n$ y calcula, en cm², el área de un folio A4.

Ver solución
a) 0,5; 0,25; 0,125 m²; sí, r = 1/2. b) (1/2)ⁿ m²; A4: 625 cm².
a) A1: $0{,}5$ m²; A2: $0{,}25$ m²; A3: $0{,}125$ m². Cada área es la mitad de la anterior: geométrica con $r = \tfrac{1}{2}$ . b) Área de A $n$ $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^n$ m². A4: $\tfrac{1}{16}$ m² $= 0{,}0625$ m² $= 625$ cm² (porque 1 m² = 10 000 cm²).

Progresiones geométricas: razón y término general