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Matemáticas 3.º ESO · Progresiones geométricas

Progresiones geométricas: elementos y suma de n términos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la razón, el primer término u otros términos de una progresión geométrica a partir de datos, y la suma de sus n primeros términos.

Explicación

Relación entre dos términos

Si conocemos $a_k$ , para llegar a $a_n$ multiplicamos por la razón $n - k$ veces: $a_n = a_k \cdot r^{\,n-k}$

Con dos términos se obtiene la razón resolviendo una ecuación como $r^3 = 27$ (aquí $r = \sqrt[3]{27} = 3$ ). Cuidado: si el exponente es par, hay dos soluciones. Por ejemplo, $r^2 = 16$ da $r = 4$ o $r = -4$ , y hay dos progresiones posibles.

Suma de los $n$ primeros términos

Escribimos $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ y la multiplicamos por $r$ : $\begin{aligned} S_n \cdot r &= a_2 + a_3 + \dots + a_n + a_n \cdot r \\ S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \end{aligned}$ Al restar, casi todo se va: $S_n \cdot r - S_n = a_n \cdot r - a_1$ . Despejando (si $r \neq 1$ ):

$\boxed{S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1}} \qquad \text{o también} \qquad \boxed{S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}}$

La segunda forma se obtiene sustituyendo $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ y es cómoda cuando no conocemos el último término.

Puntos clave

$a_n = a_k \cdot r^{n-k}$ relaciona dos términos cualesquiera.
Con dos términos se obtiene $r$ resolviendo $r^{n-k} = \dfrac{a_n}{a_k}$ ; con exponente par hay dos soluciones.
Suma: $S_n = \dfrac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1} = \dfrac{a_1\cdot(r^n - 1)}{r - 1}$ (con $r \neq 1$ ).
La fórmula sale de restar $S_n \cdot r - S_n$ .
Las progresiones geométricas con $r > 1$ crecen muy deprisa: sus sumas se disparan.

Errores frecuentes

ErrorHallar la razón restando términos o dividiendo entre el número de saltos: con $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$ , hacer $r = \dfrac{324}{12} : 3$ .
Cómo corregirloEntre $a_2$ y $a_5$ se multiplica 3 veces por $r$ : $r^3 = \dfrac{324}{12} = 27$ , así que $r = \sqrt[3]{27} = 3$ .
ErrorOlvidar la solución negativa al resolver $r^2 = 25$ .
Cómo corregirlo $r^2 = 25$ tiene dos soluciones, $r = 5$ y $r = -5$ . Comprueba las dos: suelen dar dos progresiones válidas.
ErrorUsar la fórmula de la suma de las aritméticas, $\dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$ , en una geométrica.
Cómo corregirloEsa fórmula solo vale si se suma siempre lo mismo. En una geométrica se usa $\dfrac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La razón a partir de dos términos numérico
En una progresión geométrica, $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$ . Calcula la razón, el primer término, el término general y $a_7$ .

Resolución
De $a_2$ a $a_5$ se multiplica 3 veces por $r$ : $a_5 = a_2 \cdot r^3$ . $324 = 12 \cdot r^3 \;\Rightarrow\; r^3 = 27 \;\Rightarrow\; r = \sqrt[3]{27} = 3$ $a_1 = \dfrac{a_2}{r} = \dfrac{12}{3} = 4$ . Término general: $a_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ . $a_7 = 4 \cdot 3^6 = 4 \cdot 729 = 2916$ .
Ejemplo 2. La leyenda del ajedrez situación real (suma enorme)
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez pidió como premio un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, y así, duplicando, hasta la casilla 64. a) ¿Cuántos granos hay en la casilla 64? b) ¿Cuántos granos pidió en total? c) Si un grano pesa unos 0,04 g, ¿cuántas toneladas son?

Resolución
Progresión geométrica con $a_1 = 1$ y $r = 2$ . a) $a_{64} = 1 \cdot 2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18}$ granos. b) $S_{64} = \dfrac{a_1\cdot(r^{64} - 1)}{r - 1} = \dfrac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}$ granos. c) $1{,}8 \cdot 10^{19} \cdot 0{,}04\ \text{g} \approx 7{,}4 \cdot 10^{17}$ g $= 7{,}4 \cdot 10^{11}$ t. Es del orden de 900 veces la producción mundial de trigo de un año (unos 800 millones de toneladas): ¡imposible de pagar!
Ejemplo 3. Deducir la fórmula con un caso concreto numérico (de dónde sale la fórmula)
Calcula la suma $S = 3 + 6 + 12 + 24 + \dots + 768$ .

Resolución
Es geométrica con $a_1 = 3$ y $r = 2$ . Multiplicamos la suma por 2 y restamos: $\begin{aligned} 2S &= 6 + 12 + 24 + \dots + 768 + 1536 \\ S &= 3 + 6 + 12 + 24 + \dots + 768 \end{aligned}$ $2S - S = 1536 - 3 \;\Rightarrow\; S = 1533$ . Con la fórmula: $S = \dfrac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1} = \dfrac{768 \cdot 2 - 3}{2 - 1} = 1533$ ✔. (Son 9 términos, porque $768 = 3 \cdot 2^8$ .)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una progresión geométrica, $a_3 = 20$ y $a_6 = 160$ . Calcula $r$ , $a_1$ y $a_{10}$ .

Ver solución
r = 2; a₁ = 5; a₁₀ = 2560.
$r^3 = \dfrac{160}{20} = 8 \Rightarrow r = 2$ . $a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{20}{4} = 5$ . $a_{10} = 5 \cdot 2^9 = 5 \cdot 512 = 2560$ .
2. Media
En una progresión geométrica, $a_1 = 5$ y $a_4 = -40$ . Calcula la razón y $a_6$ .

Ver solución
r = −2; a₆ = −160.
$a_4 = a_1 \cdot r^3 \Rightarrow -40 = 5 \cdot r^3 \Rightarrow r^3 = -8 \Rightarrow r = -2$ . $a_6 = 5 \cdot (-2)^5 = 5 \cdot (-32) = -160$ .
3. Fácil
Calcula la suma de los 8 primeros términos de la progresión $1, 3, 9, 27, \dots$

Ver solución
S₈ = 3280.
$a_1 = 1$ , $r = 3$ : $S_8 = \dfrac{1 \cdot (3^8 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{6561 - 1}{2} = 3280$ .
4. Media
Calcula la suma $81 + 27 + 9 + 3 + 1$ usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica y comprueba el resultado sumando directamente.

Ver solución
121.
$a_1 = 81$ , $r = \tfrac{1}{3}$ , $a_5 = 1$ : $S_5 = \dfrac{a_5 \cdot r - a_1}{r - 1} = \dfrac{\tfrac{1}{3} - 81}{\tfrac{1}{3} - 1} = \dfrac{-\tfrac{242}{3}}{-\tfrac{2}{3}} = 121$ . Directamente: $81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121$ ✔.
5. Media
Ana envía un mensaje a 3 amigos el primer día. Al día siguiente, cada uno lo reenvía a 3 personas que no lo han recibido, y así cada día. a) ¿Cuántas personas reciben el mensaje el día 7? b) ¿Cuántas personas lo han recibido en total al terminar el día 7?

Ver solución
a) 2187. b) 3279.
Nuevas personas cada día: $3, 9, 27, \dots$ : geométrica con $a_1 = 3$ , $r = 3$ . a) $a_7 = 3 \cdot 3^6 = 3^7 = 2187$ . b) $S_7 = \dfrac{3 \cdot (3^7 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3 \cdot 2186}{2} = 3279$ personas.

Para practicar más

1. Difícil
En una progresión geométrica, $a_2 = 10$ y $a_4 = 250$ . Halla la razón y el primer término. ¿Cuántas progresiones cumplen estas condiciones? Escribe sus cinco primeros términos.
Ver solución
Dos: r = 5, a₁ = 2 (2, 10, 50, 250, 1250) y r = −5, a₁ = −2 (−2, 10, −50, 250, −1250).
$r^2 = \dfrac{250}{10} = 25 \Rightarrow r = 5$ o $r = -5$ .
- Si $r = 5$ : $a_1 = \dfrac{10}{5} = 2$ → $2, 10, 50, 250, 1250$ .
- Si $r = -5$ : $a_1 = \dfrac{10}{-5} = -2$ → $-2, 10, -50, 250, -1250$ . Las dos cumplen las condiciones.
2. Fácil
Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión $2, 4, 8, 16, \dots$

Ver solución
S₁₀ = 2046.
$S_{10} = \dfrac{2 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2 \cdot 1023 = 2046$ .
3. Media
Calcula la suma $7 + 14 + 28 + \dots + 896$ . ¿Cuántos términos tiene?

Ver solución
1785; 8 términos.
$a_1 = 7$ , $r = 2$ . $896 = 7 \cdot 128 = 7 \cdot 2^7$ , así que es $a_8$ : 8 términos. $S_8 = \dfrac{896 \cdot 2 - 7}{2 - 1} = 1785$ .
4. Media
Una ONG lanza una campaña en redes sociales. La primera semana consigue 25 donantes nuevos y cada semana consigue el doble de donantes nuevos que la anterior. a) ¿Cuántos donantes nuevos consigue la sexta semana? b) ¿Cuántos donantes tiene en total al acabar la sexta semana?

Ver solución
a) 800. b) 1575.
Geométrica con $a_1 = 25$ , $r = 2$ . a) $a_6 = 25 \cdot 2^5 = 800$ . b) $S_6 = \dfrac{25 \cdot (2^6 - 1)}{2 - 1} = 25 \cdot 63 = 1575$ .