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Matemáticas 3.º ESO · Interpolación y problemas con progresiones aritméticas

Interpolación de medios aritméticos y problemas

Objetivo: Al terminar, sabrás interpolar medios aritméticos y resolver problemas que combinan el término general y la suma de una progresión aritmética, incluidos los que llevan a una ecuación de segundo grado.

Explicación

Interpolar medios aritméticos

Interpolar $k$ medios aritméticos entre dos números $a$ y $b$ es colocar $k$ números entre ellos de forma que todos juntos formen una progresión aritmética: $a,\ \underbrace{\_\_,\ \_\_,\ \dots,\ \_\_}_{k \text{ medios}},\ b$

La progresión tiene $k + 2$ términos: $a_1 = a$ y $a_{k+2} = b$ . Entre $a$ y $b$ hay $k + 1$ saltos, así que $\boxed{d = \frac{b - a}{k + 1}}$ y los medios se obtienen sumando $d$ a partir de $a$ .

Problemas con progresiones aritméticas

Identifica la progresión: primer término $a_1$ y diferencia $d$ .
Decide qué te piden:
- un término concreto (lo que pasa el día $n$ , la fila $n$ …) → $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ ;
- un total acumulado (lo que se lleva en $n$ días, el total de filas…) → $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$ .
Si lo que no conoces es $n$ $n$ :
- con un término, sale una ecuación de primer grado;
- con una suma, al sustituir $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ en $S_n$ sale una ecuación de segundo grado. Solo vale la solución que sea un número natural.

Algunos casos típicos

Múltiplos de un número entre dos valores: busca el primero y el último múltiplo, y cuenta cuántos hay.
Tres números en progresión aritmética: llámalos $x - d$ , $x$ , $x + d$ ; al sumarlos, la $d$ se va.

Puntos clave

Interpolar $k$ medios entre $a$ y $b$ : $d = \dfrac{b - a}{k + 1}$ .
Pregunta clave: ¿me piden un término ( $a_n$ ) o un total acumulado ( $S_n$ )?
Si la incógnita es $n$ y se conoce la suma, sale una ecuación de segundo grado; solo vale la solución natural.
Para sumar múltiplos entre dos valores, busca el primer y el último múltiplo y cuenta los términos.
Tres números en progresión aritmética: $x - d$ , $x$ , $x + d$ .

Errores frecuentes

ErrorDividir entre el número de medios: al interpolar 4 medios entre 3 y 23, hacer $d = 20 : 4 = 5$ .
Cómo corregirloCon 4 medios hay 6 términos y 5 saltos: $d = 20 : 5 = 4$ . Comprueba que el último término sale $b$ .
ErrorUsar $a_n$ cuando el problema pide un total («¿cuántos kilómetros ha corrido en total?»).
Cómo corregirlo«En total», «acumulado», «entre todos» piden una suma: $S_n$ .
ErrorDar como respuesta una solución negativa o decimal de la ecuación de segundo grado.
Cómo corregirlo $n$ cuenta días, filas, términos…: tiene que ser un número natural. Descarta las demás soluciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cuatro medios entre 3 y 23 numérico (interpolación)
Interpola cuatro medios aritméticos entre 3 y 23.

Resolución
La progresión tiene $4 + 2 = 6$ términos: $a_1 = 3$ y $a_6 = 23$ . Hay 5 saltos: $d = \frac{23 - 3}{4 + 1} = \frac{20}{5} = 4$ La progresión es $3,\ \mathbf{7},\ \mathbf{11},\ \mathbf{15},\ \mathbf{19},\ 23$ . Comprobación: $19 + 4 = 23$ ✔.
Ejemplo 2. Los múltiplos de 7 entre 100 y 500 numérico (término general + suma)
Calcula la suma de todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 500.

Resolución
Los múltiplos de 7 forman una progresión aritmética con $d = 7$ .
- Primer múltiplo mayor que 100: $100 : 7 = 14{,}2\ldots$ , así que es $7 \cdot 15 = 105$ .
- Último múltiplo menor que 500: $500 : 7 = 71{,}4\ldots$ , así que es $7 \cdot 71 = 497$ .
- Número de términos: del $7 \cdot 15$ al $7 \cdot 71$ hay $71 - 15 + 1 = 57$ múltiplos. (También: $497 = 105 + (n-1)\cdot 7 \Rightarrow n = 57$ .)
$S_{57} = \frac{(105 + 497)\cdot 57}{2} = \frac{602 \cdot 57}{2} = 301 \cdot 57 = 17\,157$
Ejemplo 3. El plan de entrenamiento situación real (ecuación de segundo grado)
Lola prepara una carrera popular por la Casa de Campo. El primer día de entrenamiento corre 2 km y cada día corre 0,5 km más que el anterior. a) ¿Qué día correrá 10 km? b) ¿Cuántos días tardará en sumar 57 km en total?

Resolución
Progresión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 0{,}5$ .

a) Nos piden un término: $2 + (n-1)\cdot 0{,}5 = 10 \Rightarrow (n-1)\cdot 0{,}5 = 8 \Rightarrow n - 1 = 16 \Rightarrow n = 17$ . El día 17.

b) Nos piden un total: $S_n = 57$ . Primero, $a_n = 2 + (n-1)\cdot 0{,}5 = 1{,}5 + 0{,}5\,n$ . Entonces $\frac{(2 + 1{,}5 + 0{,}5\,n)\cdot n}{2} = 57 \;\Rightarrow\; (3{,}5 + 0{,}5\,n)\cdot n = 114 \;\Rightarrow\; 0{,}5\,n^2 + 3{,}5\,n - 114 = 0$ Multiplicando por 2: $n^2 + 7n - 228 = 0$ . $n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 912}}{2} = \frac{-7 \pm 31}{2} \;\Rightarrow\; n = 12 \ \text{ o } \ n = -19$ Solo vale $n = 12$ : en 12 días. Comprobación: $a_{12} = 7{,}5$ km y $S_{12} = \dfrac{(2 + 7{,}5)\cdot 12}{2} = 57$ km ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Interpola tres medios aritméticos entre 10 y 30.

Ver solución
10, 15, 20, 25, 30 (d = 5).
5 términos, 4 saltos: $d = \dfrac{30 - 10}{4} = 5$ . Medios: $15, 20, 25$ .
2. Fácil
Interpola cinco medios aritméticos entre 2 y $-10$ .

Ver solución
2, 0, −2, −4, −6, −8, −10 (d = −2).
7 términos, 6 saltos: $d = \dfrac{-10 - 2}{6} = -2$ . Medios: $0, -2, -4, -6, -8$ .
3. Media
Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 50 y 200.

Ver solución
6225.
Primero: $51 = 3 \cdot 17$ . Último: $198 = 3 \cdot 66$ . Número de términos: $66 - 17 + 1 = 50$ . $S_{50} = \dfrac{(51 + 198)\cdot 50}{2} = 249 \cdot 25 = 6225$ .
4. Difícil
¿Cuántos términos de la progresión $5, 8, 11, 14, \dots$ hay que sumar para obtener 390?

Ver solución
15 términos.
$a_1 = 5$ , $d = 3$ : $a_n = 3n + 2$ . $S_n = \dfrac{(5 + 3n + 2)\cdot n}{2} = 390 \Rightarrow 3n^2 + 7n - 780 = 0$ . $n = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 9360}}{6} = \dfrac{-7 \pm 97}{6}$ : $n = 15$ (la otra solución, $-\dfrac{52}{3}$ , no vale). Comprobación: $a_{15} = 47$ ; $S_{15} = \dfrac{(5 + 47)\cdot 15}{2} = 390$ ✔.
5. Media
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el menor mide 35°. ¿Cuánto miden los otros dos?

Ver solución
60° y 85°.
Ángulos: $35°$ , $35° + d$ , $35° + 2d$ . Suman $180°$ : $105° + 3d = 180° \Rightarrow d = 25°$ . Los ángulos miden $35°$ , $60°$ y $85°$ .
6. Media
En un aserradero se apilan troncos: la fila de abajo tiene 24 troncos y cada fila tiene un tronco menos que la de debajo. La fila de arriba tiene 10 troncos. a) ¿Cuántas filas tiene la pila? b) ¿Cuántos troncos hay en total?

Ver solución
a) 15 filas. b) 255 troncos.
Contando desde abajo: $a_1 = 24$ , $d = -1$ , último término 10. a) $24 + (n-1)\cdot(-1) = 10 \Rightarrow n - 1 = 14 \Rightarrow n = 15$ filas. b) $S_{15} = \dfrac{(24 + 10)\cdot 15}{2} = 255$ troncos.

Para practicar más

1. Fácil
Interpola cuatro medios aritméticos entre $-7$ y 8.

Ver solución
−7, −4, −1, 2, 5, 8 (d = 3).
6 términos, 5 saltos: $d = \dfrac{8 - (-7)}{5} = 3$ . Medios: $-4, -1, 2, 5$ .
2. Media
Una escalera tiene que subir desde el suelo hasta una altura de 144 cm. Entre el suelo y el rellano de arriba hay 8 peldaños, todos con la misma altura de subida. ¿A qué altura está cada peldaño?

Ver solución
16, 32, 48, 64, 80, 96, 112 y 128 cm.
Hay que interpolar 8 medios entre 0 y 144: hay 9 saltos, $d = \dfrac{144 - 0}{9} = 16$ cm. Alturas: $16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128$ cm (y el rellano a 144 cm).
3. Media
Calcula la suma de todos los múltiplos de 5 que tienen tres cifras.

Ver solución
98 550.
Primero: $100 = 5 \cdot 20$ . Último: $995 = 5 \cdot 199$ . Número de términos: $199 - 20 + 1 = 180$ . $S_{180} = \dfrac{(100 + 995)\cdot 180}{2} = 1095 \cdot 90 = 98\,550$ .
4. Media
¿Cuántos términos de la progresión $2, 6, 10, 14, \dots$ hay que sumar para obtener 450?

Ver solución
15 términos.
$a_n = 2 + (n-1)\cdot 4 = 4n - 2$ . $S_n = \dfrac{(2 + 4n - 2)\cdot n}{2} = 2n^2$ . $2n^2 = 450 \Rightarrow n^2 = 225 \Rightarrow n = 15$ .
5. Difícil
En un huerto urbano se plantan lechugas en filas: la primera fila tiene 8 lechugas y cada fila tiene 3 más que la anterior. ¿Cuántas filas se necesitan para plantar 215 lechugas? ¿Cuántas lechugas tiene la última fila?

Ver solución
10 filas; la última tiene 35 lechugas.
$a_1 = 8$ , $d = 3$ : $a_n = 3n + 5$ . $S_n = \dfrac{(8 + 3n + 5)\cdot n}{2} = 215 \Rightarrow 3n^2 + 13n - 430 = 0$ . $n = \dfrac{-13 \pm \sqrt{169 + 5160}}{6} = \dfrac{-13 \pm 73}{6}$ : $n = 10$ (la otra solución es negativa). Última fila: $a_{10} = 35$ lechugas. Comprobación: $\dfrac{(8 + 35)\cdot 10}{2} = 215$ ✔.
6. Difícil
Tres números están en progresión aritmética. Su suma es 27 y su producto es 504. ¿Cuáles son?

Ver solución
4, 9 y 14 (o 14, 9 y 4).
Los llamamos $x - d$ , $x$ , $x + d$ . Suma: $3x = 27 \Rightarrow x = 9$ . Producto: $(9 - d)\cdot 9 \cdot (9 + d) = 504 \Rightarrow 81 - d^2 = 56 \Rightarrow d^2 = 25 \Rightarrow d = \pm 5$ . Los números son $4, 9, 14$ (con $d = -5$ , los mismos en orden inverso). Comprobación: $4 \cdot 9 \cdot 14 = 504$ ✔.