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Matemáticas 3.º ESO · Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

¿Puede una suma infinita dar un número finito?

Objetivo: Al terminar, comprenderás de forma intuitiva que la suma de infinitos términos puede dar un número finito y sabrás estudiarlo con sumas parciales y la calculadora.

Explicación

Sumar infinitos números

Si sumamos infinitos números positivos, parece que el resultado tiene que ser «infinito». Pero no siempre es así: si los términos se hacen pequeños lo bastante deprisa, la suma se acerca cada vez más a un número sin pasarse nunca de él.

Sumas parciales

Para estudiar una suma infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ calculamos sus sumas parciales: $S_1 = a_1, \quad S_2 = a_1 + a_2, \quad S_3 = a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots$

Si las sumas parciales se acercan cada vez más a un número $S$ , decimos que la suma infinita vale $S$ .
Si crecen sin parar (superan cualquier número), la suma infinita no da un número finito.

Lo que vamos a ver

En las progresiones geométricas:

Si los términos se van haciendo más pequeños (por ejemplo, cada uno es la mitad del anterior), la suma infinita da un número.
Si los términos se mantienen o crecen (por ejemplo, cada uno es el doble del anterior), la suma crece sin límite.

Las sumas parciales se pueden calcular con la calculadora, sumando un término cada vez, o con la fórmula de la suma de $n$ términos.

Puntos clave

Una suma de infinitos términos puede dar un número finito.
Sumas parciales: $S_1 = a_1$ , $S_2 = a_1 + a_2$ , $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$ …
Si las sumas parciales se acercan a un número, ese número es la suma infinita.
Si los términos no se hacen pequeños, la suma crece sin límite.
Un dibujo (un cuadrado que se va rellenando) ayuda a ver a qué número se acerca la suma.

Errores frecuentes

ErrorPensar que, como hay infinitos términos, la suma tiene que ser infinita.
Cómo corregirloMira las sumas parciales: en $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$ nunca pasan de 1, aunque sumes muchísimos términos.
ErrorDecir que la suma «llega a 1 en algún momento» porque la calculadora muestra 1.
Cómo corregirloNinguna suma parcial es exactamente 1; la calculadora redondea. Lo que ocurre es que se acercan a 1 tanto como queramos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un cuadrado que se va coloreando geométrico y gráfico
Tenemos un cuadrado de área 1. Coloreamos la mitad; después, la mitad de lo que queda sin colorear; después, la mitad de lo que queda; y así indefinidamente. a) Escribe las áreas que vamos coloreando. ¿Qué tipo de sucesión forman? b) Calcula las sumas parciales $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ y $S_{10}$ . c) ¿A qué número se acerca la suma $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots$ ?

Resolución
a) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \dots$ : progresión geométrica con $r = \dfrac{1}{2}$ .

b) $S_1 = 0{,}5$ ; $S_2 = 0{,}75$ ; $S_3 = 0{,}875$ ; $S_4 = 0{,}9375$ ; $S_{10} = 1 - \dfrac{1}{1024} \approx 0{,}999$ . Fíjate: lo que queda sin colorear después de $n$ pasos es $\dfrac{1}{2^n}$ , así que $S_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}$ .

c) La parte coloreada nunca se pasa del cuadrado y lo que falta es cada vez más pequeño: la suma infinita vale 1. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = 1$ En la gráfica, las sumas parciales se acercan a 1 sin llegar a pasarlo.
Ejemplo 2. Con la calculadora numérico
Calcula con la calculadora las cinco primeras sumas parciales de $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dots$ (redondea a las diezmilésimas). ¿A qué número parecen acercarse?

Resolución
Cada término es el anterior entre 3. $S_1 \approx 0{,}3333$ ; $S_2 \approx 0{,}4444$ ; $S_3 \approx 0{,}4815$ ; $S_4 \approx 0{,}4938$ ; $S_5 \approx 0{,}4979$ . Las sumas parciales se acercan a 0,5: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dots = \dfrac{1}{2}$ .
Ejemplo 3. Una suma que no para de crecer numérico (contraste)
Calcula las seis primeras sumas parciales de $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ ¿Se acercan a algún número?

Resolución
$S_1 = 1$ ; $S_2 = 3$ ; $S_3 = 7$ ; $S_4 = 15$ ; $S_5 = 31$ ; $S_6 = 63$ . Cada suma parcial es casi el doble de la anterior ( $S_n = 2^n - 1$ ): con 20 términos ya pasa del millón ( $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ ). Crecen sin límite: esta suma infinita no da un número.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Un cuadrado de área 1 se divide en 4 cuadrados iguales y se colorea uno de ellos (el de la esquina superior derecha). El cuadrado de la esquina inferior izquierda se vuelve a dividir en 4 y se colorea el de su esquina superior derecha. Se repite el proceso indefinidamente. a) Escribe las áreas coloreadas en cada paso y calcula $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ y $S_5$ (redondea a las milésimas). b) ¿A qué número se acerca la suma $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} + \dots$ ?

Ver solución
a) 1/4, 1/16, 1/64…; 0,25; 0,313; 0,328; 0,332; 0,333. b) A 1/3.
a) Áreas: $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{64}, \dots$ (cada una es la cuarta parte de la anterior). $S_1 = 0{,}25$ ; $S_2 = 0{,}3125 \approx 0{,}313$ ; $S_3 \approx 0{,}328$ ; $S_4 \approx 0{,}332$ ; $S_5 \approx 0{,}333$ . b) Se acercan a $0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}$ . (En el dibujo, en cada paso hay tres cuadrados iguales «en forma de L» y solo uno está coloreado: la parte coloreada es la tercera parte de todo.)
2. Fácil
Calcula las cinco primeras sumas parciales de $6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dots$ (redondea a las milésimas). ¿A qué número se acercan?

Ver solución
6; 8; 8,667; 8,889; 8,963. Se acercan a 9.
Cada término es el anterior entre 3. $S_1 = 6$ ; $S_2 = 8$ ; $S_3 \approx 8{,}667$ ; $S_4 \approx 8{,}889$ ; $S_5 \approx 8{,}963$ . Se acercan a 9.
3. Media
Calcula las cinco primeras sumas parciales y decide si cada suma se acerca a un número o crece sin límite: a) $2 + 3 + 4{,}5 + 6{,}75 + \dots$ (cada término es el anterior por 1,5) b) $10 + 1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \dots$

Ver solución
a) 2; 5; 9,5; 16,25; 26,375: crece sin límite. b) 10; 11; 11,1; 11,11; 11,111: se acerca a 11,111… = 100/9.
a) $S_1 = 2$ ; $S_2 = 5$ ; $S_3 = 9{,}5$ ; $S_4 = 16{,}25$ ; $S_5 = 26{,}375$ . Los términos crecen, así que la suma crece sin límite. b) $S_1 = 10$ ; $S_2 = 11$ ; $S_3 = 11{,}1$ ; $S_4 = 11{,}11$ ; $S_5 = 11{,}111$ . Se acercan a $11{,}\overline{1} = \dfrac{100}{9}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Un juguete de cuerda avanza 40 cm en el primer segundo, 20 cm en el segundo, 10 cm en el tercero, y así, cada segundo la mitad que en el anterior. a) ¿Cuánto ha avanzado en total al cabo de 5 segundos? b) ¿A qué distancia se acerca el recorrido total? ¿Llegará a recorrer 1 m?

Ver solución
a) 77,5 cm. b) Se acerca a 80 cm; no llega a 1 m.
a) $S_5 = 40 + 20 + 10 + 5 + 2{,}5 = 77{,}5$ cm. b) Sumas parciales: $40, 60, 70, 75, 77{,}5, 78{,}75, \dots$ : lo que falta hasta 80 cm se reduce a la mitad cada vez. El recorrido se acerca a 80 cm, así que nunca llega a 1 m.
2. Media
Calcula las cinco primeras sumas parciales de $5 + 1 + 0{,}2 + 0{,}04 + \dots$ (cada término es el anterior entre 5) e intenta adivinar a qué número se acercan.

Ver solución
5; 6; 6,2; 6,24; 6,248. Se acercan a 6,25.
$S_1 = 5$ ; $S_2 = 6$ ; $S_3 = 6{,}2$ ; $S_4 = 6{,}24$ ; $S_5 = 6{,}248$ . Siguen $S_6 = 6{,}2496$ … Se acercan a 6,25.
3. Difícil
Calcula las sumas parciales $S_1$ a $S_7$ de $8 - 4 + 2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dots$ (cada término es el anterior multiplicado por $-\tfrac{1}{2}$ ). ¿Qué ocurre? ¿Parecen acercarse a algún número?

Ver solución
8; 4; 6; 5; 5,5; 5,25; 5,375. Oscilan por encima y por debajo, acercándose a un número entre 5,25 y 5,375 (es 16/3 ≈ 5,33).
$S_1 = 8$ ; $S_2 = 4$ ; $S_3 = 6$ ; $S_4 = 5$ ; $S_5 = 5{,}5$ ; $S_6 = 5{,}25$ ; $S_7 = 5{,}375$ . Las sumas parciales saltan por encima y por debajo, pero cada vez menos: se acercan a un número entre 5,25 y 5,375. (Ese número es $\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33$ .)