Alumnos | AulaDual

Explicación

Cómo hallar el término general

Comparamos la sucesión con sucesiones «modelo» cuyo término general conocemos:

Sucesión	Término general
$1, 2, 3, 4, \dots$	$n$
$1, 4, 9, 16, \dots$	$n^2$
$2, 4, 8, 16, \dots$	$2^n$
$10, 100, 1000, \dots$	$10^n$

Si se suma siempre lo mismo ( $k$ ), el término general es $k \cdot n + b$ : $9, 16, 23, 30, \dots$ suma 7, así que $a_n = 7n + b$ ; con $a_1 = 9$ sale $b = 2$ : $a_n = 7n + 2$ .
Si se parece a un modelo, mira qué le falta: $5, 20, 45, 80, \dots$ es el quíntuple de los cuadrados: $a_n = 5n^2$ .
En las fracciones, busca por separado el término general del numerador y el del denominador.

Comprueba siempre el término general con dos o tres términos.

Sucesiones recurrentes

Una sucesión es recurrente cuando cada término se calcula a partir de los anteriores. Se da con:

el primer término (o los primeros), y
la ley de recurrencia, que dice cómo se obtiene cada término.

Ejemplo: $a_1 = 8$ , $a_n = a_{n-1} + 6$ ( $a_{n-1}$ es el término anterior a $a_n$ ) da $8, 14, 20, 26, \dots$

La sucesión de Fibonacci

$a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ : cada término es la suma de los dos anteriores: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \dots$ Aparece en la naturaleza: en las espirales de las piñas y de las pipas de un girasol.

Con la ley de recurrencia, para calcular $a_{50}$ hay que calcular antes todos los anteriores; con el término general, basta con sustituir $n = 50$ .

Puntos clave

Para hallar el término general, compara con $n$ , $n^2$ , $2^n$ , $10^n$ …
Si se suma siempre $k$ , el término general es $k \cdot n + b$ ; $b$ se saca con $a_1$ .
En las fracciones, se busca por separado el numerador y el denominador.
Una sucesión recurrente se da con los primeros términos y una ley que relaciona cada término con los anteriores.
Fibonacci: $a_1 = a_2 = 1$ y $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ .

Errores frecuentes

ErrorEn $6, 11, 16, \dots$ escribir $a_n = 6 + 5n$ (se empieza a contar desde el primer término).
Cómo corregirloComprueba con $n = 1$ : $6 + 5 = 11 \neq 6$ . Lo correcto es $a_n = 5n + 1$ (o $a_n = 6 + 5\,(n-1)$ ).
ErrorUsar la ley de recurrencia sin los términos iniciales.
Cómo corregirloSin $a_1$ (y, en Fibonacci, sin $a_2$ ) la sucesión no queda determinada: la ley de recurrencia siempre necesita un punto de partida.
ErrorConfundir $a_{n-1}$ con $a_n - 1$ .
Cómo corregirlo $a_{n-1}$ es el término anterior; $a_n - 1$ es el término $a_n$ menos una unidad.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cuatro términos generales numérico (comparar con modelos)
Halla el término general de cada sucesión: a) $6, 11, 16, 21, \dots$ b) $2, 8, 18, 32, \dots$ c) $\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dots$ d) $3, 9, 27, 81, \dots$

Resolución
a) Se suma 5: $a_n = 5n + b$ . Con $n = 1$ : $5 + b = 6 \Rightarrow b = 1$ . $a_n = 5n + 1$ . Comprobación: $a_4 = 21$ ✔. b) Dividimos entre 2: $1, 4, 9, 16$ , que son los cuadrados. $a_n = 2n^2$ . Comprobación: $a_3 = 2 \cdot 9 = 18$ ✔. c) Numeradores $2, 3, 4$ : $n + 1$ . Denominadores $3, 4, 5$ : $n + 2$ . $a_n = \dfrac{n+1}{n+2}$ . d) Son las potencias de 3: $a_n = 3^n$ .
Ejemplo 2. Una ley de recurrencia numérico (sucesión recurrente)
Una sucesión está definida por $a_1 = 2$ y $a_n = 3 \cdot a_{n-1} - 2$ . Calcula sus cinco primeros términos.

Resolución
Cada término es el triple del anterior menos 2: $a_1 = 2$ $a_2 = 3 \cdot a_1 - 2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ $a_3 = 3 \cdot a_2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 10$ $a_4 = 3 \cdot 10 - 2 = 28$ $a_5 = 3 \cdot 28 - 2 = 82$
Ejemplo 3. Subir la escalera del portal situación real (Fibonacci)
Lucía sube la escalera de su portal de 1 en 1 o de 2 en 2 peldaños, mezclándolos como quiera. Llamamos $e_n$ al número de formas distintas de subir $n$ peldaños. a) Comprueba que $e_1 = 1$ , $e_2 = 2$ , $e_3 = 3$ y $e_4 = 5$ . b) Explica por qué $e_n = e_{n-1} + e_{n-2}$ y calcula de cuántas formas puede subir 10 peldaños.

Resolución
a) 1 peldaño: (1). 2 peldaños: (1+1), (2). 3 peldaños: (1+1+1), (1+2), (2+1). 4 peldaños: (1+1+1+1), (1+1+2), (1+2+1), (2+1+1), (2+2): 5 formas.

b) El primer paso de Lucía es de 1 peldaño o de 2. Si es de 1, le quedan $n - 1$ peldaños, que puede subir de $e_{n-1}$ formas; si es de 2, le quedan $n - 2$ , de $e_{n-2}$ formas. En total, $e_n = e_{n-1} + e_{n-2}$ . Es como Fibonacci: $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . Para 10 peldaños hay 89 formas.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla el término general de cada sucesión: a) $4, 7, 10, 13, \dots$ b) $0, 1, 4, 9, 16, \dots$ c) $\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{5}, \dots$ d) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots$ e) $9, 8, 7, 6, \dots$

Ver solución
a) 3n + 1. b) (n − 1)². c) n/(n + 2). d) 1/2ⁿ. e) 10 − n.
a) Se suma 3: $3n + b$ ; $3 + b = 4 \Rightarrow b = 1$ : $a_n = 3n + 1$ . b) Son los cuadrados empezando por $0^2$ : $a_n = (n-1)^2$ (comprobación: $a_5 = 4^2 = 16$ ✔). c) Numerador $n$ , denominador $n + 2$ : $a_n = \dfrac{n}{n+2}$ . d) Numerador 1; denominadores, potencias de 2: $a_n = \dfrac{1}{2^n}$ . e) Se resta 1: $a_n = -n + b$ ; $-1 + b = 9 \Rightarrow b = 10$ : $a_n = 10 - n$ .
2. Fácil
Escribe los primeros términos de estas sucesiones recurrentes: a) $a_1 = 5$ , $a_n = a_{n-1} + 4$ (cinco términos). b) $b_1 = 1$ , $b_2 = 3$ , $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ (seis términos). c) $c_1 = 64$ , $c_n = \dfrac{c_{n-1}}{2}$ (cinco términos).

Ver solución
a) 5, 9, 13, 17, 21. b) 1, 3, 4, 7, 11, 18. c) 64, 32, 16, 8, 4.
a) Se suma 4 cada vez: $5, 9, 13, 17, 21$ . b) Cada término es la suma de los dos anteriores: $1, 3, 1 + 3 = 4, 3 + 4 = 7, 4 + 7 = 11, 7 + 11 = 18$ . c) Cada término es la mitad del anterior: $64, 32, 16, 8, 4$ .
3. Media
a) Escribe los 12 primeros términos de la sucesión de Fibonacci. b) Calcula el cociente $\dfrac{a_{12}}{a_{11}}$ redondeando a las milésimas. (Ese número se acerca al número de oro, $\Phi \approx 1{,}618$ .)

Ver solución
a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. b) 144/89 ≈ 1,618.
a) $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ . b) $\dfrac{144}{89} = 1{,}61797\ldots \approx 1{,}618$ .
4. Media
La sucesión $3, 7, 11, 15, \dots$ a) Defínela de forma recurrente. b) Escribe su término general. c) ¿Qué forma es más cómoda para calcular $a_{100}$ ? Calcúlalo.

Ver solución
a) a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 4. b) aₙ = 4n − 1. c) El término general: a₁₀₀ = 399.
a) $a_1 = 3$ y $a_n = a_{n-1} + 4$ . b) Se suma 4: $4n + b$ ; $4 + b = 3 \Rightarrow b = -1$ : $a_n = 4n - 1$ . c) Con la recurrencia habría que calcular los 99 términos anteriores; con el término general basta sustituir: $a_{100} = 400 - 1 = 399$ .

Para practicar más

1. Fácil
Halla el término general de cada sucesión: a) $7, 9, 11, 13, \dots$ b) $3, 12, 27, 48, \dots$ c) $\dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{4}{3}, \dots$ d) $4, 16, 64, \dots$

Ver solución
a) 2n + 5. b) 3n². c) (n + 1)/n. d) 4ⁿ.
a) Se suma 2: $2n + b$ ; $2 + b = 7 \Rightarrow b = 5$ : $a_n = 2n + 5$ . b) Dividiendo entre 3: $1, 4, 9, 16$ → $a_n = 3n^2$ . c) Numerador $n + 1$ , denominador $n$ : $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ . d) Potencias de 4: $a_n = 4^n$ .
2. Media
Calcula los primeros términos de estas sucesiones recurrentes: a) $a_1 = 2$ , $a_n = (a_{n-1})^2 - 1$ (cuatro términos). b) $b_1 = 1$ , $b_2 = 2$ , $b_n = b_{n-1} \cdot b_{n-2}$ (seis términos).

Ver solución
a) 2, 3, 8, 63. b) 1, 2, 2, 4, 8, 32.
a) $a_2 = 2^2 - 1 = 3$ ; $a_3 = 3^2 - 1 = 8$ ; $a_4 = 8^2 - 1 = 63$ . b) $b_3 = 2 \cdot 1 = 2$ ; $b_4 = 2 \cdot 2 = 4$ ; $b_5 = 4 \cdot 2 = 8$ ; $b_6 = 8 \cdot 4 = 32$ .
3. Media
El canal de vídeos del instituto tiene 100 suscriptores la primera semana. Cada semana, el número de suscriptores es el doble que la semana anterior más 50. a) Escribe la ley de recurrencia con $s_1 = 100$ . b) ¿Cuántos suscriptores tendrá en la semana 4?

Ver solución
a) s₁ = 100, sₙ = 2 · sₙ₋₁ + 50. b) 1150 suscriptores.
a) $s_1 = 100$ , $s_n = 2 \cdot s_{n-1} + 50$ . b) $s_2 = 2 \cdot 100 + 50 = 250$ ; $s_3 = 2 \cdot 250 + 50 = 550$ ; $s_4 = 2 \cdot 550 + 50 = 1150$ .
4. Media
Los números triangulares $1, 3, 6, 10, 15, \dots$ cumplen $a_1 = 1$ y $a_n = a_{n-1} + n$ . a) Usa la ley de recurrencia para calcular $a_6$ , $a_7$ y $a_8$ . b) Comprueba que $a_8$ coincide con lo que da el término general $a_n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2}$ .

Ver solución
a) 21, 28, 36. b) 8 · 9 / 2 = 36 ✔.
a) $a_6 = 15 + 6 = 21$ ; $a_7 = 21 + 7 = 28$ ; $a_8 = 28 + 8 = 36$ . b) $\dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$ ✔.

Hallar el término general. Sucesiones recurrentes