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Matemáticas 3.º ESO · Sucesiones: término general y recurrencia

Término general de sucesiones más complejas

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener el término general de sucesiones con signos alternos, de fracciones o combinadas, y pasar de la ley de recurrencia al término general en casos sencillos.

Explicación

Sucesiones con signos alternos

El factor $(-1)^n$ vale $-1$ si $n$ es impar y $+1$ si $n$ es par. Sirve para alternar signos:

$(-1)^n$ : $-1, +1, -1, +1, \dots$ (empieza en negativo).
$(-1)^{n+1}$ : $+1, -1, +1, -1, \dots$ (empieza en positivo).

Primero se halla el término general sin signos y después se multiplica por $(-1)^n$ o $(-1)^{n+1}$ . Por ejemplo, $1, -4, 9, -16, \dots$ es $a_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$ .

Sucesiones de fracciones

Se busca por separado el término general del numerador y el del denominador, y se comprueba con dos términos. Si alguna fracción aparece simplificada, a veces hay que «deshacer» la simplificación para ver el patrón ( $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ ).

De la ley de recurrencia al término general

Calcula varios términos con la ley de recurrencia.
Busca el patrón: ¿se suma siempre lo mismo?, ¿se multiplica siempre por lo mismo?, ¿son cuadrados?…
Escribe el término general y comprueba que cumple la ley y el primer término.

Si $a_n = a_{n-1} + k$ , se suma siempre $k$ : $a_n = a_1 + (n-1)\cdot k$ .
Si $a_n = a_{n-1} \cdot k$ , se multiplica siempre por $k$ : $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .

Puntos clave

$(-1)^n$ empieza en negativo; $(-1)^{n+1}$ , en positivo.
En las fracciones, numerador y denominador se estudian por separado.
Para pasar de la recurrencia al término general: calcular términos, buscar el patrón y comprobar.
Si se suma siempre $k$ : $a_n = a_1 + (n-1)\cdot k$ . Si se multiplica siempre por $k$ : $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .

Errores frecuentes

ErrorPoner $(-1)^n$ cuando la sucesión empieza en positivo.
Cómo corregirloSustituye $n = 1$ : $(-1)^1 = -1$ . Si el primer término es positivo, usa $(-1)^{n+1}$ .
ErrorEscribir $-2^n$ para $-2, 4, -8, \dots$
Cómo corregirlo $-2^n$ es siempre negativo (el signo no está elevado). Hay que escribir $(-2)^n$ , con paréntesis.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Fracciones con signos alternos numérico
Halla el término general de la sucesión $-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{3},\ -\dfrac{3}{4},\ \dfrac{4}{5},\ \dots$ y calcula $a_{20}$ .

Resolución
Sin signos: numeradores $1, 2, 3, 4 \to n$ ; denominadores $2, 3, 4, 5 \to n + 1$ . Fracción: $\dfrac{n}{n+1}$ . Signos: $-, +, -, +$ → empieza en negativo → $(-1)^n$ . $a_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}$ Comprobación: $a_3 = (-1)^3 \cdot \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$ ✔. $a_{20} = (-1)^{20} \cdot \dfrac{20}{21} = \dfrac{20}{21}$ (20 es par: positivo).
Ejemplo 2. De la recurrencia al término general numérico (recurrente → explícita)
Halla el término general de cada sucesión recurrente: a) $a_1 = 7$ , $a_n = a_{n-1} - 3$ . Calcula también $a_{40}$ . b) $b_1 = 5$ , $b_n = 3 \cdot b_{n-1}$ . Calcula también $b_8$ .

Resolución
a) Términos: $7, 4, 1, -2, -5, \dots$ : se resta 3 siempre. $a_n = 7 + (n-1)\cdot(-3) = 10 - 3n$ . Comprobación: $a_1 = 10 - 3 = 7$ ✔; $a_4 = 10 - 12 = -2$ ✔. $a_{40} = 10 - 120 = -110$ .

b) Términos: $5, 15, 45, 135, \dots$ : se multiplica por 3 siempre. $b_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ . Comprobación: $b_3 = 5 \cdot 3^2 = 45$ ✔. $b_8 = 5 \cdot 3^7 = 5 \cdot 2187 = 10\,935$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Halla el término general de cada sucesión: a) $1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4}, \dots$ b) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{7}{8}, \dots$ c) $-2, 4, -8, 16, \dots$

Ver solución
a) (−1)ⁿ⁺¹ · 1/n. b) (2n − 1)/(2n). c) (−2)ⁿ.
a) Sin signo: $\dfrac{1}{n}$ ; empieza en positivo: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot \dfrac{1}{n}$ . b) Numeradores impares $2n - 1$ ; denominadores pares $2n$ : $a_n = \dfrac{2n-1}{2n}$ . c) Sin signo: $2^n$ ; empieza en negativo: $(-1)^n \cdot 2^n = (-2)^n$ .
2. Difícil
Una sucesión cumple $a_1 = 1$ y $a_n = a_{n-1} + 2n - 1$ . a) Calcula sus seis primeros términos. b) Deduce su término general y comprueba que cumple la ley con $n = 6$ .

Ver solución
a) 1, 4, 9, 16, 25, 36. b) aₙ = n².
a) $a_2 = 1 + 3 = 4$ ; $a_3 = 4 + 5 = 9$ ; $a_4 = 9 + 7 = 16$ ; $a_5 = 16 + 9 = 25$ ; $a_6 = 25 + 11 = 36$ . b) Son los cuadrados: $a_n = n^2$ . Con $n = 6$ : $a_5 + 2 \cdot 6 - 1 = 25 + 11 = 36 = 6^2$ ✔.
3. Difícil
Una sucesión cumple $a_1 = 100$ y $a_n = \dfrac{a_{n-1}}{10}$ . Escribe sus cinco primeros términos, halla el término general como una potencia de 10 y calcula $a_8$ .

Ver solución
100; 10; 1; 0,1; 0,01. aₙ = 10³⁻ⁿ. a₈ = 10⁻⁵ = 0,00001.
Términos: $100;\ 10;\ 1;\ 0{,}1;\ 0{,}01$ , es decir, $10^2, 10^1, 10^0, 10^{-1}, 10^{-2}$ . El exponente es $3 - n$ : $a_n = 10^{3-n}$ (también $a_n = 100 \cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$ ). $a_8 = 10^{-5} = 0{,}00001$ .

Para practicar más

1. Media
Halla el término general de cada sucesión: a) $3, \dfrac{5}{4}, \dfrac{7}{9}, \dfrac{9}{16}, \dots$ b) $-5, 10, -15, 20, \dots$

Ver solución
a) (2n + 1)/n². b) (−1)ⁿ · 5n.
a) Escribimos $3 = \dfrac{3}{1}$ . Numeradores $3, 5, 7, 9 \to 2n + 1$ ; denominadores $1, 4, 9, 16 \to n^2$ : $a_n = \dfrac{2n+1}{n^2}$ . b) Sin signo: $5n$ ; empieza en negativo: $a_n = (-1)^n \cdot 5n$ .
2. Media
Una sucesión cumple $a_1 = 2$ y $a_n = a_{n-1} + 6$ . Halla su término general y calcula $a_{50}$ .

Ver solución
aₙ = 6n − 4; a₅₀ = 296.
Términos: $2, 8, 14, 20, \dots$ Se suma 6: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 6 = 6n - 4$ . Comprobación: $a_3 = 14$ ✔. $a_{50} = 300 - 4 = 296$ .
3. Difícil
Una sucesión cumple $a_1 = 0$ y $a_n = a_{n-1} + 2\,(n-1)$ . a) Calcula sus seis primeros términos. b) Comprueba que su término general es $a_n = n\,(n-1)$ .

Ver solución
a) 0, 2, 6, 12, 20, 30. b) 1·0 = 0, 2·1 = 2, 3·2 = 6, 4·3 = 12, 5·4 = 20, 6·5 = 30.
a) $a_2 = 0 + 2 = 2$ ; $a_3 = 2 + 4 = 6$ ; $a_4 = 6 + 6 = 12$ ; $a_5 = 12 + 8 = 20$ ; $a_6 = 20 + 10 = 30$ . b) $1 \cdot 0 = 0$ , $2 \cdot 1 = 2$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $4 \cdot 3 = 12$ , $5 \cdot 4 = 20$ , $6 \cdot 5 = 30$ ✔.