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Explicación

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un mismo número $d$ , llamado diferencia: $a_n = a_{n-1} + d \qquad d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots$

Si $d > 0$ , la progresión es creciente: $3, 8, 13, 18, \dots$ ( $d = 5$ ).
Si $d < 0$ , es decreciente: $40, 34, 28, 22, \dots$ ( $d = -6$ ).
Si $d = 0$ , es constante: $9, 9, 9, \dots$

Para saber si una sucesión es una progresión aritmética, se calculan las diferencias entre términos consecutivos: tienen que ser todas iguales.

Término general

Para llegar de $a_1$ a $a_n$ hay que sumar la diferencia $n - 1$ veces: $a_1 \xrightarrow{+d} a_2 \xrightarrow{+d} a_3 \xrightarrow{+d} \cdots \xrightarrow{+d} a_n$

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1) \cdot d}$

Por ejemplo, en $3, 8, 13, 18, \dots$ : $a_n = 3 + (n-1)\cdot 5 = 5n - 2$ .

Representación gráfica

Los puntos $(n, a_n)$ de una progresión aritmética están alineados: en cada paso a la derecha, el punto sube $d$ (o baja, si $d$ es negativa).

Puntos clave

Progresión aritmética: cada término es el anterior más la diferencia $d$ .
$d = a_{n+1} - a_n$ (un término menos el anterior); debe ser siempre la misma.
Término general: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .
$d > 0$ : creciente; $d < 0$ : decreciente; $d = 0$ : constante.
Sus puntos $(n, a_n)$ están alineados.

Errores frecuentes

ErrorCalcular la diferencia al revés: en $20, 17, 14, \dots$ decir que $d = 3$ .
Cómo corregirlo $d$ es un término menos el anterior: $17 - 20 = -3$ . Si la progresión baja, $d$ es negativa.
ErrorEscribir $a_n = a_1 + n \cdot d$ .
Cómo corregirloComprueba con $n = 1$ : saldría $a_1 + d$ , que es $a_2$ . Desde $a_1$ hasta $a_n$ hay $n - 1$ saltos.
ErrorDecidir que es aritmética mirando solo las dos primeras diferencias.
Cómo corregirloCalcula todas las diferencias de los términos que te dan: en $1, 2, 4, 8$ son $1, 2, 4$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Es una progresión aritmética? numérico
Indica cuáles de estas sucesiones son progresiones aritméticas. En las que lo sean, da la diferencia y el término general. a) $7, 11, 15, 19, \dots$ b) $20, 17, 14, 11, \dots$ c) $1, 2, 4, 8, \dots$ d) $2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ 4;\ \dots$

Resolución
a) Diferencias: $4, 4, 4$ . Sí, $d = 4$ . $a_n = 7 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 3$ . b) Diferencias: $-3, -3, -3$ . Sí, $d = -3$ (decreciente). $a_n = 20 + (n-1)\cdot(-3) = 23 - 3n$ . c) Diferencias: $1, 2, 4$ . No es aritmética. d) Diferencias: $0{,}5;\ 0{,}5;\ 0{,}5$ . Sí, $d = 0{,}5$ . $a_n = 2{,}5 + (n-1)\cdot 0{,}5 = 2 + 0{,}5\,n$ .
Ejemplo 2. Los martes de octubre situación real
En un año, el primer martes de octubre es el día 3. a) Escribe los días de todos los martes de ese mes. ¿Forman una progresión aritmética? b) Escribe el término general. ¿Puede ser martes el día 26?

Resolución
a) $3, 10, 17, 24, 31$ . Se suma 7 cada vez: es una progresión aritmética finita (5 términos) con $d = 7$ . b) $a_n = 3 + (n-1)\cdot 7 = 7n - 4$ . $7n - 4 = 26 \Rightarrow n = \dfrac{30}{7}$ , que no es natural: el 26 no es martes (cae en jueves: $24 + 2$ ).
Ejemplo 3. Leer la progresión en la gráfica gráfico
La gráfica muestra los cinco primeros términos de una sucesión. Comprueba que es una progresión aritmética, escribe su término general y calcula $a_{20}$ .

Resolución
Leemos los puntos: $a_1 = 2$ , $a_2 = 5$ , $a_3 = 8$ , $a_4 = 11$ , $a_5 = 14$ . Los puntos están alineados y en cada paso suben 3: es aritmética con $d = 3$ . $a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1$ . $a_{20} = 60 - 1 = 59$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Cuáles son progresiones aritméticas? Indica la diferencia de las que lo sean. a) $3, 9, 15, 21, \dots$ b) $10, 6, 2, -2, \dots$ c) $1, 3, 7, 13, \dots$ d) $\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{3}{2}, 2, \dots$

Ver solución
a) Sí, d = 6. b) Sí, d = −4. c) No. d) Sí, d = 1/2.
a) Diferencias $6, 6, 6$ : sí, $d = 6$ . b) Diferencias $-4, -4, -4$ : sí, $d = -4$ . c) Diferencias $2, 4, 6$ : no. d) Diferencias $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}$ : sí, $d = \dfrac{1}{2}$ .
2. Fácil
Escribe el término general y calcula $a_{20}$ en cada progresión aritmética: a) $a_1 = 8$ , $d = 5$ . b) $a_1 = 30$ , $d = -2$ .

Ver solución
a) aₙ = 5n + 3; a₂₀ = 103. b) aₙ = 32 − 2n; a₂₀ = −8.
a) $a_n = 8 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 3$ ; $a_{20} = 103$ . b) $a_n = 30 + (n-1)\cdot(-2) = 32 - 2n$ ; $a_{20} = 32 - 40 = -8$ .
3. Media
En la progresión aritmética $4, 9, 14, 19, \dots$ , calcula el término 50 sin escribir los anteriores.

Ver solución
a₅₀ = 249.
$a_1 = 4$ , $d = 5$ : $a_{50} = 4 + 49 \cdot 5 = 4 + 245 = 249$ .
4. Media
Un depósito de agua de 600 L tiene una fuga y pierde 15 L cada día. Llamamos $a_n$ a los litros que quedan al final del día $n$ . a) Escribe $a_1$ , $a_2$ y $a_3$ . ¿Es una progresión aritmética? b) Escribe el término general. ¿Cuántos litros quedan al final del día 12? c) ¿Qué día se vacía el depósito?

Ver solución
a) 585, 570, 555 L; sí, d = −15. b) aₙ = 600 − 15n; 420 L. c) El día 40.
a) $585$ , $570$ , $555$ L. Sí: $d = -15$ . b) $a_n = 585 + (n-1)\cdot(-15) = 600 - 15n$ . $a_{12} = 600 - 180 = 420$ L. c) $600 - 15n = 0 \Rightarrow n = 40$ : al final del día 40.

Para practicar más

1. Fácil
¿Cuáles son progresiones aritméticas? Indica la diferencia de las que lo sean. a) $12, 19, 26, 33, \dots$ b) $5, 1, -3, -7, \dots$ c) $2, 8, 32, 128, \dots$ d) $0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}8;\ 1{,}1;\ \dots$

Ver solución
a) Sí, d = 7. b) Sí, d = −4. c) No. d) Sí, d = 0,3.
a) Diferencias $7, 7, 7$ : sí, $d = 7$ . b) Diferencias $-4, -4, -4$ : sí, $d = -4$ . c) Diferencias $6, 24, 96$ : no (cada término es el cuádruple del anterior). d) Diferencias $0{,}3;\ 0{,}3;\ 0{,}3$ : sí, $d = 0{,}3$ .
2. Fácil
Escribe el término general y calcula $a_{15}$ : a) $a_1 = -6$ , $d = 4$ . b) $a_1 = \dfrac{1}{3}$ , $d = \dfrac{1}{3}$ .

Ver solución
a) aₙ = 4n − 10; a₁₅ = 50. b) aₙ = n/3; a₁₅ = 5.
a) $a_n = -6 + (n-1)\cdot 4 = 4n - 10$ ; $a_{15} = 60 - 10 = 50$ . b) $a_n = \dfrac{1}{3} + (n-1)\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{3}$ ; $a_{15} = \dfrac{15}{3} = 5$ .
3. Media
La gráfica muestra los cinco primeros términos de una progresión aritmética. a) Escribe $a_1$ y la diferencia. b) Escribe el término general y calcula $a_{10}$ . c) ¿Qué término vale $-20$ ?

Ver solución
a) a₁ = 13, d = −3. b) aₙ = 16 − 3n; a₁₀ = −14. c) a₁₂.
a) $a_1 = 13$ ; los puntos bajan 3 en cada paso: $d = -3$ . b) $a_n = 13 + (n-1)\cdot(-3) = 16 - 3n$ ; $a_{10} = 16 - 30 = -14$ . c) $16 - 3n = -20 \Rightarrow 3n = 36 \Rightarrow n = 12$ .
4. Media
En un edificio de oficinas, el suelo de la planta 1 está a 5 m de altura y cada planta mide 3,6 m de alto. a) Escribe la altura del suelo de las plantas 1, 2 y 3 y el término general. b) ¿A qué altura está el suelo de la planta 30? c) ¿En qué planta está el suelo a 77 m de altura?

Ver solución
a) 5; 8,6; 12,2 m; hₙ = 1,4 + 3,6n. b) 109,4 m. c) En la planta 21.
a) $h_1 = 5$ m, $h_2 = 8{,}6$ m, $h_3 = 12{,}2$ m. Progresión aritmética con $d = 3{,}6$ : $h_n = 5 + (n-1)\cdot 3{,}6 = 1{,}4 + 3{,}6\,n$ . b) $h_{30} = 1{,}4 + 108 = 109{,}4$ m. c) $1{,}4 + 3{,}6\,n = 77 \Rightarrow 3{,}6\,n = 75{,}6 \Rightarrow n = 21$ .

Progresiones aritméticas: diferencia y término general