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Matemáticas 3.º ESO · Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas: elementos y suma de n términos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la diferencia, el primer término o el lugar de un término de una progresión aritmética a partir de datos, y la suma de sus n primeros términos.

Explicación

Relación entre dos términos cualesquiera

Si conocemos el término $a_k$ , para llegar a $a_n$ sumamos la diferencia $n - k$ veces: $a_n = a_k + (n-k) \cdot d$

Así podemos calcular la diferencia a partir de dos términos: $d = \frac{a_n - a_k}{n - k}$ Por ejemplo, si $a_2 = 9$ y $a_6 = 21$ : hay $6 - 2 = 4$ saltos para subir $21 - 9 = 12$ , así que $d = 12 : 4 = 3$ .

Con la diferencia y un término se halla $a_1$ y el término general. Para saber qué lugar ocupa un término, igualamos el término general a su valor y despejamos $n$ .

Suma de los $n$ primeros términos

En una progresión aritmética, los términos equidistantes de los extremos suman lo mismo: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \dots$ Si escribimos la suma dos veces, una al derecho y otra al revés, y las sumamos, obtenemos $n$ veces $(a_1 + a_n)$ , es decir, el doble de la suma. Por eso:

$\boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}$

Para usarla necesitamos $a_1$ , $a_n$ y el número de términos $n$ . Si no conocemos $a_n$ , lo calculamos antes con el término general.

Puntos clave

$a_n = a_k + (n-k)\cdot d$ relaciona dos términos cualesquiera.
Con dos términos: $d = \dfrac{a_n - a_k}{n - k}$ .
Para saber el lugar de un término, se iguala $a_n$ a su valor y se despeja $n$ .
Suma de los $n$ primeros términos: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$ .
Antes de sumar, asegúrate de conocer $a_1$ , $a_n$ y cuántos términos hay.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre el lugar en vez de entre el número de saltos: con $a_3$ y $a_8$ , dividir entre 8 o entre 3.
Cómo corregirloEntre $a_3$ y $a_8$ hay $8 - 3 = 5$ saltos: $d = \dfrac{a_8 - a_3}{5}$ .
ErrorUsar $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$ con un $a_n$ que no es el último término que se suma.
Cómo corregirlo $a_n$ es el último término de la suma. Si sumas 25 términos, necesitas $a_{25}$ .
ErrorContar mal los términos: de 51 a 150 decir que hay 99.
Cómo corregirloDel término $p$ al $q$ (ambos incluidos) hay $q - p + 1$ términos: de 51 a 150 hay 100.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos términos y nada más numérico
En una progresión aritmética, $a_3 = 10$ y $a_8 = 25$ . Calcula la diferencia, el primer término, el término general y $a_{20}$ .

Resolución
De $a_3$ a $a_8$ hay $8 - 3 = 5$ saltos: $d = \dfrac{25 - 10}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$ . $a_1$ : desde $a_3$ retrocedemos 2 saltos: $a_1 = 10 - 2 \cdot 3 = 4$ . Término general: $a_n = 4 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 1$ . Comprobación: $a_8 = 24 + 1 = 25$ ✔. $a_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61$ .
Ejemplo 2. La suma de Gauss numérico (de dónde sale la fórmula)
Se cuenta que, cuando Carl Friedrich Gauss tenía unos 9 años, su maestro mandó sumar todos los números del 1 al 100 para tener a la clase ocupada, y Gauss dio la respuesta en un momento. ¿Cómo lo hizo?

Resolución
Escribimos la suma al derecho y al revés: $\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \dots + 2 + 1 \end{aligned}$ Sumando columna a columna, cada pareja da $101$ , y hay 100 parejas: $2S = 100 \cdot 101 \;\Rightarrow\; S = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ Es la fórmula $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}$ con $a_1 = 1$ , $a_{100} = 100$ y $n = 100$ .
Ejemplo 3. Las butacas del teatro situación real
Un teatro de la Gran Vía tiene 20 filas de butacas. La primera fila tiene 16 butacas y cada fila tiene 2 más que la anterior. a) ¿Cuántas butacas hay en la última fila? b) ¿Cuántas butacas tiene el teatro en total?

Resolución
Las filas forman una progresión aritmética con $a_1 = 16$ y $d = 2$ . a) $a_{20} = 16 + 19 \cdot 2 = 54$ butacas. b) $S_{20} = \dfrac{(16 + 54) \cdot 20}{2} = \dfrac{70 \cdot 20}{2} = 700$ butacas.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una progresión aritmética, $a_2 = 7$ y $a_7 = 32$ . Calcula $d$ , $a_1$ , el término general y $a_{30}$ .

Ver solución
d = 5; a₁ = 2; aₙ = 5n − 3; a₃₀ = 147.
$d = \dfrac{32 - 7}{7 - 2} = \dfrac{25}{5} = 5$ . $a_1 = 7 - 5 = 2$ . $a_n = 2 + (n-1)\cdot 5 = 5n - 3$ . $a_{30} = 150 - 3 = 147$ .
2. Fácil
¿Qué lugar ocupa el número 118 en la progresión $6, 10, 14, \dots$ ?

Ver solución
Es el término 29.
$a_1 = 6$ , $d = 4$ : $a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2$ . $4n + 2 = 118 \Rightarrow 4n = 116 \Rightarrow n = 29$ .
3. Media
Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión $2, 7, 12, 17, \dots$

Ver solución
S₂₅ = 1550.
$a_1 = 2$ , $d = 5$ . $a_{25} = 2 + 24 \cdot 5 = 122$ . $S_{25} = \dfrac{(2 + 122)\cdot 25}{2} = 124 \cdot \dfrac{25}{2} = 1550$ .
4. Media
a) Calcula la suma de los 50 primeros números impares, $1 + 3 + 5 + \dots$ b) Compara el resultado con $50^2$ . ¿Qué observas?

Ver solución
a) 2500. b) Coincide: la suma de los n primeros impares es n².
a) $a_1 = 1$ , $d = 2$ : $a_{50} = 1 + 49 \cdot 2 = 99$ . $S_{50} = \dfrac{(1 + 99)\cdot 50}{2} = 2500$ . b) $50^2 = 2500$ : la suma de los $n$ primeros impares es $n^2$ . En general: $S_n = \dfrac{(1 + 2n - 1)\cdot n}{2} = n^2$ .
5. Media
Con una aplicación para aprender idiomas, Marta hace 5 ejercicios el primer día y cada día hace 3 ejercicios más que el anterior. ¿Cuántos ejercicios hace el día 30? ¿Cuántos ha hecho en total en esos 30 días?

Ver solución
El día 30, 92 ejercicios; en total, 1455.
$a_1 = 5$ , $d = 3$ : $a_{30} = 5 + 29 \cdot 3 = 92$ ejercicios. $S_{30} = \dfrac{(5 + 92)\cdot 30}{2} = 97 \cdot 15 = 1455$ ejercicios.

Para practicar más

1. Media
En una progresión aritmética, $a_5 = 9$ y $a_{12} = -12$ . Calcula $d$ , $a_1$ , el término general y $a_{30}$ .

Ver solución
d = −3; a₁ = 21; aₙ = 24 − 3n; a₃₀ = −66.
$d = \dfrac{-12 - 9}{12 - 5} = \dfrac{-21}{7} = -3$ . $a_1 = 9 - 4 \cdot (-3) = 21$ . $a_n = 21 + (n-1)\cdot(-3) = 24 - 3n$ . $a_{30} = 24 - 90 = -66$ .
2. Fácil
Calcula la suma de los 40 primeros términos de la progresión de término general $a_n = 2n + 3$ .

Ver solución
S₄₀ = 1760.
$a_1 = 5$ , $a_{40} = 83$ . $S_{40} = \dfrac{(5 + 83)\cdot 40}{2} = 88 \cdot 20 = 1760$ .
3. Media
Calcula la suma de todos los números naturales desde 51 hasta 150, ambos incluidos.

Ver solución
10 050.
Es una progresión aritmética con $d = 1$ , $a_1 = 51$ y último término 150. Número de términos: $150 - 51 + 1 = 100$ . $S = \dfrac{(51 + 150)\cdot 100}{2} = 201 \cdot 50 = 10\,050$ .
4. Media
El reloj de la torre de un pueblo da tantas campanadas como la hora que marca: 1 a la una, 2 a las dos… y 12 a las doce, tanto de día como de noche. ¿Cuántas campanadas da en un día completo?

Ver solución
156 campanadas.
En 12 horas: $1 + 2 + \dots + 12 = \dfrac{(1 + 12)\cdot 12}{2} = 78$ . En un día hay dos vueltas de 12 horas: $2 \cdot 78 = 156$ campanadas.