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Matemáticas 3.º ESO · Método de sustitución

Recuerda: el método de sustitución

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por sustitución sistemas en los que una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1.

Recuerda

El método de sustitución

Resolver un sistema por sustitución consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra. Así se consigue una ecuación con una sola incógnita, que ya sabemos resolver.

Pasos

Despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Elige la que tenga coeficiente 1 o $-1$ (o la que ya esté despejada).
Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación, entre paréntesis.
Resuelve la ecuación de primer grado que queda.
Calcula la otra incógnita sustituyendo el valor en la expresión despejada.
Comprueba la solución en las dos ecuaciones del sistema.

Un ejemplo corto

$\begin{cases} y = x + 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$

La $y$ ya está despejada: $y = x + 1$ .
Sustituimos en la segunda: $3x + 2(x + 1) = 12$ .
Resolvemos: $3x + 2x + 2 = 12 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$ .
Calculamos $y$ : $y = 2 + 1 = 3$ .
Comprobamos: $3 = 2 + 1$ ✔; $\;3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ ✔

Solución: $x = 2$ , $y = 3$ . Da siempre las dos incógnitas.

¿Cuándo conviene?

La sustitución es cómoda cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1 o $-1$ , porque al despejarla no aparecen fracciones. En los problemas pasa a menudo: «el bocadillo cuesta 2 € más que el zumo» se escribe directamente $x = y + 2$ .

Puntos clave

Sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.
Despeja la incógnita con coeficiente 1 o $-1$ (o la que ya está despejada).
La expresión despejada se sustituye en la otra ecuación, entre paréntesis.
El valor obtenido se lleva a la expresión despejada para hallar la otra incógnita.
La solución se comprueba en las dos ecuaciones y se dan las dos incógnitas.

Errores frecuentes

ErrorSustituir la expresión despejada en la misma ecuación de la que se ha despejado y obtener $0 = 0$ .
Cómo corregirloSustituye siempre en la otra ecuación.
ErrorOlvidar el paréntesis: $2x + 3 \cdot 4 - x$ en lugar de $2x + 3(4 - x)$ .
Cómo corregirloEscribe primero el paréntesis con toda la expresión y después aplica la propiedad distributiva a cada término.
ErrorEquivocarse de signo al despejar: de $x - 2y = 1$ pasar a $x = 1 - 2y$ .
Cómo corregirloEl término $-2y$ pasa al otro miembro sumando: $x = 1 + 2y$ .
ErrorDar solo el valor de una incógnita.
Cómo corregirloLa solución de un sistema es un par: calcula siempre la otra incógnita.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una incógnita ya despejada numérico (los cinco pasos)
Resuelve por sustitución el sistema $\begin{cases} x = 3y - 1 \\ 2x + y = 12 \end{cases}$

Resolución
1. $x$ ya está despejada: $x = 3y - 1$ .
2. Sustituimos en la segunda: $2(3y - 1) + y = 12$ .
3. Resolvemos: $6y - 2 + y = 12 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$ .
4. $x = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ .
5. Comprobación: $5 = 3 \cdot 2 - 1$ ✔; $2 \cdot 5 + 2 = 12$ ✔
Solución: $x = 5$ , $y = 2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} y = 4 - x \\ 3x + 2y = 11 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 1
$3x + 2(4 - x) = 11 \Rightarrow 3x + 8 - 2x = 11 \Rightarrow x = 3$ . Entonces $y = 4 - 3 = 1$ .

Comprobación: $1 = 4 - 3$ ✔; $9 + 2 = 11$ ✔
2. Fácil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 4x - 3y = 14 \end{cases}$

Ver solución
x = 5, y = 2
Despejamos $x$ en la primera: $x = 1 + 2y$ .

$4(1 + 2y) - 3y = 14 \Rightarrow 4 + 8y - 3y = 14 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$ . Entonces $x = 1 + 4 = 5$ .

Comprobación: $5 - 4 = 1$ ✔; $20 - 6 = 14$ ✔
3. Media
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 2x + y = -4 \\ 5x + 3y = -9 \end{cases}$

Ver solución
x = −3, y = 2
Despejamos $y$ en la primera: $y = -4 - 2x$ .

$5x + 3(-4 - 2x) = -9 \Rightarrow 5x - 12 - 6x = -9 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3$ . Entonces $y = -4 - 2 \cdot (-3) = 2$ .

Comprobación: $-6 + 2 = -4$ ✔; $-15 + 6 = -9$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} y = x + 5 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$

Ver solución
x = −1, y = 4
$2x + (x + 5) = 2 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$ ; $y = -1 + 5 = 4$ .

Comprobación: $4 = -1 + 5$ ✔; $-2 + 4 = 2$ ✔
2. Media
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 3x - y = 10 \\ x + 4y = -1 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = −1
Despejamos $y$ en la primera: $y = 3x - 10$ .

$x + 4(3x - 10) = -1 \Rightarrow x + 12x - 40 = -1 \Rightarrow 13x = 39 \Rightarrow x = 3$ ; $y = 9 - 10 = -1$ .

Comprobación: $9 + 1 = 10$ ✔; $3 - 4 = -1$ ✔
3. Media
En la cafetería del instituto, un bocadillo cuesta 1,50 € más que un zumo, y los dos juntos cuestan 4,10 €. Plantea un sistema y resuélvelo por sustitución.

Ver solución
Bocadillo, 2,80 €; zumo, 1,30 €.
$x$ = precio del bocadillo (€), $y$ = precio del zumo (€): $\begin{cases} x = y + 1{,}5 \\ x + y = 4{,}1 \end{cases}$

$(y + 1{,}5) + y = 4{,}1 \Rightarrow 2y = 2{,}6 \Rightarrow y = 1{,}3$ ; $x = 1{,}3 + 1{,}5 = 2{,}8$ .

Bocadillo: 2,80 €; zumo: 1,30 €. Comprobación: $2{,}80 - 1{,}30 = 1{,}50$ ; $2{,}80 + 1{,}30 = 4{,}10$ ✔