Alumnos | AulaDual

Recuerda

¿Cuántas soluciones puede tener un sistema?

Cada ecuación de un sistema 2×2 es una recta, y las soluciones son los puntos que están en las dos rectas. Dos rectas del plano pueden estar en tres posiciones:

Secantes: se cortan en un punto. Por ejemplo, $x + y = 4$ y $x - y = 2$ se cortan en $(3, 1)$ .
Paralelas: no se cortan nunca. Por ejemplo, $x + y = 4$ y $x + y = 1$ (dos números no pueden sumar 4 y 1 a la vez).
Coincidentes: son la misma recta. Por ejemplo, $x + y = 4$ y $2x + 2y = 8$ (la segunda es la primera multiplicada por 2).

Por eso un sistema 2×2 puede tener una solución, ninguna o infinitas:

Rectas	N.º de soluciones	Tipo de sistema
Secantes (se cortan)	Una	Compatible determinado (SCD)
Coincidentes	Infinitas	Compatible indeterminado (SCI)
Paralelas	Ninguna	Incompatible (SI)

Cómo se nota al resolver

Si resolvemos un sistema por sustitución, igualación o reducción, la incógnita desaparece en los dos casos especiales:

Si queda una igualdad siempre cierta, como $0 = 0$ o $6 = 6$ , el sistema es compatible indeterminado: todas las soluciones de una ecuación lo son de la otra.
Si queda una igualdad imposible, como $0 = 3$ o $10 = 7$ , el sistema es incompatible: no tiene solución.

Clasificar sin resolver: comparar coeficientes

En el sistema $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ comparamos los cocientes de los coeficientes:

$\dfrac{a}{a'} \neq \dfrac{b}{b'}$ → SCD (rectas secantes).
$\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}$ → SCI: una ecuación es la otra multiplicada por un número (la misma recta).
$\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \neq \dfrac{c}{c'}$ → SI: los primeros miembros son proporcionales pero los segundos no (rectas paralelas).

Si algún coeficiente es 0, no dividas: mira directamente si una ecuación es la otra multiplicada por un número.

En los problemas

Un problema cuyo sistema es incompatible tiene datos contradictorios: lo que se cuenta no puede ser cierto. Si es compatible indeterminado, los datos repiten la misma información y no basta para saber la respuesta.

Puntos clave

Rectas secantes: una solución, sistema compatible determinado (SCD).
Rectas coincidentes: infinitas soluciones, sistema compatible indeterminado (SCI).
Rectas paralelas: ninguna solución, sistema incompatible (SI).
Al resolver: si queda $0 = 0$ (u otra igualdad cierta), SCI; si queda una igualdad imposible como $0 = 3$ , SI.
Si $\dfrac{a}{a'} \neq \dfrac{b}{b'}$ , el sistema es SCD; si los tres cocientes son iguales, SCI; si solo son iguales los dos primeros, SI.

Errores frecuentes

ErrorDecir que un sistema incompatible tiene como solución $x = 0$ , $y = 0$ .
Cómo corregirloIncompatible significa que no hay ningún par que cumpla las dos ecuaciones. Compruébalo: $(0, 0)$ no suele cumplir ninguna.
ErrorPensar que en un SCI cualquier par es solución.
Cómo corregirloSon solución los infinitos puntos de la recta, no todos los pares: $(1, 1)$ no es solución de $x + y = 4$ .
ErrorComparar solo los coeficientes de $x$ y de $y$ y decir «SCI» sin mirar los términos independientes.
Cómo corregirloSi los coeficientes de $x$ e $y$ son proporcionales, mira también los términos independientes: si siguen la misma proporción, SCI; si no, SI.
ErrorAl llegar a $0 = 0$ , escribir «la solución es 0».
Cómo corregirlo $0 = 0$ no da ningún valor: indica que hay infinitas soluciones. Escribe algunas usando una de las ecuaciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos rectas que nunca se cortan gráfico
Observa la gráfica de las rectas del sistema $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 4x - 2y = -6 \end{cases}$ ¿Cuántas soluciones tiene? Compruébalo comparando los coeficientes.

Resolución
Despejando, $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$ : las dos rectas tienen la misma inclinación y cortan al eje $y$ en puntos distintos ( $-1$ y $3$ ). Son paralelas: no tienen ningún punto común.

Coeficientes: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$ , pero $\dfrac{1}{-6} \neq \dfrac{1}{2}$ .

El sistema no tiene solución: es incompatible (SI).

Si la segunda ecuación fuera $4x - 2y = 2$ , sería la primera multiplicada por 2: las rectas coincidirían y el sistema sería compatible indeterminado.
Ejemplo 2. Clasificar sin dibujar numérico (comparar coeficientes)
Clasifica estos sistemas sin resolverlos: a) $\begin{cases} 3x - y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x - 3y = 2 \\ -2x + 6y = -4 \end{cases}$ c) $\begin{cases} 6x + 4y = 5 \\ 9x + 6y = 2 \end{cases}$

Resolución
a) $\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{-1}{2}$ → SCD (una solución; es $x = 2$ , $y = 2$ ).

b) $\dfrac{1}{-2} = \dfrac{-3}{6} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ → SCI: la segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$ .

c) $\dfrac{6}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , pero $\dfrac{5}{2} \neq \dfrac{2}{3}$ → SI.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Clasifica estos sistemas comparando los coeficientes: a) $\begin{cases} x + y = 7 \\ 3x + 3y = 21 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 5x - y = 2 \\ 10x - 2y = 3 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x + 4y = 9 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

Ver solución
a) SCI. b) SI. c) SCD.
a) $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{21}$ → SCI.

b) $\dfrac{5}{10} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$ , pero $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{2}$ → SI.

c) $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{4}{-1}$ → SCD (su solución es $x = 1$ , $y = 2$ ).
2. Media
Representa en los mismos ejes las rectas $x + 2y = 4$ , $2x + 4y = 8$ y $x + 2y = -2$ . Clasifica: a) el sistema formado por las dos primeras ecuaciones; b) el formado por la primera y la tercera.

Ver solución
a) SCI (misma recta). b) SI (rectas paralelas).
$x + 2y = 4$ pasa por $(0, 2)$ y $(4, 0)$ . $2x + 4y = 8$ pasa por los mismos puntos: es la misma recta (es la primera multiplicada por 2). $x + 2y = -2$ pasa por $(0, -1)$ y $(-2, 0)$ : es paralela a la primera.

a) Rectas coincidentes → SCI (infinitas soluciones).

b) Rectas paralelas → SI (sin solución): $x + 2y$ no puede valer 4 y $-2$ a la vez.
3. Difícil
Completa la segunda ecuación del sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = \square \end{cases}$ para que el sistema sea: a) compatible indeterminado; b) incompatible. c) ¿Puedes conseguir que sea compatible determinado cambiando solo el término independiente?

Ver solución
a) 12. b) Cualquier número distinto de 12. c) No.
Los cocientes de los coeficientes son $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

a) Para SCI, el término independiente debe cumplir $\dfrac{6}{c'} = \dfrac{1}{2}$ , es decir, $c' = 12$ (la segunda es la primera por 2).

b) Para SI, cualquier $c' \neq 12$ , por ejemplo $4x + 6y = 5$ .

c) No: como $\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'}$ , las rectas son siempre paralelas o coincidentes. Para que sea SCD hay que cambiar algún coeficiente de $x$ o de $y$ .

Para practicar más

1. Fácil
Escribe cómo son las rectas y clasifica cada sistema: a) $\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + y = 0 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 4x + 2y = 6 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x - 5y = 1 \\ -x + 5y = 4 \end{cases}$

Ver solución
a) Secantes, SCD. b) Coincidentes, SCI. c) Paralelas, SI.
a) $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{-1}{1}$ → secantes, SCD (solución $x = 1$ , $y = -2$ ).

b) $\dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{6}{3} = 2$ → coincidentes, SCI.

c) $\dfrac{1}{-1} = \dfrac{-5}{5} = -1$ , pero $\dfrac{1}{4} \neq -1$ → paralelas, SI.
2. Media
Carmen cuenta: «En la cafetería del polideportivo, un bocadillo y un zumo cuestan 4 €, y dos bocadillos y dos zumos cuestan 9 €». Plantea un sistema y clasifícalo. ¿Puede ser cierto lo que dice Carmen?

Ver solución
x + y = 4; 2x + 2y = 9. Es incompatible: no puede ser cierto.
$x$ = precio del bocadillo (€), $y$ = precio del zumo (€): $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 9 \end{cases}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{4}{9}$ → incompatible.

Si un bocadillo y un zumo cuestan 4 €, dos bocadillos y dos zumos deben costar 8 €, no 9 €. Carmen se ha equivocado en algún precio (salvo que haya otro cargo).
3. Difícil
Escribe una ecuación que forme con $3x - y = 2$ un sistema: a) incompatible; b) compatible indeterminado; c) compatible determinado cuya solución sea $(1, 1)$ .

Ver solución
Respuesta abierta; por ejemplo: a) 6x − 2y = 1; b) 6x − 2y = 4; c) x + y = 2.
a) Mismos coeficientes multiplicados por un número y distinto término independiente: $6x - 2y = 1$ .

b) Toda la ecuación multiplicada por un número: $6x - 2y = 4$ .

c) Primero, $(1, 1)$ cumple $3x - y = 2$ : $3 - 1 = 2$ ✔. Basta otra ecuación no proporcional que cumpla $(1, 1)$ , por ejemplo $x + y = 2$ . El sistema $\begin{cases} 3x - y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases}$ tiene solución $(1, 1)$ .

Recuerda: tipos de sistemas según su número de soluciones