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Matemáticas 3.º ESO · Método de sustitución

Recuerda: sustitución cuando hay que despejar con coeficientes o quitar paréntesis

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por sustitución sistemas en los que hay que despejar una incógnita con coeficiente distinto de 1 o quitar paréntesis antes.

Recuerda

Sustitución cuando ninguna incógnita tiene coeficiente 1

El método de sustitución sirve para cualquier sistema, aunque ninguna incógnita tenga coeficiente 1 o $-1$ . Lo único que cambia es que, al despejar, aparece una fracción.

Pasos

Prepara el sistema: quita paréntesis, agrupa y pasa las incógnitas al primer miembro, hasta tener la forma $ax + by = c$ en las dos ecuaciones.
Despeja la incógnita con el coeficiente más pequeño. Por ejemplo: $\;2x + 3y = 8 \Rightarrow x = \dfrac{8 - 3y}{2}$ .
Sustituye en la otra ecuación, entre paréntesis.
Quita denominadores multiplicando todos los términos de la ecuación por el denominador.
Resuelve, calcula la otra incógnita y comprueba en el sistema original.

Un ejemplo corto

$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$

Despejamos $x$ en la primera: $x = \dfrac{8 - 3y}{2}$ .
Sustituimos en la segunda: $5 \cdot \dfrac{8 - 3y}{2} - 2y = 1 \;\Rightarrow\; \dfrac{40 - 15y}{2} - 2y = 1$ .
Multiplicamos todo por 2: $40 - 15y - 4y = 2 \Rightarrow -19y = -38 \Rightarrow y = 2$ .
$x = \dfrac{8 - 3 \cdot 2}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ . Comprobación: $2 + 6 = 8$ ✔; $\;5 - 4 = 1$ ✔

Preparar el sistema

Si hay paréntesis, primero se quitan (cuidado con el signo $-$ delante de un paréntesis) y se ordena cada ecuación:

$3(x - 2) + y = 4 \;\Rightarrow\; 3x - 6 + y = 4 \;\Rightarrow\; 3x + y = 10$

Muchas veces, al preparar el sistema aparece una incógnita con coeficiente 1: despeja esa.

Puntos clave

Antes de despejar, quita paréntesis y ordena: $ax + by = c$ .
Despeja la incógnita con el coeficiente más pequeño (mejor si es 1 o $-1$ ).
Al quitar el denominador, multiplica todos los términos de la ecuación.
Comprueba en el sistema original, no en el preparado.

Errores frecuentes

ErrorAl quitar el denominador, multiplicar solo la fracción: de $\dfrac{4(7 - 2y)}{3} - 3y = -2$ pasar a $4(7 - 2y) - 3y = -2$ .
Cómo corregirloMultiplica por 3 cada término: $4(7 - 2y) - 9y = -6$ .
ErrorEquivocarse de signo al quitar un paréntesis precedido de un menos: $-2(y + 1) = -2y + 2$ .
Cómo corregirloEl $-2$ multiplica a los dos términos: $-2(y + 1) = -2y - 2$ .
ErrorAl despejar, dividir solo un término: $2x = 8 - 3y \Rightarrow x = 4 - 3y$ .
Cómo corregirloSe divide todo el segundo miembro: $x = \dfrac{8 - 3y}{2}$ .
ErrorComprobar la solución en el sistema ya preparado, donde un error al quitar paréntesis no se detecta.
Cómo corregirloComprueba siempre en las ecuaciones del enunciado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Despejar con coeficiente numérico
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases}$

Resolución
Despejamos $x$ en la primera: $x = \dfrac{7 - 2y}{3}$ .

Sustituimos en la segunda: $4 \cdot \dfrac{7 - 2y}{3} - 3y = -2$ .

Multiplicamos todo por 3: $4(7 - 2y) - 9y = -6 \Rightarrow 28 - 8y - 9y = -6 \Rightarrow -17y = -34 \Rightarrow y = 2$ .

$x = \dfrac{7 - 4}{3} = 1$ .

Comprobación: $3 + 4 = 7$ ✔; $4 - 6 = -2$ ✔. Solución: $x = 1$ , $y = 2$ .
Ejemplo 2. Primero, quitar paréntesis numérico (preparar el sistema)
Resuelve: $\begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ 3(x - y) + y = 1 \end{cases}$

Resolución
Preparamos:
- $2x + 2 - y = 5 \Rightarrow 2x - y = 3$
- $3x - 3y + y = 1 \Rightarrow 3x - 2y = 1$
Despejamos $y$ en la primera: $y = 2x - 3$ . Sustituimos: $3x - 2(2x - 3) = 1 \Rightarrow 3x - 4x + 6 = 1 \Rightarrow -x = -5 \Rightarrow x = 5$ .

$y = 2 \cdot 5 - 3 = 7$ .

Comprobación en el original: $2 \cdot 6 - 7 = 5$ ✔; $3 \cdot (-2) + 7 = 1$ ✔. Solución: $x = 5$ , $y = 7$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x + 4y = 9 \end{cases}$

Ver solución
x = −1, y = 3
Despejamos $y$ en la primera: $y = \dfrac{1 - 5x}{2}$ . Sustituimos: $3x + 4 \cdot \dfrac{1 - 5x}{2} = 9 \Rightarrow 3x + 2(1 - 5x) = 9$ .

$3x + 2 - 10x = 9 \Rightarrow -7x = 7 \Rightarrow x = -1$ ; $y = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ .

Comprobación: $-5 + 6 = 1$ ✔; $-3 + 12 = 9$ ✔
2. Media
Resuelve: $\begin{cases} 3(x - 2) + y = 4 \\ x - 2(y + 1) = -8 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = 4
Preparamos: $3x - 6 + y = 4 \Rightarrow 3x + y = 10$ ; $\;x - 2y - 2 = -8 \Rightarrow x - 2y = -6$ .

$y = 10 - 3x$ . Sustituimos: $x - 2(10 - 3x) = -6 \Rightarrow x - 20 + 6x = -6 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$ ; $y = 10 - 6 = 4$ .

Comprobación: $3 \cdot 0 + 4 = 4$ ✔; $2 - 2 \cdot 5 = -8$ ✔

Para practicar más

1. Media
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 3x + 4y = -2 \end{cases}$

Ver solución
x = −2, y = 1
$x = \dfrac{1 - 5y}{2}$ . Sustituimos: $3 \cdot \dfrac{1 - 5y}{2} + 4y = -2$ . Multiplicamos por 2: $3(1 - 5y) + 8y = -4 \Rightarrow 3 - 15y + 8y = -4 \Rightarrow -7y = -7 \Rightarrow y = 1$ .

$x = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$ . Comprobación: $-4 + 5 = 1$ ✔; $-6 + 4 = -2$ ✔
2. Media
Resuelve: $\begin{cases} 5(x - 1) = 2y \\ 2(x + y) - 3x = 7 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 5
Preparamos: $5x - 5 = 2y \Rightarrow 5x - 2y = 5$ ; $\;2x + 2y - 3x = 7 \Rightarrow -x + 2y = 7$ .

De la segunda, $x = 2y - 7$ . Sustituimos: $5(2y - 7) - 2y = 5 \Rightarrow 10y - 35 - 2y = 5 \Rightarrow 8y = 40 \Rightarrow y = 5$ ; $x = 10 - 7 = 3$ .

Comprobación: $5 \cdot 2 = 10 = 2 \cdot 5$ ✔; $2 \cdot 8 - 9 = 7$ ✔
3. Difícil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} 4x - 3y = 5 \\ 6x + 5y = -2 \end{cases}$ (la solución no es entera).

Ver solución
x = 1/2, y = −1
$x = \dfrac{5 + 3y}{4}$ . Sustituimos: $6 \cdot \dfrac{5 + 3y}{4} + 5y = -2$ . Multiplicamos por 4: $6(5 + 3y) + 20y = -8 \Rightarrow 30 + 18y + 20y = -8 \Rightarrow 38y = -38 \Rightarrow y = -1$ .

$x = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$ . Comprobación: $2 + 3 = 5$ ✔; $3 - 5 = -2$ ✔