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Explicación

Preparar el sistema

Cuando hay paréntesis y denominadores, antes de aplicar el método se prepara cada ecuación hasta la forma $ax + by = c$ :

Quita los paréntesis.
Quita los denominadores: multiplica los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores. Si en el numerador hay varios términos, escríbelo entre paréntesis: $\dfrac{y - 2}{2} \cdot 6 = 3(y - 2)$ .
Agrupa: incógnitas en el primer miembro y números en el segundo.

Después se resuelve por sustitución y se comprueba en el sistema original.

Casos especiales: cuando la incógnita desaparece

A veces, al sustituir, la incógnita se va y queda una igualdad entre números:

Queda una igualdad falsa, como $0 = 7$ : ningún par cumple las dos ecuaciones. El sistema no tiene solución: es incompatible (rectas paralelas).
Queda una igualdad cierta, como $0 = 0$ : cualquier par que cumpla una ecuación cumple la otra. El sistema tiene infinitas soluciones: es compatible indeterminado (rectas coincidentes). Las soluciones se escriben con la expresión despejada, por ejemplo: «los pares $(x,\ 2x - 3)$ para cualquier valor de $x$ »; para $x = 0$ se obtiene $(0, -3)$ , para $x = 1$ , $(1, -1)$ …

Puntos clave

Prepara cada ecuación: paréntesis, denominadores (m.c.m.) y forma $ax + by = c$ .
Al multiplicar por el m.c.m., el numerador con varios términos va entre paréntesis.
Si al sustituir queda una igualdad falsa ( $0 = 7$ ), el sistema es incompatible.
Si queda una igualdad cierta ( $0 = 0$ ), el sistema es compatible indeterminado: infinitas soluciones.
Comprueba la solución en el sistema original.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar por el m.c.m. solo los términos con denominador: de $\dfrac{x}{2} + y = 5$ pasar a $x + y = 10$ .
Cómo corregirloSe multiplican todos los términos de los dos miembros: $x + 2y = 10$ .
ErrorQuitar el denominador sin paréntesis: $-\dfrac{y + 4}{4} \cdot 4 = -y + 4$ .
Cómo corregirloPon el numerador entre paréntesis: $-(y + 4) = -y - 4$ .
ErrorAl llegar a $0 = 0$ , decir que la solución es $x = 0$ , $y = 0$ .
Cómo corregirlo $0 = 0$ significa infinitas soluciones (SCI); $(0, 0)$ solo es una de ellas si cumple las ecuaciones.
ErrorAl llegar a $0 = 7$ , pensar que hay un error y repetir el ejercicio sin parar.
Cómo corregirloRevisa las cuentas una vez; si sigue saliendo una igualdad falsa, el sistema es incompatible.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paréntesis y denominadores numérico (preparar y resolver)
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{3} + \dfrac{y - 2}{2} = 3 \\ 2x - \dfrac{y + 4}{4} = 8 \end{cases}$

Resolución
Preparamos la 1.ª (m.c.m. = 6): $2(x + 1) + 3(y - 2) = 18 \Rightarrow 2x + 2 + 3y - 6 = 18 \Rightarrow 2x + 3y = 22$ .

Preparamos la 2.ª (por 4): $8x - (y + 4) = 32 \Rightarrow 8x - y - 4 = 32 \Rightarrow 8x - y = 36$ .

Sustitución: de la 2.ª, $y = 8x - 36$ . En la 1.ª: $2x + 3(8x - 36) = 22 \Rightarrow 2x + 24x - 108 = 22 \Rightarrow 26x = 130 \Rightarrow x = 5$ .

$y = 8 \cdot 5 - 36 = 4$ .

Comprobación en el original: $\dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{2} = 2 + 1 = 3$ ✔; $\;10 - \dfrac{8}{4} = 10 - 2 = 8$ ✔

Solución: $x = 5$ , $y = 4$ .
Ejemplo 2. Cuando la incógnita desaparece numérico (casos especiales)
Resuelve por sustitución y clasifica: a) $\begin{cases} y = 4 - 3x \\ 6x + 2y = 8 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x = 3y + 1 \\ 2x - 6y = 5 \end{cases}$

Resolución
a) Sustituimos: $6x + 2(4 - 3x) = 8 \Rightarrow 6x + 8 - 6x = 8 \Rightarrow 0 = 0$ .

Igualdad siempre cierta: compatible indeterminado. Las soluciones son los pares $(x,\ 4 - 3x)$ : por ejemplo $(0, 4)$ , $(1, 1)$ , $(2, -2)$ . (La segunda ecuación es la primera reordenada y multiplicada por 2: son la misma recta.)

b) Sustituimos: $2(3y + 1) - 6y = 5 \Rightarrow 6y + 2 - 6y = 5 \Rightarrow 2 = 5$ .

Igualdad falsa: incompatible, no tiene solución (las rectas son paralelas).
Ejemplo 3. La excursión al Museo del Prado situación real (fracciones)
Entre los grupos de 3.º A y 3.º B hay 54 alumnos. A la excursión al Museo del Prado van la mitad de los alumnos de 3.º A y dos tercios de los de 3.º B, en total 32 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

Resolución
$x$ = alumnos de 3.º A, $y$ = alumnos de 3.º B. $\begin{cases} x + y = 54 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{2y}{3} = 32 \end{cases}$ Preparamos la 2.ª (por 6): $3x + 4y = 192$ .

De la 1.ª, $y = 54 - x$ . Sustituimos: $3x + 4(54 - x) = 192 \Rightarrow 3x + 216 - 4x = 192 \Rightarrow -x = -24 \Rightarrow x = 24$ ; $y = 30$ .

3.º A tiene 24 alumnos y 3.º B, 30. Comprobación: $24 + 30 = 54$ ; $12 + 20 = 32$ ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 5 \\ x - \dfrac{y}{3} = 3 \end{cases}$

Ver solución
x = 4, y = 3
Preparamos: por 2, $x + 2y = 10$ ; por 3, $3x - y = 9$ .

$y = 3x - 9$ . Sustituimos: $x + 2(3x - 9) = 10 \Rightarrow 7x - 18 = 10 \Rightarrow x = 4$ ; $y = 12 - 9 = 3$ .

Comprobación: $2 + 3 = 5$ ✔; $4 - 1 = 3$ ✔
2. Media
Resuelve: $\begin{cases} 3(x + y) - 2(x - 1) = 13 \\ \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 6}{4} \end{cases}$

Ver solución
x = 5, y = 2
1.ª: $3x + 3y - 2x + 2 = 13 \Rightarrow x + 3y = 11$ .

2.ª (por 4): $2(x - 1) = y + 6 \Rightarrow 2x - 2 = y + 6 \Rightarrow 2x - y = 8$ .

$y = 2x - 8$ . Sustituimos: $x + 3(2x - 8) = 11 \Rightarrow 7x - 24 = 11 \Rightarrow 7x = 35 \Rightarrow x = 5$ ; $y = 2$ .

Comprobación: $3 \cdot 7 - 2 \cdot 4 = 13$ ✔; $\dfrac{4}{2} = 2 = \dfrac{8}{4}$ ✔
3. Media
Resuelve por sustitución y clasifica cada sistema. Si tiene infinitas soluciones, escribe tres de ellas. a) $\begin{cases} x - (y - 1) = 3 \\ 3x - 3y = 6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} y - 2x = 1 \\ 2(y - 1) = 4x + 3 \end{cases}$

Ver solución
a) SCI: pares (y + 2, y), por ejemplo (2, 0), (3, 1), (4, 2). b) Incompatible.
a) 1.ª: $x - y + 1 = 3 \Rightarrow x = y + 2$ . En la 2.ª: $3(y + 2) - 3y = 6 \Rightarrow 6 = 6$ : compatible indeterminado. Soluciones: $(y + 2,\ y)$ , por ejemplo $(2, 0)$ , $(3, 1)$ , $(4, 2)$ .

b) 1.ª: $y = 2x + 1$ . En la 2.ª: $2(2x + 1 - 1) = 4x + 3 \Rightarrow 4x = 4x + 3 \Rightarrow 0 = 3$ : incompatible, sin solución.
4. Difícil
Dos depósitos de agua de una urbanización de Las Rozas contienen en total 900 L. Si se gasta la cuarta parte del agua del primero y la tercera parte de la del segundo, quedan 640 L entre los dos. ¿Cuántos litros había en cada depósito?

Ver solución
480 L en el primero y 420 L en el segundo.
$x$ = litros del primero, $y$ = litros del segundo. Si se gasta $\dfrac{1}{4}$ , quedan $\dfrac{3}{4}$ ; si se gasta $\dfrac{1}{3}$ , quedan $\dfrac{2}{3}$ : $\begin{cases} x + y = 900 \\ \dfrac{3x}{4} + \dfrac{2y}{3} = 640 \end{cases}$ Por 12: $9x + 8y = 7680$ . Con $y = 900 - x$ : $9x + 7200 - 8x = 7680 \Rightarrow x = 480$ ; $y = 420$ .

Comprobación: $480 + 420 = 900$ ; $360 + 280 = 640$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por sustitución: $\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Ver solución
x = 6, y = 4
1.ª por 6: $2x + 3y = 24$ . De la 2.ª, $x = y + 2$ : $2(y + 2) + 3y = 24 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4$ ; $x = 6$ .

Comprobación: $2 + 2 = 4$ ✔; $6 - 4 = 2$ ✔
2. Media
Resuelve: $\begin{cases} 2(x - 3) - (y - 1) = 1 \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{2} = 2 \end{cases}$

Ver solución
x = 4, y = 2
1.ª: $2x - 6 - y + 1 = 1 \Rightarrow 2x - y = 6$ . 2.ª por 4: $x + 2y = 8$ .

$y = 2x - 6$ : $x + 2(2x - 6) = 8 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$ ; $y = 2$ .

Comprobación: $2 \cdot 1 - 1 = 1$ ✔; $1 + 1 = 2$ ✔
3. Media
Resuelve por sustitución y clasifica: a) $\begin{cases} x = 2y - 1 \\ 3x - 6y = -3 \end{cases}$ b) $\begin{cases} \dfrac{x + y}{2} = 3 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Ver solución
a) SCI: pares (2y − 1, y). b) Incompatible.
a) $3(2y - 1) - 6y = -3 \Rightarrow -3 = -3$ : compatible indeterminado; soluciones $(2y - 1,\ y)$ , por ejemplo $(-1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(3, 2)$ .

b) 1.ª por 2: $x + y = 6$ ; $x = 6 - y$ . En la 2.ª: $6 - y + y = 4 \Rightarrow 6 = 4$ : incompatible. (La suma $x + y$ no puede valer 6 y 4 a la vez.)
4. Difícil
La suma de dos números es 48. Si al primero le sumamos su tercera parte y al segundo le restamos su quinta parte, se obtiene el mismo resultado. ¿Qué números son?

Ver solución
18 y 30
$\begin{cases} x + y = 48 \\ x + \dfrac{x}{3} = y - \dfrac{y}{5} \end{cases}$

2.ª por 15: $15x + 5x = 15y - 3y \Rightarrow 20x = 12y \Rightarrow 5x = 3y$ . Con $y = 48 - x$ : $5x = 144 - 3x \Rightarrow 8x = 144 \Rightarrow x = 18$ ; $y = 30$ .

Comprobación: $18 + 30 = 48$ ; $18 + 6 = 24$ y $30 - 6 = 24$ ✔

Sustitución con denominadores y casos especiales