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Matemáticas 3.º ESO · Método de igualación

Recuerda: el método de igualación

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por igualación sistemas en los que despejar una incógnita en las dos ecuaciones es inmediato.

Recuerda

El método de igualación

Resolver un sistema por igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las dos expresiones: si $y$ vale lo mismo en las dos, las expresiones tienen que ser iguales.

Pasos

Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones (la que sea más fácil de despejar en ambas).
Iguala las dos expresiones. Queda una ecuación con una sola incógnita.
Resuelve esa ecuación.
Sustituye el valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas para hallar la otra incógnita.
Comprueba en las dos ecuaciones.

Un ejemplo corto

$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 7 - x \end{cases}$

Las dos ya tienen la $y$ despejada. Igualamos: $2x + 1 = 7 - x$ .
Resolvemos: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .
$y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ (o $y = 7 - 2 = 5$ : sale lo mismo).
Comprobación: $5 = 4 + 1$ ✔; $\;5 = 7 - 2$ ✔. Solución: $x = 2$ , $y = 5$ .

¿Cuándo conviene?

La igualación es cómoda cuando las dos ecuaciones ya vienen despejadas (o se despejan fácilmente) y en los problemas que preguntan cuándo dos cantidades valen lo mismo: dos tarifas, dos personas que ahorran, dos depósitos que se llenan…

Puntos clave

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Se igualan las dos expresiones y se resuelve la ecuación que queda.
La otra incógnita se calcula con cualquiera de las expresiones despejadas.
Es el método natural cuando las dos ecuaciones ya están despejadas o cuando se pregunta cuándo dos cantidades son iguales.

Errores frecuentes

ErrorDespejar $x$ en una ecuación e $y$ en la otra e igualarlas.
Cómo corregirloSolo se pueden igualar dos expresiones de la misma incógnita.
ErrorAl despejar, cambiar mal el signo: de $x - y = 3$ pasar a $x = 3 - y$ .
Cómo corregirloEl $-y$ pasa sumando: $x = 3 + y$ . Comprueba con un par sencillo.
ErrorParar al encontrar una incógnita.
Cómo corregirloSustituye en una expresión despejada y da las dos incógnitas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Despejar y en las dos numérico
Resuelve por igualación: $\begin{cases} y - 3x = 2 \\ y + x = 10 \end{cases}$

Resolución
1. Despejamos $y$ en las dos: $y = 3x + 2$ ; $\;y = 10 - x$ .
2. Igualamos: $3x + 2 = 10 - x$ .
3. Resolvemos: $4x = 8 \Rightarrow x = 2$ .
4. $y = 3 \cdot 2 + 2 = 8$ (o bien $y = 10 - 2 = 8$ ).
5. Comprobación: $8 - 6 = 2$ ✔; $8 + 2 = 10$ ✔
Solución: $x = 2$ , $y = 8$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} y = 3x - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 5
$3x - 4 = x + 2 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ ; $y = 3 + 2 = 5$ .

Comprobación: $9 - 4 = 5$ ✔; $3 + 2 = 5$ ✔
2. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} x + 2y = 9 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Ver solución
x = 5, y = 2
Despejamos $x$ : $x = 9 - 2y$ ; $\;x = 3 + y$ .

$9 - 2y = 3 + y \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y = 2$ ; $x = 3 + 2 = 5$ .

Comprobación: $5 + 4 = 9$ ✔; $5 - 2 = 3$ ✔
3. Media
El gimnasio A cobra 20 € de matrícula y 30 € al mes; el gimnasio B, 50 € de matrícula y 25 € al mes. Si $x$ es el número de meses e $y$ el coste total (€), las ecuaciones son $y = 20 + 30x$ e $y = 50 + 25x$ . ¿Al cabo de cuántos meses se ha pagado lo mismo en los dos? ¿Cuánto?

Ver solución
A los 6 meses; 200 € en cada uno.
$\begin{cases} y = 20 + 30x \\ y = 50 + 25x \end{cases}$ . Igualamos: $20 + 30x = 50 + 25x \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6$ ; $y = 20 + 180 = 200$ .

A los 6 meses se han pagado 200 € en cada gimnasio. Comprobación: $50 + 150 = 200$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} y = 5 - 2x \\ y = x - 4 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = −1
$5 - 2x = x - 4 \Rightarrow -3x = -9 \Rightarrow x = 3$ ; $y = 3 - 4 = -1$ .

Comprobación: $5 - 6 = -1$ ✔; $3 - 4 = -1$ ✔
2. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} x - 3y = 1 \\ x + y = -3 \end{cases}$

Ver solución
x = −2, y = −1
$x = 1 + 3y$ ; $\;x = -3 - y$ . Igualamos: $1 + 3y = -3 - y \Rightarrow 4y = -4 \Rightarrow y = -1$ ; $x = 1 - 3 = -2$ .

Comprobación: $-2 + 3 = 1$ ✔; $-2 - 1 = -3$ ✔
3. Media
Un número es igual al triple de otro menos 2, y también es igual a ese otro número más 10. Plantea un sistema y resuélvelo por igualación.

Ver solución
Los números son 6 y 16.
$x$ = el otro número, $y$ = el primer número: $\begin{cases} y = 3x - 2 \\ y = x + 10 \end{cases}$

$3x - 2 = x + 10 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$ ; $y = 16$ .

Comprobación: $3 \cdot 6 - 2 = 16$ ✔; $6 + 10 = 16$ ✔