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Matemáticas 3.º ESO · Método de reducción

Recuerda: el método de reducción

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por reducción sistemas en los que una incógnita tiene coeficientes opuestos o iguales.

Recuerda

El método de reducción

Resolver un sistema por reducción consiste en sumar o restar las dos ecuaciones para que desaparezca una incógnita. Se basa en que, si sumamos (o restamos) miembro a miembro dos igualdades, obtenemos otra igualdad.

Pasos

Escribe las dos ecuaciones ordenadas ( $ax + by = c$ ), con las $x$ debajo de las $x$ y las $y$ debajo de las $y$ .
Busca una incógnita con coeficientes opuestos (como $+y$ y $-y$ ) o iguales (como $2x$ y $2x$ ).
Si son opuestos, suma las ecuaciones; si son iguales, resta (o cambia de signo una ecuación entera y suma).
Resuelve la ecuación con una incógnita que queda.
Sustituye el valor en una de las ecuaciones para hallar la otra incógnita.
Comprueba en las dos ecuaciones.

Un ejemplo corto (coeficientes opuestos)

$\begin{array}{rcl} 2x + y & = & 7 \\ 3x - y & = & 8 \\ \hline 5x \phantom{{}+y} & = & 15 \end{array}$

Los coeficientes de $y$ son opuestos ( $+1$ y $-1$ ): sumamos y queda $5x = 15$ , así que $x = 3$ . Sustituyendo en la primera: $6 + y = 7 \Rightarrow y = 1$ . Comprobación: $6 + 1 = 7$ ✔; $\;9 - 1 = 8$ ✔

Si los coeficientes son iguales

Al restar, se cambia el signo de todos los términos de la segunda ecuación, también del término independiente:

$(2x + 5y) - (2x + y) = 1 - (-3) \;\Rightarrow\; 4y = 4$

¿Cuándo conviene?

La reducción es cómoda cuando las ecuaciones están ordenadas y una incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos. En los problemas de compras («2 entradas de adulto y 3 infantiles…», «2 de adulto y 1 infantil…») aparece muchas veces.

Puntos clave

Reducción: sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
Coeficientes opuestos: se suman las ecuaciones.
Coeficientes iguales: se restan (o se cambia el signo de una y se suman).
Las ecuaciones deben estar ordenadas y alineadas.
La otra incógnita se halla sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones.

Errores frecuentes

ErrorAl restar, cambiar de signo solo el primer término de la segunda ecuación.
Cómo corregirloCambia el signo de todos los términos de la ecuación que restas, también del término independiente, y después suma.
ErrorSumar ecuaciones que no están ordenadas, como $3x + 2y = 16$ con $2y + 5x = 10$ .
Cómo corregirloOrdena antes las dos ecuaciones: primero $x$ , luego $y$ y, tras el igual, el número.
ErrorSumar cuando los coeficientes son iguales y obtener $4x$ en vez de eliminar $x$ .
Cómo corregirloMira los signos: iguales → restar; opuestos → sumar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Opuestos o iguales numérico
Resuelve por reducción: a) $\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 2y = 0 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$

Resolución
a) Los coeficientes de $y$ son opuestos ( $+2y$ y $-2y$ ): sumamos. $\begin{array}{rcl} 3x + 2y &=& 16 \\ 5x - 2y &=& 0 \\ \hline 8x \phantom{{}+2y} &=& 16 \end{array}$ $x = 2$ . En la 1.ª: $6 + 2y = 16 \Rightarrow y = 5$ . Comprobación: $10 - 10 = 0$ ✔. Solución: $x = 2$ , $y = 5$ .

b) Los coeficientes de $x$ son iguales: restamos (1.ª − 2.ª): $(2x - 2x) + (5y - y) = 1 - (-3) \Rightarrow 4y = 4 \Rightarrow y = 1$ . En la 2.ª: $2x + 1 = -3 \Rightarrow x = -2$ . Comprobación: $-4 + 5 = 1$ ✔. Solución: $x = -2$ , $y = 1$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve por reducción: $\begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Ver solución
x = 7, y = 2
Sumamos: $2x = 14 \Rightarrow x = 7$ ; $7 + y = 9 \Rightarrow y = 2$ .

Comprobación: $7 - 2 = 5$ ✔
2. Fácil
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 2
Sumamos: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$ ; $6 + 3y = 12 \Rightarrow y = 2$ .

Comprobación: $12 - 6 = 6$ ✔; $6 + 6 = 12$ ✔
3. Media
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 3x + 4y = 2 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = −1
Restamos (1.ª − 2.ª): $4y - (-y) = 2 - 7 \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1$ .

$3x + 1 = 7 \Rightarrow x = 2$ . Comprobación: $6 - 4 = 2$ ✔; $6 + 1 = 7$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ -2x + 3y = 1 \end{cases}$

Ver solución
x = 4, y = 3
Sumamos: $4y = 12 \Rightarrow y = 3$ ; $2x + 3 = 11 \Rightarrow x = 4$ .

Comprobación: $-8 + 9 = 1$ ✔
2. Fácil
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 5x + 2y = 4 \\ 3x + 2y = 0 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = −3
Restamos: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$ ; $6 + 2y = 0 \Rightarrow y = -3$ .

Comprobación: $10 - 6 = 4$ ✔; $6 - 6 = 0$ ✔
3. Media
En un partido de baloncesto se marcaron 163 puntos entre los dos equipos, y el equipo local marcó 17 puntos más que el visitante. Plantea un sistema y resuélvelo por reducción.

Ver solución
Local, 90 puntos; visitante, 73.
$x$ = puntos del local, $y$ = puntos del visitante: $\begin{cases} x + y = 163 \\ x - y = 17 \end{cases}$

Sumamos: $2x = 180 \Rightarrow x = 90$ ; $y = 163 - 90 = 73$ .

Comprobación: $90 - 73 = 17$ ✔