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Explicación

Preparar y simplificar antes de despejar

Con paréntesis y denominadores, primero se prepara cada ecuación hasta la forma $ax + by = c$ : se quitan paréntesis, se quitan denominadores con el m.c.m. y se agrupan términos. Si todos los coeficientes de una ecuación tienen un divisor común, simplifica dividiendo: $4x - 6y = 10 \Rightarrow 2x - 3y = 5$ .

Después se aplica la igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, se igualan las expresiones y se quitan denominadores.

Cuándo conviene la igualación

La igualación es el método natural cuando las dos ecuaciones dan la misma magnitud en función de otra, por ejemplo el coste de dos tarifas o la altura de dos velas a lo largo del tiempo. La pregunta «¿cuándo valen lo mismo?» se responde igualando:

$\begin{cases} y = 150 + 12x \\ y = 60 + 15x \end{cases} \;\Rightarrow\; 150 + 12x = 60 + 15x$

En la gráfica, la solución es el punto donde se cortan las dos rectas.

Casos especiales

Como en sustitución, si al igualar desaparece la incógnita:

queda una igualdad falsa (por ejemplo $5 = 2$ ): sistema incompatible;
queda una igualdad cierta ( $0 = 0$ ): sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Puntos clave

Prepara cada ecuación (paréntesis, denominadores, agrupar) y simplifica si puedes.
Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones e iguala.
La igualación es natural cuando las dos ecuaciones dan la misma magnitud ( $y = \ldots$ ).
«¿Cuándo valen lo mismo?» se resuelve igualando; en la gráfica, es el punto de corte.
Igualdad falsa: incompatible; igualdad cierta: infinitas soluciones.

Errores frecuentes

ErrorNo simplificar y arrastrar números grandes: despejar en $4x - 6y = 10$ sin dividir antes entre 2.
Cómo corregirloBusca un divisor común de todos los coeficientes y simplifica la ecuación.
ErrorAl multiplicar por el m.c.m., olvidar el término sin denominador: $\dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{y - 1}{2} = 1 \Rightarrow x + 1 - 2(y - 1) = 1$ .
Cómo corregirloEl 1 del segundo miembro también se multiplica: $x + 1 - 2(y - 1) = 4$ .
ErrorEn un problema, dar solo el valor de $x$ («a los 30») sin decir qué significa ni la otra incógnita.
Cómo corregirloResponde con una frase: «Para 30 personas los dos cuestan 510 €».
ErrorIgualar despejes de incógnitas distintas.
Cómo corregirloLas dos expresiones deben ser de la misma incógnita.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Preparar, simplificar e igualar numérico
Resuelve por igualación: $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{4} - \dfrac{y - 1}{2} = 1 \\ 3(x - 2y) + 2(y + 1) = 11 \end{cases}$

Resolución
1.ª (por 4): $x + 1 - 2(y - 1) = 4 \Rightarrow x + 1 - 2y + 2 = 4 \Rightarrow x - 2y = 1$ .

2.ª: $3x - 6y + 2y + 2 = 11 \Rightarrow 3x - 4y = 9$ .

Despejamos $x$ en las dos: $x = 1 + 2y$ ; $\;x = \dfrac{9 + 4y}{3}$ .

Igualamos: $1 + 2y = \dfrac{9 + 4y}{3} \Rightarrow 3 + 6y = 9 + 4y \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 1 + 6 = 7$ .

Comprobación en el original: $\dfrac{8}{4} - \dfrac{2}{2} = 2 - 1 = 1$ ✔; $\;3(7 - 6) + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$ ✔

Solución: $x = 7$ , $y = 3$ .
Ejemplo 2. ¿Qué restaurante sale mejor? situación real y gráfico
Para la cena de fin de curso, el restaurante A cobra 150 € por reservar el local más 12 € por persona, y el restaurante B, 60 € más 15 € por persona. a) Escribe el coste $y$ (€) de cada uno para $x$ personas. b) ¿Para cuántas personas cuestan lo mismo? c) Si vais a ir 40 personas, ¿cuál conviene? Usa también la gráfica.

Resolución
a) A: $y = 150 + 12x$ ; $\;$ B: $y = 60 + 15x$ .

b) Igualamos: $150 + 12x = 60 + 15x \Rightarrow 90 = 3x \Rightarrow x = 30$ ; $y = 150 + 12 \cdot 30 = 510$ .

Para 30 personas cuestan lo mismo: 510 €. En la gráfica es el punto de corte $(30, 510)$ .

c) Para 40 personas: A cuesta $150 + 480 = 630$ € y B, $60 + 600 = 660$ €. Conviene A. En la gráfica, a la derecha del corte la recta de A queda por debajo: a partir de 30 personas, A es más barato.
Ejemplo 3. Cuando la incógnita desaparece numérico (casos especiales)
Resuelve por igualación e interpreta el resultado: a) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 2(x + y) = 5 \\ y = 1 - x \end{cases}$

Resolución
a) 1.ª por 6: $3x - 2y = 6$ . Despejando $y$ en las dos ecuaciones se obtiene lo mismo: $y = \dfrac{3x - 6}{2}$ . Al igualar: $\dfrac{3x - 6}{2} = \dfrac{3x - 6}{2} \Rightarrow 0 = 0$ . Compatible indeterminado: infinitas soluciones, los pares $\left(x,\ \dfrac{3x - 6}{2}\right)$ , como $(2, 0)$ o $(4, 3)$ .

b) 1.ª: $2x + 2y = 5 \Rightarrow y = \dfrac{5 - 2x}{2}$ . Igualamos con $y = 1 - x$ : $\dfrac{5 - 2x}{2} = 1 - x \Rightarrow 5 - 2x = 2 - 2x \Rightarrow 5 = 2$ . Incompatible: no tiene solución.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} y = 2(x - 1) \\ y = \dfrac{x + 5}{2} \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 4
$2(x - 1) = \dfrac{x + 5}{2} \Rightarrow 4(x - 1) = x + 5 \Rightarrow 4x - 4 = x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$ ; $y = 2 \cdot 2 = 4$ .

Comprobación: $4 = 2 \cdot 2$ ✔; $\dfrac{8}{2} = 4$ ✔
2. Media
Resuelve por igualación: $\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 3 \\ \dfrac{x - y}{4} = 1 \end{cases}$

Ver solución
x = 6, y = 2
1.ª por 6: $2x + 3y = 18$ . 2.ª por 4: $x - y = 4$ .

Despejamos $x$ : $x = \dfrac{18 - 3y}{2}$ ; $\;x = 4 + y$ . Igualamos: $18 - 3y = 2(4 + y) \Rightarrow 18 - 3y = 8 + 2y \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$ ; $x = 6$ .

Comprobación: $2 + 1 = 3$ ✔; $\dfrac{4}{4} = 1$ ✔
3. Media
Prepara y simplifica antes de resolver por igualación: $\begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 3(x + 1) - 2(y - 2) = 12 \end{cases}$

Ver solución
x = 1, y = −1
1.ª entre 2: $2x - 3y = 5$ . 2.ª: $3x + 3 - 2y + 4 = 12 \Rightarrow 3x - 2y = 5$ .

$x = \dfrac{5 + 3y}{2}$ ; $\;x = \dfrac{5 + 2y}{3}$ . En cruz: $3(5 + 3y) = 2(5 + 2y) \Rightarrow 15 + 9y = 10 + 4y \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1$ ; $x = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$ .

Comprobación: $4 + 6 = 10$ ✔; $3 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) = 6 + 6 = 12$ ✔
4. Difícil
Una vela mide 20 cm y se consume a razón de 2 cm cada hora. Otra vela mide 14 cm y se consume 0,5 cm cada hora. Las dos se encienden a la vez. Escribe la altura $h$ (cm) de cada vela al cabo de $t$ horas y averigua cuándo tienen la misma altura.

Ver solución
h = 20 − 2t y h = 14 − 0,5t; a las 4 h, con 12 cm.
$\begin{cases} h = 20 - 2t \\ h = 14 - 0{,}5t \end{cases}$ . Igualamos: $20 - 2t = 14 - 0{,}5t \Rightarrow 6 = 1{,}5t \Rightarrow t = 4$ ; $h = 20 - 8 = 12$ .

A las 4 horas las dos velas miden 12 cm. Comprobación: $14 - 0{,}5 \cdot 4 = 12$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ y = \dfrac{x + 1}{3} \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = 1
$3x - 5 = \dfrac{x + 1}{3} \Rightarrow 9x - 15 = x + 1 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2$ ; $y = 6 - 5 = 1$ .

Comprobación: $1 = 6 - 5$ ✔; $\dfrac{3}{3} = 1$ ✔
2. Media
Resuelve por igualación: $\begin{cases} \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y + 1}{2} \\ 2(x - y) - x = -2 \end{cases}$

Ver solución
x = 4, y = 3
1.ª: $2(x + 2) = 3(y + 1) \Rightarrow 2x - 3y = -1$ . 2.ª: $2x - 2y - x = -2 \Rightarrow x - 2y = -2$ .

$x = \dfrac{3y - 1}{2}$ ; $\;x = 2y - 2$ . Igualamos: $3y - 1 = 2(2y - 2) \Rightarrow 3y - 1 = 4y - 4 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 4$ .

Comprobación: $\dfrac{6}{3} = 2 = \dfrac{4}{2}$ ✔; $2 \cdot 1 - 4 = -2$ ✔
3. Media
Resuelve por igualación e interpreta el resultado: $\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ y = \dfrac{2x - 1}{3} \end{cases}$

Ver solución
Incompatible: no tiene solución.
De la 1.ª: $y = \dfrac{2x - 4}{3}$ . Igualamos: $\dfrac{2x - 4}{3} = \dfrac{2x - 1}{3} \Rightarrow 2x - 4 = 2x - 1 \Rightarrow -4 = -1$ .

Igualdad falsa: el sistema es incompatible (las rectas son paralelas).
4. Difícil
Un depósito A tiene 500 L de agua y se vacía a razón de 15 L por minuto. A la vez, un depósito B que tiene 200 L se llena a razón de 10 L por minuto. ¿Al cabo de cuánto tiempo tendrán los dos la misma cantidad de agua? ¿Cuánta?

Ver solución
A los 12 min; 320 L cada uno.
$v$ = litros, $t$ = minutos: $\begin{cases} v = 500 - 15t \\ v = 200 + 10t \end{cases}$

$500 - 15t = 200 + 10t \Rightarrow 300 = 25t \Rightarrow t = 12$ ; $v = 200 + 120 = 320$ .

A los 12 minutos, con 320 L cada uno. Comprobación: $500 - 180 = 320$ ✔

Igualación con paréntesis y denominadores