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Matemáticas 3.º ESO · Método de reducción

Recuerda: reducción multiplicando las ecuaciones y doble reducción

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por reducción multiplicando una o las dos ecuaciones, y usar la doble reducción cuando la solución tiene fracciones.

Recuerda

Reducción multiplicando las ecuaciones

Muchas veces ninguna incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos. Entonces multiplicamos una o las dos ecuaciones por números adecuados para conseguirlo (recuerda que así se obtiene un sistema equivalente).

Pasos

Prepara el sistema: ecuaciones ordenadas y alineadas.
Elige la incógnita que quieres eliminar (la que tenga coeficientes más sencillos).
Busca el m.c.m. de sus coeficientes y multiplica cada ecuación por el número que haga falta para llegar a él, con el signo adecuado para que queden opuestos. Escribe al lado de cada ecuación el número por el que la multiplicas.
Suma las ecuaciones, resuelve, y halla la otra incógnita sustituyendo.
Comprueba en el sistema original.

Un ejemplo corto

$\begin{cases} 5x + 3y = 11 \\ 2x - 7y = -12 \end{cases}$

Eliminamos $x$ : el m.c.m. de 5 y 2 es 10. Multiplicamos la 1.ª por 2 y la 2.ª por $-5$ :

$\begin{array}{rcl} 10x + 6y & = & 22 \\ -10x + 35y & = & 60 \\ \hline 41y & = & 82 \end{array}$

$y = 2$ . En la 1.ª: $5x + 6 = 11 \Rightarrow x = 1$ . Comprobación: $5 + 6 = 11$ ✔; $\;2 - 14 = -12$ ✔

Si un coeficiente es múltiplo del otro (por ejemplo, $3y$ y $-6y$ ), basta con multiplicar una ecuación.

Doble reducción

Cuando la solución tiene fracciones, sustituir es pesado. En la doble reducción se aplica reducción dos veces: una para eliminar $y$ (y obtener $x$ ) y otra, empezando de nuevo con el sistema original, para eliminar $x$ (y obtener $y$ ).

Puntos clave

Multiplica una o las dos ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos.
Usa el m.c.m. de los coeficientes de la incógnita que quieres eliminar.
Multiplica todos los términos de la ecuación, también el término independiente.
Escribe al lado de cada ecuación el número por el que la multiplicas.
Doble reducción: elimina $y$ para hallar $x$ , y elimina $x$ para hallar $y$ .

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar solo los términos con incógnita y olvidar el término independiente.
Cómo corregirloMultiplica la ecuación entera, término a término: $2 \cdot (5x + 3y) = 2 \cdot 11$ .
ErrorConseguir coeficientes iguales y luego sumar en vez de restar.
Cómo corregirloSi los coeficientes son iguales, resta; o elige un multiplicador negativo para que queden opuestos y suma.
ErrorEquivocarse con los signos al multiplicar por un número negativo.
Cómo corregirloMultiplica término a término con la regla de los signos: $-5 \cdot (-7y) = +35y$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Multiplicar una ecuación numérico
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 4y = 19 \end{cases}$

Resolución
Para eliminar $y$ multiplicamos la 1.ª por 2: $6x + 4y = 14$ .

Sumamos con la 2.ª: $(6x + 5x) + (4y - 4y) = 14 + 19 \Rightarrow 11x = 33 \Rightarrow x = 3$ .

En la 1.ª: $9 + 2y = 7 \Rightarrow y = -1$ .

Comprobación: $15 + 4 = 19$ ✔. Solución: $x = 3$ , $y = -1$ .
Ejemplo 2. Doble reducción numérico (solución con fracciones)
Resuelve por doble reducción: $\begin{cases} 4x + 3y = 3 \\ 2x - 6y = -1 \end{cases}$

Resolución
Eliminamos $y$ : 1.ª por 2: $8x + 6y = 6$ . Sumamos con la 2.ª: $10x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$ .

Eliminamos $x$ : 2.ª por $-2$ : $-4x + 12y = 2$ . Sumamos con la 1.ª: $15y = 5 \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}$ .

Comprobación: $4 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 2 + 1 = 3$ ✔; $\;2 \cdot \dfrac{1}{2} - 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 1 - 2 = -1$ ✔

Solución: $x = \dfrac{1}{2}$ , $y = \dfrac{1}{3}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - y = 3 \end{cases}$

Ver solución
x = 1, y = 2
2.ª por 3: $15x - 3y = 9$ . Sumamos con la 1.ª: $17x = 17 \Rightarrow x = 1$ ; $5 - y = 3 \Rightarrow y = 2$ .

Comprobación: $2 + 6 = 8$ ✔
2. Media
Resuelve por reducción multiplicando las dos ecuaciones: $\begin{cases} 3x - 4y = 10 \\ 2x + 5y = -1 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = −1
Eliminamos $x$ : 1.ª por 2 y 2.ª por $-3$ : $6x - 8y = 20$ ; $\;-6x - 15y = 3$ .

Sumamos: $-23y = 23 \Rightarrow y = -1$ . En la 2.ª: $2x - 5 = -1 \Rightarrow x = 2$ .

Comprobación: $6 + 4 = 10$ ✔; $4 - 5 = -1$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por reducción: $\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - 5y = 3 \end{cases}$

Ver solución
x = 4, y = 1
1.ª por $-2$ : $-2x - 6y = -14$ . Sumamos con la 2.ª: $-11y = -11 \Rightarrow y = 1$ ; $x = 7 - 3 = 4$ .

Comprobación: $8 - 5 = 3$ ✔
2. Media
Resuelve por reducción: $\begin{cases} 4x + 3y = 1 \\ 6x - 5y = 11 \end{cases}$

Ver solución
x = 1, y = −1
Eliminamos $x$ (m.c.m. 12): 1.ª por 3 y 2.ª por $-2$ : $12x + 9y = 3$ ; $\;-12x + 10y = -22$ .

Sumamos: $19y = -19 \Rightarrow y = -1$ ; $4x - 3 = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Comprobación: $6 + 5 = 11$ ✔
3. Difícil
Resuelve por doble reducción: $\begin{cases} 2x + 3y = 2 \\ 4x - 6y = 3 \end{cases}$

Ver solución
x = 7/8, y = 1/12
Eliminamos $y$ : 1.ª por 2: $4x + 6y = 4$ . Sumamos con la 2.ª: $8x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{8}$ .

Eliminamos $x$ : 1.ª por $-2$ : $-4x - 6y = -4$ . Sumamos con la 2.ª: $-12y = -1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{12}$ .

Comprobación: $\dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4} = 2$ ✔; $\;\dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2} = 3$ ✔