Reducción con coeficientes decimales o fraccionarios

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorMultiplicar por 10 solo los términos decimales: de $1{,}5x + 2y = 6{,}3$ pasar a $15x + 2y = 63$.

  Cómo corregirloEl término $2y$ también se multiplica: $15x + 20y = 63$.

• ErrorMultiplicar por 10 cuando hay centésimas: $0{,}85x \cdot 10 = 8{,}5x$, que sigue siendo decimal.

  Cómo corregirloMira cuántas cifras decimales hay como máximo y multiplica por 100 si hay centésimas.

• ErrorDar la solución con decimales mal redondeados cuando es exacta.

  Cómo corregirloSi la solución es una fracción, déjala como fracción o escribe el decimal exacto ($\dfrac{1}{2} = 0{,}5$).

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. La frutería del mercado situación real (coeficientes decimales)

   En una frutería de un mercado de Madrid, 1,5 kg de manzanas y 2 kg de naranjas cuestan 6,30 €, y 2 kg de manzanas y 1 kg de naranjas cuestan 5,90 €. ¿Cuánto cuesta el kilo de cada fruta?

   Resolución

   $x$ = precio del kilo de manzanas (€), $y$ = precio del kilo de naranjas (€). $$\begin{cases} 1{,}5x + 2y = 6{,}3 \\ 2x + y = 5{,}9 \end{cases} \;\xrightarrow{\cdot 10}\; \begin{cases} 15x + 20y = 63 \\ 20x + 10y = 59 \end{cases}$$ Eliminamos $y$: 2.ª por $-2$: $-40x - 20y = -118$. Sumamos con la 1.ª: $-25x = -55 \Rightarrow x = 2{,}2$.

   En la 2.ª original: $2 \cdot 2{,}2 + y = 5{,}9 \Rightarrow y = 1{,}5$.

   Manzanas: 2,20 €/kg; naranjas: 1,50 €/kg. Comprobación: $1{,}5 \cdot 2{,}2 + 2 \cdot 1{,}5 = 3{,}3 + 3 = 6{,}3$ ✔

2. Ejemplo 2. Coeficientes fraccionarios numérico

   Resuelve por reducción: $\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{2y}{3} = \dfrac{17}{6} \end{cases}$

   Resolución

   1.ª por 12: $4x + 3y = 6$. 2.ª por 6: $3x - 4y = 17$.

   Eliminamos $y$: 1.ª por 4 y 2.ª por 3: $16x + 12y = 24$; $\;9x - 12y = 51$. Sumamos: $25x = 75 \Rightarrow x = 3$.

   En $4x + 3y = 6$: $12 + 3y = 6 \Rightarrow y = -2$.

   Comprobación: $1 - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ✔; $\;\dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{9 + 8}{6} = \dfrac{17}{6}$ ✔. Solución: $x = 3$, $y = -2$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Resuelve por reducción: $\begin{cases} 0{,}5x + 0{,}2y = 1{,}6 \\ 0{,}3x - 0{,}2y = 0{,}8 \end{cases}$

   Ver solución

   x = 3, y = 0,5

   Los coeficientes de $y$ ya son opuestos: sumamos. $0{,}8x = 2{,}4 \Rightarrow x = 3$.

   (O bien, por 10: $5x + 2y = 16$, $3x - 2y = 8$, y sumando $8x = 24$.)

   $1{,}5 + 0{,}2y = 1{,}6 \Rightarrow 0{,}2y = 0{,}1 \Rightarrow y = 0{,}5$. Comprobación: $0{,}9 - 0{,}1 = 0{,}8$ ✔

2. 2. Media

   Resuelve por reducción: $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

   Ver solución

   x = 3, y = 3/2

   1.ª por 6: $3x + 2y = 12$. 2.ª por 12: $3x - 2y = 6$.

   Sumamos: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$. Restamos (1.ª − 2.ª): $4y = 6 \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}$.

   Comprobación: $\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$ ✔; $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ ✔

3. 3. Media

   Resuelve: $\begin{cases} 0{,}2(x + 5) - 0{,}3y = 1{,}4 \\ 0{,}5x + 1{,}25y = 5 \end{cases}$

   Ver solución

   x = 5, y = 2

   1.ª por 10: $2(x + 5) - 3y = 14 \Rightarrow 2x - 3y = 4$. 2.ª por 4: $2x + 5y = 20$.

   Restamos (2.ª − 1.ª): $8y = 16 \Rightarrow y = 2$; $2x - 6 = 4 \Rightarrow x = 5$.

   Comprobación: $0{,}2 \cdot 10 - 0{,}6 = 1{,}4$ ✔; $2{,}5 + 2{,}5 = 5$ ✔

4. 4. Difícil

   En una papelería, un rotulador cuesta 0,85 € y una carpeta, 2,40 €. Ana compra 13 artículos entre rotuladores y carpetas y paga 20,35 €. ¿Cuántos rotuladores y cuántas carpetas compra?

   Ver solución

   7 rotuladores y 6 carpetas.

   $\begin{cases} x + y = 13 \\ 0{,}85x + 2{,}4y = 20{,}35 \end{cases}$. 2.ª por 100: $85x + 240y = 2035$; simplificamos entre 5: $17x + 48y = 407$.

   1.ª por $-17$: $-17x - 17y = -221$. Sumamos: $31y = 186 \Rightarrow y = 6$; $x = 7$.

   7 rotuladores y 6 carpetas. Comprobación: $5{,}95 + 14{,}40 = 20{,}35$ € ✔

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Resuelve por reducción: $\begin{cases} 0{,}4x + 0{,}3y = 1 \\ 0{,}2x - 0{,}3y = 1{,}4 \end{cases}$

   Ver solución

   x = 4, y = −2

   Por 10: $4x + 3y = 10$; $2x - 3y = 14$. Sumamos: $6x = 24 \Rightarrow x = 4$; $16 + 3y = 10 \Rightarrow y = -2$.

   Comprobación: $0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4$ ✔

2. 2. Media

   Resuelve por reducción: $\begin{cases} \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 2 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{6} = \dfrac{3}{2} \end{cases}$

   Ver solución

   x = 4, y = 3

   1.ª por 12: $3x + 4y = 24$. 2.ª por 6: $3x - y = 9$. Restamos: $5y = 15 \Rightarrow y = 3$; $3x = 12 \Rightarrow x = 4$.

   Comprobación: $1 + 1 = 2$ ✔; $2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ✔

3. 3. Media

   Resuelve: $\begin{cases} \dfrac{x + y}{2} - \dfrac{x - y}{3} = 2 \\ 0{,}1x + 0{,}2y = 0{,}9 \end{cases}$

   Ver solución

   x = 7, y = 1

   1.ª por 6: $3(x + y) - 2(x - y) = 12 \Rightarrow x + 5y = 12$. 2.ª por 10: $x + 2y = 9$.

   Restamos: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$; $x = 9 - 2 = 7$.

   Comprobación: $\dfrac{8}{2} - \dfrac{6}{3} = 4 - 2 = 2$ ✔; $0{,}7 + 0{,}2 = 0{,}9$ ✔

4. 4. Difícil

   En una carrera popular por la Casa de Campo se inscriben 1240 corredores. La inscripción de adulto cuesta 12,50 € y la infantil, 4,50 €, y se recaudan 12 300 €. ¿Cuántos corredores de cada categoría hay?

   Ver solución

   840 adultos y 400 niños.

   $\begin{cases} x + y = 1240 \\ 12{,}5x + 4{,}5y = 12\,300 \end{cases}$. 2.ª por 2: $25x + 9y = 24\,600$.

   1.ª por $-9$: $-9x - 9y = -11\,160$. Sumamos: $16x = 13\,440 \Rightarrow x = 840$; $y = 400$.

   840 adultos y 400 niños. Comprobación: $10\,500 + 1800 = 12\,300$ € ✔