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Resolver problemas con sistemas

Muchos problemas tienen dos cantidades desconocidas relacionadas por dos condiciones. Se resuelven con un sistema siguiendo estos pasos:

Comprende el enunciado: ¿qué datos hay?, ¿qué se pregunta?
Elige las incógnitas y escribe qué representa cada una, con unidades: « $x$ = número de monedas de 2 €».
Plantea dos ecuaciones, cada una con una condición del enunciado.
Resuelve el sistema con el método más cómodo.
Comprueba la solución en el enunciado (no solo en las ecuaciones), mira si tiene sentido y responde con una frase.

Traducir al lenguaje algebraico

Enunciado	Ecuación
La suma de dos números es 20	$x + y = 20$
Un número supera en 3 a otro	$x = y + 3$
El doble de un número menos otro es 5	$2x - y = 5$
La tercera parte de un número	$\dfrac{x}{3}$
$x$ monedas de 2 € e $y$ monedas de 50 céntimos	valor: $2x + 0{,}5y$ euros
$x$ kg a 3 €/kg e $y$ kg a 5 €/kg	coste: $3x + 5y$ euros

Monedas y billetes: casi siempre hay una ecuación que cuenta las monedas ( $x + y = \text{total de monedas}$ ) y otra que suma su valor (número · valor de cada moneda). Usa la misma unidad en toda la ecuación: todo en euros o todo en céntimos.
Compras: coste = cantidad · precio, y se suman los costes de cada producto.

Elegir el método

Si una incógnita viene despejada («cuesta 3 € más que…»), sustitución.
Si las dos ecuaciones dan la misma cantidad («cuándo valen lo mismo»), igualación.
Si las ecuaciones están ordenadas y tienen coeficientes iguales u opuestos (o fáciles de igualar), reducción.

¿Tiene sentido la solución?

Un número de personas, de monedas o de entradas debe ser un número natural; un precio, positivo. Si sale $x = 7{,}5$ monedas o un precio negativo, revisa el planteamiento.

Puntos clave

Escribe siempre qué representa cada incógnita, con unidades.
Con dos incógnitas hacen falta dos ecuaciones, cada una con una condición del enunciado.
Monedas: una ecuación cuenta monedas y la otra suma su valor, todo en la misma unidad.
Compras: coste = cantidad · precio.
Elige el método según la forma de las ecuaciones.
Comprueba en el enunciado, mira si la solución tiene sentido y responde con una frase.

Errores frecuentes

ErrorMezclar unidades: escribir $50x + 2y = 37$ con céntimos y euros a la vez.
Cómo corregirloPasa todo a euros ( $0{,}5x + 2y = 37$ ) o todo a céntimos ( $50x + 200y = 3700$ ).
ErrorConfundir el número de monedas con su valor: $x + y = 37$ cuando 37 € es el dinero total.
Cómo corregirloPregúntate qué mide cada número del enunciado: «32 monedas» cuenta monedas; «37 €» es valor.
ErrorTraducir «el mayor supera en 7 al menor» como $x + 7 = y$ siendo $x$ el mayor.
Cómo corregirloAl menor hay que sumarle 7 para llegar al mayor: $x = y + 7$ . Compruébalo con números sencillos.
ErrorResponder solo « $x = 18$ , $y = 14$ ».
Cómo corregirloResponde con una frase que conteste a la pregunta: «Hay 18 monedas de 50 céntimos y 14 de 2 €».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La hucha situación real (monedas)
En una hucha hay 32 monedas, unas de 50 céntimos y otras de 2 €. En total hay 37 €. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

Resolución
$x$ = monedas de 50 céntimos; $y$ = monedas de 2 €.
- Número de monedas: $x + y = 32$ .
- Valor (en euros): $0{,}5x + 2y = 37$ .
Multiplicamos la 2.ª ecuación por 2 para quitar el decimal: $\begin{cases} x + y = 32 \\ 0{,}5x + 2y = 37 \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} x + y = 32 \\ x + 4y = 74 \end{cases}$ Restamos: $3y = 42 \Rightarrow y = 14$ ; $x = 32 - 14 = 18$ .

Comprobación: $18 + 14 = 32$ monedas; $18 \cdot 0{,}5 + 14 \cdot 2 = 9 + 28 = 37$ € ✔

Hay 18 monedas de 50 céntimos y 14 de 2 €.
Ejemplo 2. Dos números numérico (traducir al lenguaje algebraico)
La suma de dos números es 85 y el mayor supera en 7 al doble del menor. ¿Cuáles son?

Resolución
$x$ = número mayor; $y$ = número menor. $\begin{cases} x + y = 85 \\ x = 2y + 7 \end{cases}$ Sustitución: $2y + 7 + y = 85 \Rightarrow 3y = 78 \Rightarrow y = 26$ ; $x = 59$ .

Comprobación: $59 + 26 = 85$ ; $2 \cdot 26 + 7 = 59$ ✔. Los números son 59 y 26.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una tienda de deportes, 2 camisetas y 3 pantalones cuestan 87 €, y 3 camisetas y 1 pantalón cuestan 64 €. ¿Cuánto cuesta cada prenda?

Ver solución
Camiseta, 15 €; pantalón, 19 €.
$x$ = precio de una camiseta (€); $y$ = precio de un pantalón (€). $\begin{cases} 2x + 3y = 87 \\ 3x + y = 64 \end{cases}$ . De la 2.ª, $y = 64 - 3x$ : $2x + 3(64 - 3x) = 87 \Rightarrow -7x = -105 \Rightarrow x = 15$ ; $y = 19$ .

Comprobación: $30 + 57 = 87$ ✔; $45 + 19 = 64$ ✔. La camiseta cuesta 15 € y el pantalón, 19 €.
2. Media
La diferencia de dos números es 14, y la tercera parte del mayor es igual a la mitad del menor. Halla los números.

Ver solución
42 y 28
$\begin{cases} x - y = 14 \\ \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2} \end{cases}$ . 2.ª por 6: $2x = 3y$ . Con $x = 14 + y$ : $28 + 2y = 3y \Rightarrow y = 28$ ; $x = 42$ .

Comprobación: $42 - 28 = 14$ ; $\dfrac{42}{3} = 14 = \dfrac{28}{2}$ ✔
3. Media
Un cajero automático tiene 2400 € en 75 billetes de 20 € y de 50 €. ¿Cuántos billetes hay de cada clase?

Ver solución
45 billetes de 20 € y 30 de 50 €.
$\begin{cases} x + y = 75 \\ 20x + 50y = 2400 \end{cases}$ . 2.ª entre 10: $2x + 5y = 240$ . 1.ª por $-2$ : $-2x - 2y = -150$ . Sumamos: $3y = 90 \Rightarrow y = 30$ ; $x = 45$ .

Comprobación: $900 + 1500 = 2400$ € ✔

Para practicar más

1. Fácil
En una frutería, 3 kg de patatas y 2 kg de cebollas cuestan 5,10 €, y 2 kg de patatas y 3 kg de cebollas cuestan 5,40 €. ¿Cuánto cuesta el kilo de cada producto?

Ver solución
Patatas, 0,90 €/kg; cebollas, 1,20 €/kg.
$\begin{cases} 3x + 2y = 5{,}1 \\ 2x + 3y = 5{,}4 \end{cases}$ . Eliminamos $y$ : 1.ª por 3 y 2.ª por $-2$ : $9x + 6y = 15{,}3$ ; $-4x - 6y = -10{,}8$ . Sumamos: $5x = 4{,}5 \Rightarrow x = 0{,}9$ ; $2y = 5{,}1 - 2{,}7 = 2{,}4 \Rightarrow y = 1{,}2$ .

Comprobación: $1{,}8 + 3{,}6 = 5{,}4$ ✔
2. Media
Dos números suman 52. Si al mayor le restamos 8 y al menor le sumamos 8, el primer resultado es el triple del segundo. ¿Qué números son?

Ver solución
47 y 5
$\begin{cases} x + y = 52 \\ x - 8 = 3(y + 8) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 52 \\ x - 3y = 32 \end{cases}$ . Restamos: $4y = 20 \Rightarrow y = 5$ ; $x = 47$ .

Comprobación: $47 - 8 = 39 = 3 \cdot 13$ ✔
3. Media
Lucas tiene en el monedero 21 monedas de 10 y de 20 céntimos, que suman 3,20 €. ¿Cuántas monedas tiene de cada clase?

Ver solución
10 monedas de 10 céntimos y 11 de 20 céntimos.
En céntimos: $\begin{cases} x + y = 21 \\ 10x + 20y = 320 \end{cases}$ . 2.ª entre 10: $x + 2y = 32$ . Restamos la 1.ª: $y = 11$ ; $x = 10$ .

Comprobación: $100 + 220 = 320$ céntimos = 3,20 € ✔

Recuerda: problemas de números, monedas y compras