Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Problemas con sistemas de ecuaciones

Recuerda: problemas de edades y de geometría

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver con sistemas problemas de edades y problemas geométricos (perímetros y ángulos).

Recuerda

Problemas de edades

En los problemas de edades conviene organizar los datos en una tabla. Todas las personas cumplen años a la vez: si pasan $n$ años, se suma $n$ a cada edad; si hablamos de hace $n$ años, se resta $n$ a cada una.

	Hace 4 años	Hoy	Dentro de 6 años
Persona A	$x - 4$	$x$	$x + 6$
Persona B	$y - 4$	$y$	$y + 6$

Las incógnitas son siempre las edades de hoy. Después se escribe cada condición con la columna que corresponda. Por ejemplo, «dentro de 6 años, A tendrá el doble de edad que B» se escribe con la última columna:

$x + 6 = 2(y + 6)$

El paréntesis es imprescindible: el doble es de toda la edad de B dentro de 6 años.

Ejemplo corto. Lucía tiene 6 años más que su hermano, y dentro de 4 años tendrá el doble de edad que él. Con $x$ = edad de Lucía e $y$ = edad del hermano: $\begin{cases} x = y + 6 \\ x + 4 = 2(y + 4) \end{cases}$ . Por sustitución: $y + 10 = 2y + 8 \Rightarrow y = 2$ , $x = 8$ . Lucía tiene 8 años y su hermano, 2 (dentro de 4 años: 12 y 6 ✔).

Problemas de geometría

Haz un dibujo con los datos y usa las fórmulas que ya conoces:

Perímetro de un rectángulo de largo $x$ y ancho $y$ : $2x + 2y$ .
Triángulo isósceles con lados iguales $x$ y base $y$ : perímetro $2x + y$ .
Ángulos complementarios: suman $90^\circ$ . Ángulos suplementarios: suman $180^\circ$ .
Los tres ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ ; en un triángulo isósceles, los dos ángulos de la base son iguales.

¿Tiene sentido la solución?

Comprueba siempre que la solución es razonable: edades positivas (y que el padre no sea más joven que el hijo), longitudes positivas y ángulos menores de $180^\circ$ .

Puntos clave

Edades: tabla con «hace», «hoy» y «dentro de»; los años pasan igual para todos.
Las incógnitas son las edades de hoy.
Si una edad es el doble de otra «dentro de $n$ años», se escribe $x + n = 2(y + n)$ , con paréntesis.
Geometría: dibujo y fórmulas de perímetros y ángulos.
Complementarios suman 90°; suplementarios, 180°; los ángulos de un triángulo, 180°.
Comprueba que las soluciones tienen sentido (positivas, ángulos posibles…).

Errores frecuentes

ErrorSumar los años solo a una persona: «dentro de 12 años» → $x + 12 = 2y$ .
Cómo corregirloUsa la tabla: dentro de 12 años las dos edades son $x + 12$ e $y + 12$ .
ErrorOlvidar el paréntesis: $x + 12 = 2y + 12$ .
Cómo corregirloEl doble es de toda la edad futura: $x + 12 = 2(y + 12) = 2y + 24$ .
ErrorUsar el área en lugar del perímetro (o al revés).
Cómo corregirloPerímetro: suma de los lados (se mide en cm, m…); área: superficie (cm², m²…). Fíjate en lo que dice el enunciado.
ErrorEscribir el perímetro de un rectángulo como $x + y$ .
Cómo corregirloUn rectángulo tiene dos lados de cada medida: $2x + 2y$ . Haz el dibujo y suma los cuatro lados.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Madre e hijo situación real (edades con tabla)
Una madre tiene ahora el triple de la edad de su hijo. Dentro de 12 años, tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

Resolución

Hoy Dentro de 12 años

Madre $x$ $x + 12$

Hijo $y$ $y + 12$

$\begin{cases} x = 3y \\ x + 12 = 2(y + 12) \end{cases}$ Sustitución: $3y + 12 = 2y + 24 \Rightarrow y = 12$ ; $x = 36$ .

Comprobación: hoy $36 = 3 \cdot 12$ ✔; dentro de 12 años, $48 = 2 \cdot 24$ ✔. La madre tiene 36 años y el hijo, 12.
Ejemplo 2. Una parcela rectangular geométrico
Una parcela rectangular de un huerto urbano de Getafe tiene 140 m de perímetro, y su largo mide 10 m más que su ancho. Halla sus dimensiones y su área.

Resolución
$x$ = largo (m); $y$ = ancho (m). $\begin{cases} 2x + 2y = 140 \\ x = y + 10 \end{cases}$ Sustitución: $2(y + 10) + 2y = 140 \Rightarrow 4y = 120 \Rightarrow y = 30$ ; $x = 40$ .

Comprobación: $80 + 60 = 140$ m ✔. La parcela mide 40 m × 30 m y su área es $40 \cdot 30 = 1200\ \text{m}^2$ .

	Hoy	Dentro de 12 años
Madre	$x$	$x + 12$
Hijo	$y$	$y + 12$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Hace 4 años, la edad de Clara era el doble que la de su hermano Diego. Dentro de 6 años, sus edades sumarán 44 años. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?

Ver solución
Clara, 20 años; Diego, 12.

Hace 4 años Hoy Dentro de 6 años

Clara $x - 4$ $x$ $x + 6$

Diego $y - 4$ $y$ $y + 6$

$\begin{cases} x - 4 = 2(y - 4) \\ (x + 6) + (y + 6) = 44 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 2y = -4 \\ x + y = 32 \end{cases}$ . Restamos (2.ª − 1.ª): $3y = 36 \Rightarrow y = 12$ ; $x = 20$ .

Comprobación: hace 4 años, $16 = 2 \cdot 8$ ✔; dentro de 6, $26 + 18 = 44$ ✔
2. Fácil
Dos ángulos son suplementarios, y uno de ellos mide 30° más que el doble del otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Ver solución
130° y 50°
$\begin{cases} x + y = 180 \\ x = 2y + 30 \end{cases}$ . Sustitución: $3y + 30 = 180 \Rightarrow y = 50$ ; $x = 130$ .

Comprobación: $130 + 50 = 180$ ✔; $2 \cdot 50 + 30 = 130$ ✔. Miden 130° y 50°.
3. Media
Un triángulo isósceles tiene 50 cm de perímetro. Cada uno de los lados iguales mide 4 cm más que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

Ver solución
Lados iguales, 18 cm; base, 14 cm.
$x$ = cada lado igual (cm), $y$ = base (cm): $\begin{cases} 2x + y = 50 \\ x = y + 4 \end{cases}$

$2(y + 4) + y = 50 \Rightarrow 3y = 42 \Rightarrow y = 14$ ; $x = 18$ .

Comprobación: $18 + 18 + 14 = 50$ cm ✔

	Hace 4 años	Hoy	Dentro de 6 años
Clara	$x - 4$	$x$	$x + 6$
Diego	$y - 4$	$y$	$y + 6$

Para practicar más

1. Fácil
Entre un abuelo y su nieta suman 80 años. Dentro de 10 años, la edad del abuelo será el triple de la de su nieta. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Ver solución
Abuelo, 65 años; nieta, 15.
$\begin{cases} x + y = 80 \\ x + 10 = 3(y + 10) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 80 \\ x - 3y = 20 \end{cases}$ . Restamos: $4y = 60 \Rightarrow y = 15$ ; $x = 65$ .

Comprobación: dentro de 10 años, $75 = 3 \cdot 25$ ✔
2. Media
Un rectángulo tiene 54 cm de perímetro. Si su ancho aumenta 3 cm y su largo disminuye 3 cm, se convierte en un cuadrado. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ver solución
Largo 16,5 cm y ancho 10,5 cm.
$\begin{cases} 2x + 2y = 54 \\ x - 3 = y + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 27 \\ x - y = 6 \end{cases}$ . Sumamos: $2x = 33 \Rightarrow x = 16{,}5$ ; $y = 10{,}5$ .

Comprobación: $2 \cdot 16{,}5 + 2 \cdot 10{,}5 = 54$ ✔; $16{,}5 - 3 = 13{,}5 = 10{,}5 + 3$ ✔ (el cuadrado tiene 13,5 cm de lado)
3. Media
Pedro tiene 5 años más que su hermana Marta. Hace 3 años, la edad de Pedro era el doble que la de Marta. ¿Qué edad tiene cada uno?

Ver solución
Pedro, 13 años; Marta, 8.
$\begin{cases} x = y + 5 \\ x - 3 = 2(y - 3) \end{cases}$ . Sustitución: $y + 2 = 2y - 6 \Rightarrow y = 8$ ; $x = 13$ .

Comprobación: hace 3 años, $10 = 2 \cdot 5$ ✔