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Matemáticas 3.º ESO · Problemas con sistemas de ecuaciones

Recuerda: problemas de mezclas y aleaciones

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver con sistemas problemas de mezclas de productos de distinto precio, de aleaciones y de disoluciones.

Recuerda

Problemas de mezclas

En una mezcla se juntan dos productos de distinto precio (cafés, frutos secos, aceites…) para obtener un producto con un precio intermedio. La idea clave es que la mezcla vale lo mismo que lo que se ha mezclado.

El precio de una mezcla

Si mezclamos 3 kg de un producto de 10 €/kg con 2 kg de otro de 15 €/kg, tenemos 5 kg que cuestan $3 \cdot 10 + 2 \cdot 15 = 60$ €, así que la mezcla sale a $\dfrac{60}{5} = 12$ €/kg. Fíjate en que no es la media de los precios (12,50 €), porque hay más cantidad del producto barato.

Plantear el sistema con una tabla

Cuando lo que no sabemos son las cantidades, organizamos los datos en una tabla:

	Cantidad	Precio	Coste
Producto A	$x$	$p_A$	$p_A \cdot x$
Producto B	$y$	$p_B$	$p_B \cdot y$
Mezcla	$x + y$	$p_M$	$p_M \cdot (x + y)$

Las dos ecuaciones salen de las columnas de la tabla:

Cantidades: $\;x + y = \text{cantidad total de la mezcla}$ .
Costes: $\;p_A x + p_B y = p_M \cdot \text{cantidad total}$ .

Aleaciones y disoluciones

Una aleación es una mezcla de metales. Su ley es la proporción de metal precioso: un oro de ley 0,75 tiene un 75 % de oro (son 18 quilates). La cantidad de metal precioso es masa · ley.

Lo mismo ocurre con las disoluciones: 300 mL de alcohol al 20 % contienen $0{,}2 \cdot 300 = 60$ mL de alcohol.

La tabla es igual, cambiando el precio por la ley (o el porcentaje). Ecuaciones: masas $\;x + y = \text{total}$ y metal precioso (o soluto) $\;\text{ley}_A \cdot x + \text{ley}_B \cdot y = \text{ley}_M \cdot \text{total}$ .

Comprueba que tiene sentido

El precio (o la ley) de la mezcla está siempre entre los de los dos componentes, y más cerca del componente del que hay más cantidad. Si te sale una cantidad negativa, revisa el planteamiento.

Puntos clave

La mezcla vale lo mismo que lo que se ha mezclado.
Precio de la mezcla = coste total : cantidad total (no la media de los precios).
Mezclas: una ecuación con las cantidades y otra con los costes.
Aleaciones: metal precioso = masa · ley. Disoluciones: soluto = volumen · porcentaje.
El precio (o la ley) de la mezcla está siempre entre los de los dos componentes.

Errores frecuentes

ErrorEscribir la ecuación de los costes con el precio de la mezcla sin multiplicarlo por la cantidad: $12x + 18y = 14$ .
Cómo corregirloEl segundo miembro es el coste de toda la mezcla: $14 \cdot 30 = 420$ €.
ErrorHallar el precio de la mezcla con la media de los precios sin tener en cuenta las cantidades.
Cómo corregirloCalcula el coste total y divídelo entre la cantidad total.
ErrorConfundir la ley con el porcentaje al operar: $75 \cdot x$ en lugar de $0{,}75 \cdot x$ .
Cómo corregirloUsa la ley en tanto por uno (0,75) o pon el porcentaje en todos los términos de la ecuación.
ErrorMezclar unidades: kilos con gramos o litros con mililitros en la misma ecuación.
Cómo corregirloPasa todas las cantidades a la misma unidad antes de plantear.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Mezcla de cafés situación real (mezcla con tabla)
Un tostadero de café de Madrid mezcla café de Colombia a 12 €/kg con café de Etiopía a 18 €/kg para obtener 30 kg de mezcla a 14 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada café usa?

Resolución

Cantidad (kg) Precio (€/kg) Coste (€)

Colombia $x$ 12 $12x$

Etiopía $y$ 18 $18y$

Mezcla 30 14 $14 \cdot 30 = 420$

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 12x + 18y = 420 \end{cases}$ Sustitución con $y = 30 - x$ : $12x + 18(30 - x) = 420 \Rightarrow 540 - 6x = 420 \Rightarrow x = 20$ ; $y = 10$ .

Comprobación: $240 + 180 = 420$ € ✔. Usa 20 kg de café de Colombia y 10 kg de Etiopía. Tiene sentido: el precio de la mezcla (14 €) está más cerca del café barato, porque hay más cantidad de él.
Ejemplo 2. Oro de 18 quilates situación real (aleación)
Una joyera funde un lingote de oro de ley 0,75 con otro de ley 0,9 para obtener 60 g de oro de ley 0,8. ¿Cuántos gramos de cada lingote necesita?

Resolución
$x$ = gramos de ley 0,75; $y$ = gramos de ley 0,9.
- Masas: $x + y = 60$ .
- Oro puro: $0{,}75x + 0{,}9y = 0{,}8 \cdot 60 = 48$ .
Con $x = 60 - y$ : $0{,}75(60 - y) + 0{,}9y = 48 \Rightarrow 45 + 0{,}15y = 48 \Rightarrow y = 20$ ; $x = 40$ .

Comprobación: $0{,}75 \cdot 40 + 0{,}9 \cdot 20 = 30 + 18 = 48$ g de oro ✔. 40 g del lingote de ley 0,75 y 20 g del de ley 0,9.

	Cantidad (kg)	Precio (€/kg)	Coste (€)
Colombia	$x$	12	$12x$
Etiopía	$y$	18	$18y$
Mezcla	30	14	$14 \cdot 30 = 420$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Una tienda de frutos secos mezcla almendras de 14 €/kg con cacahuetes de 6 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada producto necesita para obtener 20 kg de mezcla a 9,20 €/kg?

Ver solución
8 kg de almendras y 12 kg de cacahuetes.
$\begin{cases} x + y = 20 \\ 14x + 6y = 9{,}2 \cdot 20 = 184 \end{cases}$ . Con $y = 20 - x$ : $14x + 120 - 6x = 184 \Rightarrow 8x = 64 \Rightarrow x = 8$ ; $y = 12$ .

Comprobación: $112 + 72 = 184$ € ✔
2. Media
En el laboratorio del instituto se mezcla una disolución de alcohol al 20 % con otra al 50 % para obtener 600 mL de disolución al 30 %. ¿Cuántos mililitros de cada disolución hay que usar?

Ver solución
400 mL al 20 % y 200 mL al 50 %.
$\begin{cases} x + y = 600 \\ 0{,}2x + 0{,}5y = 0{,}3 \cdot 600 = 180 \end{cases}$ . Con $x = 600 - y$ : $120 - 0{,}2y + 0{,}5y = 180 \Rightarrow 0{,}3y = 60 \Rightarrow y = 200$ ; $x = 400$ .

Comprobación: $80 + 100 = 180$ mL de alcohol ✔

Para practicar más

1. Fácil
Una tetería mezcla té verde de 40 €/kg con té negro de 25 €/kg para obtener 15 kg de mezcla a 30 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada té usa?

Ver solución
5 kg de té verde y 10 kg de té negro.
$\begin{cases} x + y = 15 \\ 40x + 25y = 30 \cdot 15 = 450 \end{cases}$ . Con $y = 15 - x$ : $40x + 375 - 25x = 450 \Rightarrow 15x = 75 \Rightarrow x = 5$ ; $y = 10$ .

Comprobación: $200 + 250 = 450$ € ✔
2. Media
Se funden dos lingotes de oro, uno de ley 0,6 y otro de ley 0,85, para obtener 500 g de ley 0,75. ¿Cuántos gramos se toman de cada lingote?

Ver solución
200 g de ley 0,6 y 300 g de ley 0,85.
$\begin{cases} x + y = 500 \\ 0{,}6x + 0{,}85y = 0{,}75 \cdot 500 = 375 \end{cases}$ . Con $x = 500 - y$ : $300 + 0{,}25y = 375 \Rightarrow y = 300$ ; $x = 200$ .

Comprobación: $120 + 255 = 375$ g de oro ✔
3. Difícil
¿Cuántos litros de agua y cuántos de zumo concentrado, que tiene un 60 % de fruta, hay que mezclar para obtener 15 L de bebida con un 24 % de fruta?

Ver solución
6 L de zumo concentrado y 9 L de agua.
$x$ = litros de zumo concentrado; $y$ = litros de agua (0 % de fruta). $\begin{cases} x + y = 15 \\ 0{,}6x + 0 \cdot y = 0{,}24 \cdot 15 = 3{,}6 \end{cases}$ . De la 2.ª, $x = 6$ ; $y = 9$ .

Comprobación: $0{,}6 \cdot 6 = 3{,}6$ L de fruta, y $\dfrac{3{,}6}{15} = 0{,}24$ ✔