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Matemáticas 3.º ESO · Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones

Recuerda: sistemas equivalentes y sistemas con una solución dada

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer sistemas equivalentes, transformar un sistema en otro más sencillo y construir un sistema que tenga una solución dada.

Recuerda

Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. Por ejemplo, estos dos sistemas tienen la solución $x = 3$ , $y = 2$ :

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \qquad\qquad \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x = 6 \end{cases}$

pero el segundo es mucho más fácil de resolver: de $2x = 6$ sale $x = 3$ , y entonces $y = 5 - 3 = 2$ .

Transformaciones que no cambian la solución

Obtenemos un sistema equivalente a otro si:

Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de 0. Por ejemplo, $3x + 6y = 15$ se puede simplificar dividiendo entre 3: $x + 2y = 5$ .
Sustituimos una ecuación por la suma (o la resta) de las dos ecuaciones, miembro a miembro. Así se obtuvo $2x = 6$ en el ejemplo de arriba: $(x + y) + (x - y) = 5 + 1$ .
Pasamos términos de un miembro a otro, como en cualquier ecuación: $x = 5 - y$ es equivalente a $x + y = 5$ .

Estas transformaciones son la base de los métodos para resolver sistemas: con ellas convertimos un sistema en otro equivalente más sencillo.

Cuidado: al multiplicar o dividir hay que hacerlo con todos los términos de los dos miembros. Y el sistema debe seguir teniendo dos ecuaciones.

Construir un sistema con una solución dada

Para escribir un sistema cuya solución sea, por ejemplo, $x = 2$ , $y = -1$ :

Elige los coeficientes de $x$ y de $y$ de cada ecuación: $\;x + 3y = \square \;$ y $\;2x - y = \square$ .
Calcula cada término independiente sustituyendo la solución: $2 + 3 \cdot (-1) = -1$ y $2 \cdot 2 - (-1) = 5$ .
El sistema es $\begin{cases} x + 3y = -1 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Para que el sistema tenga solo esa solución, las dos ecuaciones no pueden ser proporcionales (una no puede ser la otra multiplicada por un número): $x + y = 1$ y $2x + 2y = 2$ dicen lo mismo y tienen infinitas soluciones comunes.

Puntos clave

Sistemas equivalentes: tienen la misma solución.
Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0 da un sistema equivalente.
Sustituir una ecuación por la suma o la resta de las dos da un sistema equivalente.
Con estas transformaciones se pasa a sistemas más sencillos: es la idea de los métodos de resolución.
Para construir un sistema con solución $(a, b)$ : elige los coeficientes y calcula el término independiente sustituyendo $x = a$ , $y = b$ ; las ecuaciones no deben ser proporcionales.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar solo el primer miembro de la ecuación: de $x + 2y = 5$ pasar a $3x + 6y = 5$ .
Cómo corregirloMultiplica también el segundo miembro: $3x + 6y = 15$ . Compruébalo con la solución: si deja de cumplirse, algo falla.
ErrorSustituir las dos ecuaciones por su suma y quedarse con una sola ecuación.
Cómo corregirloLa suma sustituye a una de las ecuaciones; la otra se conserva.
ErrorAl construir un sistema, escribir dos ecuaciones proporcionales, como $x + y = 3$ y $2x + 2y = 6$ .
Cómo corregirloElige coeficientes que no sean proporcionales: por ejemplo, $x + y$ y $x - y$ , o $x + 2y$ y $3x - y$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Simplificar un sistema numérico (transformaciones)
Comprueba que los sistemas $A$ , $B$ y $C$ son equivalentes, sabiendo que $x = 3$ , $y = 1$ es la solución de $A$ :

$A: \begin{cases} 3x + 6y = 15 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\qquad B: \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\qquad C: \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + y = 10 \end{cases}$

Resolución
- De $A$ a $B$ : dividimos la primera ecuación entre 3 (los dos miembros): $3x + 6y = 15 \Rightarrow x + 2y = 5$ .
- De $B$ a $C$ : sustituimos la segunda ecuación por la suma de las dos: $(x + 2y) + (2x - y) = 5 + 5 \Rightarrow 3x + y = 10$ .
Como solo hemos hecho transformaciones permitidas, los tres sistemas son equivalentes. Comprobación con $(3, 1)$ :
- $A$ : $3 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 15$ ✔; $2 \cdot 3 - 1 = 5$ ✔
- $B$ : $3 + 2 = 5$ ✔; $6 - 1 = 5$ ✔
- $C$ : $3 + 2 = 5$ ✔; $9 + 1 = 10$ ✔
Ejemplo 2. Un sistema a medida construcción (sistema con solución dada)
Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea $x = -1$ , $y = 4$ .

Resolución
1. Elegimos los coeficientes, por ejemplo $2x + y$ y $x - 3y$ .
2. Calculamos el término independiente sustituyendo $x = -1$ $x = - 1$ , $y = 4$ $y = 4$ :
  - $2 \cdot (-1) + 4 = 2$
  - $-1 - 3 \cdot 4 = -13$
Sistema: $\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x - 3y = -13 \end{cases}$

Hay infinitas respuestas posibles: cada alumno puede elegir coeficientes distintos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
La solución del sistema $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ es $x = 3$ , $y = 2$ . Indica cuáles de estos sistemas son equivalentes a él y qué transformación se ha hecho: a) $\begin{cases} 2x + 4y = 14 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x + y = 14 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$

Ver solución
a) Sí (1.ª ecuación por 2). b) Sí (2.ª sustituida por la suma). c) No.
a) La primera ecuación se ha multiplicado por 2: equivalente. Comprobación: $6 + 8 = 14$ ✔; $9 - 2 = 7$ ✔.

b) La segunda es la suma de las dos: $(x + 2y) + (3x - y) = 7 + 7 \Rightarrow 4x + y = 14$ : equivalente. Comprobación: $12 + 2 = 14$ ✔.

c) $3 \cdot 3 + 2 = 11 \neq 9$ : $(3, 2)$ no cumple la segunda ecuación, así que no es equivalente.
2. Fácil
Escribe un sistema cuya solución sea $x = 2$ , $y = -3$ . Comprueba tu respuesta.
Ver solución
Respuesta abierta; por ejemplo, x + y = −1 y 3x − y = 9.
Elegimos, por ejemplo, $x + y$ y $3x - y$ :
- $2 + (-3) = -1$
- $3 \cdot 2 - (-3) = 6 + 3 = 9$
Sistema: $\begin{cases} x + y = -1 \\ 3x - y = 9 \end{cases}$ . Vale cualquier sistema cuyas ecuaciones no sean proporcionales y se cumplan con $(2, -3)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Simplifica las ecuaciones del sistema $\begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}$ dividiendo cada una entre un número adecuado. Comprueba que $x = 2$ , $y = 1$ es solución de los dos sistemas.
Ver solución
Sistema simplificado: 2x − y = 3 y 2x + y = 5. (2, 1) cumple los dos.
Dividimos la 1.ª entre 3 y la 2.ª entre 2: $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$

Comprobación con $(2, 1)$ :
- Original: $12 - 3 = 9$ ✔; $8 + 2 = 10$ ✔
- Simplificado: $4 - 1 = 3$ ✔; $4 + 1 = 5$ ✔
2. Media
Escribe dos sistemas distintos que tengan como solución $x = -2$ , $y = 5$ .
Ver solución
Respuesta abierta; por ejemplo, {x + y = 3; 2x − y = −9} y {3x + 2y = 4; x − y = −7}.
Por ejemplo:
- $x + y = -2 + 5 = 3$ y $2x - y = -4 - 5 = -9$ → $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = -9 \end{cases}$
- $3x + 2y = -6 + 10 = 4$ y $x - y = -2 - 5 = -7$ → $\begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ x - y = -7 \end{cases}$
3. Media
Escribe un sistema equivalente a $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 8 \end{cases}$ en el que una de las ecuaciones no tenga $y$ . Usa el nuevo sistema para hallar la solución.

Ver solución
{x − y = 2; 2x = 10}; solución x = 5, y = 3.
Sustituimos la segunda ecuación por la suma de las dos: $(x - y) + (x + y) = 2 + 8 \Rightarrow 2x = 10$ .

Sistema equivalente: $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x = 10 \end{cases}$ . De la segunda, $x = 5$ ; en la primera, $5 - y = 2 \Rightarrow y = 3$ .

Comprobación en el original: $5 - 3 = 2$ ✔; $5 + 3 = 8$ ✔