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Matemáticas 3.º ESO · Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones

Recuerda: ecuaciones con dos incógnitas y solución de un sistema

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas con una tabla de valores y comprobar si un par de números es solución de un sistema.

Recuerda

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

En el puesto de la fiesta del barrio, Nora compra bolígrafos a 1 € y cuadernos a 2 €, y gasta 10 €. Si llamamos $x$ al número de bolígrafos e $y$ al número de cuadernos, la situación se escribe así:

$x + 2y = 10$

Es una ecuación lineal con dos incógnitas: tiene la forma $ax + by = c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números, y las incógnitas aparecen con exponente 1 y sin multiplicarse entre sí. Por ejemplo, $3x - y = 5$ y $\dfrac{x}{2} + y = 1$ son lineales; $x \cdot y = 6$ y $x^2 + y = 4$ no lo son.

Soluciones de una ecuación con dos incógnitas

Una solución es un par de valores $(x, y)$ que cumple la igualdad. Se escribe entre paréntesis, primero $x$ y después $y$ . El par $(4, 3)$ es solución de $x + 2y = 10$ porque $4 + 2 \cdot 3 = 10$ .

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Para encontrar algunas:

Despeja una de las incógnitas: $x + 2y = 10 \;\Rightarrow\; x = 10 - 2y$ .
Da valores a la otra y calcula la despejada. Ordena los resultados en una tabla de valores:

$y$	0	1	2	3	4	5
$x = 10 - 2y$	10	8	6	4	2	0

En un problema, el contexto puede limitar las soluciones: Nora no puede comprar $-1$ cuadernos ni medio bolígrafo, así que solo valen los pares de números naturales de la tabla.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Si además sabemos que Nora se lleva 7 artículos, tenemos una segunda condición: $x + y = 7$ . Las dos ecuaciones juntas forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (sistema 2×2), que se escribe con una llave:

$\begin{cases} x + 2y = 10 \\ x + y = 7 \end{cases}$

La solución del sistema es el par $(x, y)$ que cumple las dos ecuaciones a la vez. En la tabla, el único par que suma 7 es $(4, 3)$ : Nora compra 4 bolígrafos y 3 cuadernos.

Para comprobar si un par es solución de un sistema, se sustituye en las dos ecuaciones:

$(4, 3)$ : $\;4 + 2 \cdot 3 = 10$ ✔ y $\;4 + 3 = 7$ ✔ → es solución del sistema.
$(6, 2)$ : $\;6 + 2 \cdot 2 = 10$ ✔ pero $\;6 + 2 = 8 \neq 7$ ✘ → no es solución (solo cumple la primera).

Si un valor es negativo, sustitúyelo entre paréntesis: con $x = -3$ , $\;2x = 2 \cdot (-3) = -6$ .

Puntos clave

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma $ax + by = c$ .
Una solución es un par $(x, y)$ que cumple la igualdad; hay infinitas soluciones.
Para obtener soluciones se despeja una incógnita y se hace una tabla de valores.
En un problema, el contexto puede limitar las soluciones (por ejemplo, a números naturales).
La solución de un sistema cumple las dos ecuaciones a la vez: se comprueba sustituyendo en las dos.

Errores frecuentes

ErrorComprobar el par solo en la primera ecuación y dar por hecho que es solución del sistema.
Cómo corregirloSustituye siempre en las dos ecuaciones; basta con que falle una para que no sea solución.
ErrorCambiar el orden del par: tomar $(2, 3)$ como $x = 3$ , $y = 2$ .
Cómo corregirloEn el par $(x, y)$ el primer número es siempre $x$ y el segundo, $y$ .
ErrorOlvidar el paréntesis al sustituir un valor negativo: $2 \cdot -3$ .
Cómo corregirloEscribe $2 \cdot (-3) = -6$ ; con el paréntesis no se pierde el signo.
ErrorPensar que una ecuación con dos incógnitas tiene una única solución.
Cómo corregirloHaz una tabla de valores: para cada valor de una incógnita sale un valor de la otra, así que hay infinitas soluciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Es solución o no? numérico (comprobar en las dos ecuaciones)
Comprueba si los pares $(1, 3)$ y $(4, 2)$ son solución del sistema $\begin{cases} x + 3y = 10 \\ 2x - y = -1 \end{cases}$

Resolución
Par $(1, 3)$ : $x = 1$ , $y = 3$ .
- 1.ª ecuación: $1 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10$ ✔
- 2.ª ecuación: $2 \cdot 1 - 3 = -1$ ✔
Cumple las dos: $(1, 3)$ es solución del sistema.

Par $(4, 2)$ : $x = 4$ , $y = 2$ .
- 1.ª ecuación: $4 + 3 \cdot 2 = 10$ ✔
- 2.ª ecuación: $2 \cdot 4 - 2 = 6 \neq -1$ ✘
Solo cumple la primera: $(4, 2)$ no es solución del sistema (es solución de la primera ecuación, pero no de la segunda).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Completa la tabla de valores de la ecuación $3x - y = 2$ para $x = -1, 0, 1, 2$ y $3$ . Escribe tres soluciones de la ecuación como pares $(x, y)$ .

Ver solución
y = −5, −2, 1, 4, 7. Por ejemplo, (−1, −5), (0, −2) y (2, 4).
Despejamos: $3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2$ .

$x$ $-1$ 0 1 2 3

$y$ $-5$ $-2$ 1 4 7

Por ejemplo: $x = -1 \Rightarrow y = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$ . Soluciones: $(-1, -5)$ , $(0, -2)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$ , $(3, 7)$ .
2. Fácil
¿Cuál de los pares $(1, 6)$ , $(2, 3)$ y $(4, -3)$ es solución del sistema $\begin{cases} 3x + y = 9 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$ ?
Ver solución
Solo (2, 3).
- $(1, 6)$ : $3 + 6 = 9$ ✔; $1 - 12 = -11 \neq -4$ ✘ → no.
- $(2, 3)$ : $6 + 3 = 9$ ✔; $2 - 6 = -4$ ✔ → sí.
- $(4, -3)$ : $12 + (-3) = 9$ ✔; $4 - 2 \cdot (-3) = 4 + 6 = 10 \neq -4$ ✘ → no.
Los tres pares son soluciones de la primera ecuación, pero solo $(2, 3)$ cumple también la segunda.
3. Media
Halla el valor de $k$ para que el par $(2, k)$ sea solución de la ecuación $5x - 2y = 4$ .

Ver solución
k = 3
Sustituimos $x = 2$ , $y = k$ : $\;5 \cdot 2 - 2k = 4 \Rightarrow 10 - 2k = 4 \Rightarrow -2k = -6 \Rightarrow k = 3$ .

Comprobación: $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 4$ ✔

$x$	$-1$	0	1	2	3
$y$	$-5$	$-2$	1	4	7

Para practicar más

1. Fácil
Escribe tres soluciones distintas de la ecuación $x + 3y = 9$ . Pista: despeja $x$ y da valores a $y$ .

Ver solución
Por ejemplo, (9, 0), (6, 1), (3, 2), (0, 3)…
$x = 9 - 3y$ . Dando valores a $y$ :

$y$ 0 1 2 3

$x$ 9 6 3 0

Soluciones: $(9, 0)$ , $(6, 1)$ , $(3, 2)$ , $(0, 3)$ . Hay infinitas; cualquier par que cumpla $x + 3y = 9$ vale.
2. Fácil
Comprueba si $x = -1$ , $y = 2$ es solución del sistema $\begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ x - 4y = -9 \end{cases}$
Ver solución
Sí, es solución.
- 1.ª: $3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -3 + 4 = 1$ ✔
- 2.ª: $-1 - 4 \cdot 2 = -1 - 8 = -9$ ✔
Cumple las dos ecuaciones: es solución del sistema.
3. Media
Mario dice que el par $(5, -2)$ es solución del sistema $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 3y = 6 \end{cases}$ porque $5 + (-2) = 3$ . ¿Tiene razón? Explica por qué.

Ver solución
No: cumple la primera ecuación pero no la segunda (2 · 5 + 3 · (−2) = 4 ≠ 6).
Mario solo ha comprobado la primera ecuación: $5 + (-2) = 3$ ✔.

En la segunda: $2 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 10 - 6 = 4 \neq 6$ ✘.

No tiene razón: para ser solución del sistema hay que cumplir las dos ecuaciones a la vez.