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Matemáticas 3.º ESO · Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones

Cada ecuación es una recta: interpretar y plantear sistemas

Objetivo: Al terminar, sabrás interpretar cada ecuación lineal con dos incógnitas como una recta y la solución del sistema como el punto común, y plantear sistemas a partir de enunciados de la vida cotidiana.

Explicación

Las soluciones de una ecuación forman una recta

Cada solución $(x, y)$ de una ecuación $ax + by = c$ se puede dibujar como un punto del plano. Si representamos las soluciones de una tabla de valores, quedan alineadas: todas las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas forman una recta. Por eso se llaman ecuaciones lineales.

Si un punto está en la recta, sus coordenadas cumplen la ecuación.
Si las coordenadas de un punto cumplen la ecuación, el punto está en la recta.

La solución de un sistema es el punto común

Un sistema 2×2 está formado por dos ecuaciones, es decir, por dos rectas. La solución del sistema es el par que cumple las dos ecuaciones: el punto que está en las dos rectas, es decir, su punto de corte.

Plantear un sistema a partir de un enunciado

Lee el enunciado y localiza las dos cantidades desconocidas. Escribe qué es $x$ y qué es $y$ , con unidades si las hay.
Busca dos condiciones (dos datos que relacionen las incógnitas) y traduce cada una a una ecuación.
Escribe el sistema con la llave.
Cuando tengas la solución, comprueba que cumple el enunciado y que tiene sentido (por ejemplo, un número de personas debe ser entero y positivo).

Enunciado	Ecuación
La suma de dos números es 20	$x + y = 20$
Un número supera en 3 a otro	$x - y = 3$ (o $x = y + 3$ )
Un número es el triple de otro	$x = 3y$
$x$ entradas de 8 € e $y$ entradas de 5 € cuestan 61 €	$8x + 5y = 61$
$x$ gallinas (2 patas) e $y$ conejos (4 patas) tienen 90 patas	$2x + 4y = 90$

Cuando todavía no conocemos los métodos de resolución, podemos encontrar la solución con una tabla de valores: buscamos, entre las soluciones de una ecuación, la que también cumple la otra.

Puntos clave

Las soluciones de $ax + by = c$ forman una recta.
Un punto está en una recta si sus coordenadas cumplen la ecuación.
La solución de un sistema 2×2 es el punto de corte de las dos rectas.
Para plantear: define $x$ e $y$ , traduce dos condiciones a dos ecuaciones y escribe el sistema.
La solución de un problema se comprueba en el enunciado y debe tener sentido en el contexto.

Errores frecuentes

ErrorNo decir qué representa cada incógnita y acabar confundiendo $x$ con $y$ .
Cómo corregirloEmpieza siempre escribiendo « $x$ = número de…», « $y$ = número de…».
ErrorPlantear una sola ecuación con dos incógnitas y no saber seguir.
Cómo corregirloCon dos incógnitas hacen falta dos condiciones del enunciado: busca el segundo dato.
ErrorMezclar cantidades distintas en una ecuación, como sumar personas y euros: $x + y = 61$ .
Cómo corregirloCada ecuación debe tener las mismas unidades en los dos miembros: euros con euros, ruedas con ruedas…
ErrorLeer mal el punto de corte en la gráfica, cambiando el orden de las coordenadas.
Cómo corregirloLee primero en el eje horizontal ( $x$ ) y después en el vertical ( $y$ ), y comprueba el par en las dos ecuaciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Los puntos que cumplen una ecuación gráfico
a) Haz una tabla con cinco soluciones de $2x + y = 7$ y represéntalas en unos ejes. ¿Qué observas? b) Representa también la ecuación $x - y = -1$ y halla la solución del sistema $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Resolución
a) Despejamos $y = 7 - 2x$ :

$x$ 0 1 2 3 4

$y$ 7 5 3 1 $-1$

Los cinco puntos están alineados: todas las soluciones de $2x + y = 7$ forman una recta.

b) Despejamos $y = x + 1$ : $(0, 1)$ , $(1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(3, 4)$ . Unimos los puntos y obtenemos otra recta.

Las dos rectas se cortan en el punto $(2, 3)$ , que aparece en las dos tablas. Solución: $x = 2$ , $y = 3$ .

Comprobación: $2 \cdot 2 + 3 = 7$ ✔; $2 - 3 = -1$ ✔
Ejemplo 2. Coches y motos en un aparcamiento situación real (plantear y resolver con una tabla)
En el aparcamiento de un centro comercial de Alcobendas hay 20 vehículos entre coches y motos, y se cuentan 64 ruedas en total. Plantea un sistema y averigua cuántos coches y cuántas motos hay.

Resolución
1. Incógnitas: $x$ = número de coches; $y$ = número de motos.
2. Condiciones:
  - Hay 20 vehículos: $x + y = 20$ .
  - Cada coche tiene 4 ruedas y cada moto 2: $4x + 2y = 64$ .
3. Sistema: $\begin{cases} x + y = 20 \\ 4x + 2y = 64 \end{cases}$
4. Tabla con soluciones de la primera ecuación ( $y = 20 - x$ ) y sus ruedas:
Coches $x$ 10 11 12

Motos $y$ 10 9 8

Ruedas $4x + 2y$ 60 62 64 ✔

Hay 12 coches y 8 motos. Comprobación: $12 + 8 = 20$ vehículos; $48 + 16 = 64$ ruedas ✔
Ejemplo 3. ¿Acierta la taquillera? situación real (plantear y comprobar)
En un cine de Madrid, 3 entradas de adulto y 2 infantiles cuestan 37 €, y 1 entrada de adulto y 4 infantiles cuestan 29 €. a) Plantea un sistema. b) La taquillera dice que la entrada de adulto cuesta 9 € y la infantil 5 €. Comprueba si tiene razón.

Resolución
a) $x$ = precio de la entrada de adulto (€); $y$ = precio de la entrada infantil (€). $\begin{cases} 3x + 2y = 37 \\ x + 4y = 29 \end{cases}$ b) Sustituimos $x = 9$ , $y = 5$ :
- $3 \cdot 9 + 2 \cdot 5 = 27 + 10 = 37$ ✔
- $9 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29$ ✔
Cumple las dos condiciones: tiene razón.

$x$	0	1	2	3	4
$y$	7	5	3	1	$-1$

Coches $x$	10	11	12
Motos $y$	10	9	8
Ruedas $4x + 2y$	60	62	64 ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Cuáles de los puntos $A(1, 3)$ , $B(4, 1)$ , $C(-1, 4)$ y $D(7, -1)$ están en la recta $2x + 3y = 11$ ?
Ver solución
A, B y D; C no.
- $A$ : $2 + 9 = 11$ ✔
- $B$ : $8 + 3 = 11$ ✔
- $C$ : $-2 + 12 = 10 \neq 11$ ✘
- $D$ : $14 - 3 = 11$ ✔
Están en la recta $A$ , $B$ y $D$ .
2. Media
Las rectas $r$ y $s$ de la gráfica corresponden a las ecuaciones $x + y = 1$ y $x - 2y = 7$ . a) ¿Cuál es cada una? Compruébalo con un punto de cada recta. b) Escribe la solución del sistema formado por las dos ecuaciones y compruébala.

Ver solución
a) r: x + y = 1; s: x − 2y = 7. b) x = 3, y = −2.
a) La recta $r$ pasa por $(0, 1)$ : $0 + 1 = 1$ ✔, así que $r$ es $x + y = 1$ . La recta $s$ pasa por $(1, -3)$ : $1 - 2 \cdot (-3) = 7$ ✔, así que $s$ es $x - 2y = 7$ .

b) Las rectas se cortan en $(3, -2)$ . Comprobación: $3 + (-2) = 1$ ✔; $3 - 2 \cdot (-2) = 3 + 4 = 7$ ✔. Solución: $x = 3$ , $y = -2$ .
3. Media
Plantea un sistema para cada enunciado (no hace falta resolverlo). Indica qué es $x$ y qué es $y$ . a) Dos números suman 30 y uno es el doble del otro. b) En una granja hay gallinas y conejos: en total, 35 cabezas y 110 patas. c) Una hamburguesa y dos refrescos cuestan 9 €, y dos hamburguesas y un refresco cuestan 12 €.

Ver solución
a) x + y = 30; x = 2y. b) x + y = 35; 2x + 4y = 110. c) x + 2y = 9; 2x + y = 12.
a) $x$ , $y$ : los números. $\begin{cases} x + y = 30 \\ x = 2y \end{cases}$

b) $x$ = gallinas, $y$ = conejos. $\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 110 \end{cases}$

c) $x$ = precio de una hamburguesa (€), $y$ = precio de un refresco (€). $\begin{cases} x + 2y = 9 \\ 2x + y = 12 \end{cases}$

(Sus soluciones son $(20, 10)$ , $(15, 20)$ y $(5, 2)$ .)
4. Media
En un puesto del Rastro, Pablo compra camisetas a 6 € y gorras a 4 €. Se lleva 9 prendas y paga 46 €. Plantea un sistema y encuentra cuántas camisetas y cuántas gorras compra con una tabla de valores.

Ver solución
5 camisetas y 4 gorras.
$x$ = camisetas, $y$ = gorras. $\begin{cases} x + y = 9 \\ 6x + 4y = 46 \end{cases}$

Tabla con $y = 9 - x$ :

$x$ 3 4 5 6

$y$ 6 5 4 3

$6x + 4y$ 42 44 46 ✔ 48

5 camisetas y 4 gorras. Comprobación: $5 + 4 = 9$ ; $30 + 16 = 46$ € ✔
5. Difícil
Inventa un enunciado de la vida cotidiana que se resuelva con el sistema $\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 5y = 39 \end{cases}$ y comprueba que $x = 7$ , $y = 5$ es la solución.

Ver solución
Respuesta abierta; por ejemplo: «Compro 12 artículos, unos a 2 € y otros a 5 €, y pago 39 €». Solución: 7 de 2 € y 5 de 5 €.
Por ejemplo: «En una tienda compro 12 artículos, unos a 2 € y otros a 5 €, y pago 39 €. ¿Cuántos compro de cada precio?». $x$ = artículos de 2 €; $y$ = artículos de 5 €.

Comprobación: $7 + 5 = 12$ ✔; $2 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 14 + 25 = 39$ ✔

$x$	3	4	5	6
$y$	6	5	4	3
$6x + 4y$	42	44	46 ✔	48

Para practicar más

1. Fácil
a) Escribe cuatro soluciones de la ecuación $x - y = 3$ y represéntalas en los ejes. ¿Están alineadas? b) Sin dibujar, ¿está el punto $(-1, -4)$ en esa recta?

Ver solución
a) Por ejemplo, (0, −3), (1, −2), (3, 0), (5, 2): están alineadas. b) Sí.
a) $y = x - 3$ :

$x$ 0 1 3 5

$y$ $-3$ $-2$ 0 2

Los puntos están alineados: forman la recta $x - y = 3$ .

b) $-1 - (-4) = -1 + 4 = 3$ ✔: el punto $(-1, -4)$ sí está en la recta.
2. Fácil
Las rectas $r$ y $s$ de la gráfica son $2x - y = 1$ y $x + y = 8$ . a) ¿Cuál es cada una? b) ¿Cuál es la solución del sistema que forman? Compruébala.

Ver solución
a) r: 2x − y = 1; s: x + y = 8. b) x = 3, y = 5.
a) $r$ pasa por $(1, 1)$ : $2 \cdot 1 - 1 = 1$ ✔ → $r$ es $2x - y = 1$ . $s$ pasa por $(0, 8)$ : $0 + 8 = 8$ ✔ → $s$ es $x + y = 8$ .

b) Se cortan en $(3, 5)$ : $2 \cdot 3 - 5 = 1$ ✔; $3 + 5 = 8$ ✔. Solución: $x = 3$ , $y = 5$ .
3. Media
En una papelería, 2 cuadernos y 3 bolígrafos cuestan 9,50 €, y un cuaderno y un bolígrafo cuestan 4 €. a) Plantea un sistema. b) Comprueba si un cuaderno cuesta 2,50 € y un bolígrafo 1,50 €.

Ver solución
a) 2x + 3y = 9,5; x + y = 4. b) Sí.
a) $x$ = precio de un cuaderno (€), $y$ = precio de un bolígrafo (€): $\begin{cases} 2x + 3y = 9{,}5 \\ x + y = 4 \end{cases}$

b) $2 \cdot 2{,}5 + 3 \cdot 1{,}5 = 5 + 4{,}5 = 9{,}5$ ✔; $2{,}5 + 1{,}5 = 4$ ✔. Sí son esos precios.
4. Media
Un examen tipo test tiene 20 preguntas y Sara las contesta todas. Cada acierto suma 3 puntos y cada fallo resta 1 punto. Sara obtiene 40 puntos. Plantea un sistema y halla, con una tabla de valores, cuántas preguntas acertó.

Ver solución
15 aciertos y 5 fallos.
$x$ = aciertos, $y$ = fallos. $\begin{cases} x + y = 20 \\ 3x - y = 40 \end{cases}$

Tabla con $y = 20 - x$ :

$x$ 13 14 15

$y$ 7 6 5

$3x - y$ 32 36 40 ✔

Acertó 15 y falló 5. Comprobación: $15 + 5 = 20$ ; $45 - 5 = 40$ ✔
5. Difícil
¿Puede un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tener exactamente dos soluciones? Razona tu respuesta pensando en las rectas.

Ver solución
No. Dos rectas distintas se cortan como mucho en un punto; si tienen dos puntos comunes, son la misma recta y hay infinitas soluciones.
Cada solución del sistema es un punto común a las dos rectas. Por dos puntos pasa una sola recta: si las dos rectas tuvieran dos puntos comunes, serían la misma recta y tendrían todos sus puntos en común (infinitas soluciones). Si son rectas distintas, se cortan en un punto como mucho.

Por tanto, un sistema 2×2 tiene una solución, ninguna o infinitas, pero nunca exactamente dos.