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Recuerda

Cada ecuación es una recta

Las soluciones de una ecuación con dos incógnitas son pares $(x, y)$ , así que podemos dibujarlas como puntos en unos ejes de coordenadas. Por ejemplo, para $x + y = 5$ :

$x$	0	1	2	3	5
$y = 5 - x$	5	4	3	2	0

Si representamos los puntos $(0, 5)$ , $(1, 4)$ , $(2, 3)$ , $(3, 2)$ y $(5, 0)$ , quedan alineados. Todas las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas forman una recta (por eso se llaman ecuaciones lineales). Para dibujarla bastan dos puntos; un tercero sirve de control.

Resolver un sistema gráficamente

Cada ecuación de un sistema 2×2 es una recta, y la solución del sistema es el punto que está en las dos: su punto de corte. Para resolverlo:

Despeja $y$ en cada ecuación (si es cómodo).
Haz una tabla de valores con dos o tres puntos de cada recta. Elige valores de $x$ que den números enteros.
Representa las dos rectas en los mismos ejes, con la misma escala (papel cuadriculado y regla).
Lee las coordenadas del punto de corte: primero $x$ (eje horizontal) y después $y$ (eje vertical).
Comprueba la solución en las dos ecuaciones.

A veces el punto de corte ya aparece en las dos tablas: es la solución.

Interpretar la gráfica en un problema

En los problemas, la gráfica dice más cosas que la solución. Si cada recta es el coste de una tarifa, el punto de corte indica cuándo las dos tarifas cuestan lo mismo; a un lado del corte es más barata una y al otro lado, la otra.

Limitaciones

Si el punto de corte no cae en un cruce de la cuadrícula, en la gráfica solo podemos leer una solución aproximada. Para obtener la solución exacta se usan los métodos algebraicos (sustitución, igualación y reducción).

Con GeoGebra se escriben las dos ecuaciones en la barra de entrada y la herramienta Intersección da el punto de corte.

Puntos clave

Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas forman una recta.
Para dibujar una recta bastan dos puntos; un tercero sirve de control.
La solución de un sistema es el punto de corte de sus dos rectas.
Elige valores de $x$ que den valores enteros de $y$ , y usa la misma escala en las dos rectas.
Comprueba siempre en las dos ecuaciones el punto leído.
Si el punto de corte no tiene coordenadas enteras, la gráfica solo da una solución aproximada.

Errores frecuentes

ErrorDibujar las rectas con escalas distintas o sin regla, y leer un punto de corte equivocado.
Cómo corregirloUsa papel cuadriculado, la misma escala en los dos ejes para las dos rectas y regla; comprueba el punto leído en las dos ecuaciones.
ErrorEquivocarse de signo al despejar: de $2x - y = 3$ pasar a $y = 2x + 3$ .
Cómo corregirloPasa $-y$ al otro miembro paso a paso: $2x - 3 = y$ . Comprueba un punto de la tabla en la ecuación original.
ErrorLeer las coordenadas al revés: escribir $(4, 1)$ cuando el punto está en $x = 1$ , $y = 4$ .
Cómo corregirloPrimero se lee el eje horizontal ( $x$ ) y después el vertical ( $y$ ).
ErrorDar como exacta una solución leída en la gráfica que no cae en un cruce de la cuadrícula.
Cómo corregirloEscribe «aproximadamente» y compruébala: si no cumple las ecuaciones, es solo una aproximación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos rectas que se cortan gráfico (paso a paso)
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

Resolución
1. Despejamos: $y = 6 - x$ y $y = 2x - 3$ .
2. Tablas de valores:
$x$ 0 3 6

$y = 6 - x$ 6 3 0

$x$ 0 2 3

$y = 2x - 3$ $-3$ 1 3
1. Representamos los puntos y trazamos las rectas.
2. Se cortan en $(3, 3)$ , que además aparece en las dos tablas.
3. Comprobación: $3 + 3 = 6$ ✔; $2 \cdot 3 - 3 = 3$ ✔
Solución: $x = 3$ , $y = 3$ .
Ejemplo 2. Cuando el corte no cae en la cuadrícula gráfico (solución aproximada)
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ x - y = -1 \end{cases}$ ¿Puedes dar la solución exacta mirando la gráfica?

Resolución
Tablas: $y = \dfrac{4 - x}{2}$ pasa por $(0, 2)$ , $(2, 1)$ y $(4, 0)$ ; $y = x + 1$ pasa por $(0, 1)$ , $(1, 2)$ y $(-1, 0)$ .

Las rectas se cortan en un punto que no está en un cruce de la cuadrícula: aproximadamente $x \approx 0{,}7$ , $y \approx 1{,}7$ .

Con un método algebraico se obtiene la solución exacta $x = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ , $y = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ . Comprobación: $\dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ ✔; $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3} = -1$ ✔

Conclusión: la gráfica solo da una solución aproximada.

$x$	0	3	6
$y = 6 - x$	6	3	0

$x$	0	2	3
$y = 2x - 3$	$-3$	1	3

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ y comprueba la solución.

Ver solución
x = 3, y = 1
$y = 4 - x$ : $(0, 4)$ , $(2, 2)$ , $(4, 0)$ . $\quad y = x - 2$ : $(0, -2)$ , $(2, 0)$ , $(4, 2)$ .

Las rectas se cortan en $(3, 1)$ . Comprobación: $3 + 1 = 4$ ✔; $3 - 1 = 2$ ✔
2. Media
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - y = 5 \end{cases}$ y comprueba la solución.

Ver solución
x = 2, y = −3
$y = 1 - 2x$ : $(0, 1)$ , $(1, -1)$ , $(2, -3)$ . $\quad y = x - 5$ : $(0, -5)$ , $(2, -3)$ , $(5, 0)$ .

Se cortan en $(2, -3)$ . Comprobación: $2 \cdot 2 + (-3) = 1$ ✔; $2 - (-3) = 5$ ✔
3. Media
Entre Lucía y Ana tienen 11 € para el bonobús, y Lucía tiene 3 € más que Ana. Plantea un sistema y resuélvelo gráficamente.

Ver solución
Lucía, 7 €; Ana, 4 €.
$x$ = dinero de Lucía (€), $y$ = dinero de Ana (€): $\begin{cases} x + y = 11 \\ x - y = 3 \end{cases}$

$y = 11 - x$ : $(0, 11)$ , $(5, 6)$ , $(11, 0)$ . $\quad y = x - 3$ : $(3, 0)$ , $(7, 4)$ , $(11, 8)$ .

Se cortan en $(7, 4)$ : Lucía tiene 7 € y Ana, 4 €. Comprobación: $7 + 4 = 11$ ; $7 - 4 = 3$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 6 \end{cases}$ y comprueba la solución.

Ver solución
x = 2, y = 4
$y = 2x$ : $(0, 0)$ , $(1, 2)$ , $(3, 6)$ . $\quad y = 6 - x$ : $(0, 6)$ , $(2, 4)$ , $(6, 0)$ .

Se cortan en $(2, 4)$ . Comprobación: $4 = 2 \cdot 2$ ✔; $2 + 4 = 6$ ✔
2. Media
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} x + 3y = -3 \\ x - y = 5 \end{cases}$ y comprueba la solución.

Ver solución
x = 3, y = −2
$x + 3y = -3$ pasa por $(0, -1)$ , $(-3, 0)$ y $(3, -2)$ . $\quad y = x - 5$ : $(0, -5)$ , $(3, -2)$ , $(5, 0)$ .

Se cortan en $(3, -2)$ . Comprobación: $3 + 3 \cdot (-2) = -3$ ✔; $3 - (-2) = 5$ ✔
3. Difícil
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} 3x + y = 3 \\ x - 2y = 2 \end{cases}$ a) Da una solución aproximada leyendo la gráfica. b) Comprueba si $x = 1$ , $y = 0$ es la solución exacta. ¿Qué conclusión sacas?

Ver solución
a) x ≈ 1,1, y ≈ −0,4. b) No: (1, 0) cumple la primera ecuación pero no la segunda; la solución exacta no tiene coordenadas enteras.
$y = 3 - 3x$ : $(0, 3)$ , $(1, 0)$ , $(2, -3)$ . $\quad y = \dfrac{x - 2}{2}$ : $(0, -1)$ , $(2, 0)$ , $(4, 1)$ .

a) Las rectas se cortan cerca de $(1{,}1;\ -0{,}4)$ .

b) $3 \cdot 1 + 0 = 3$ ✔, pero $1 - 0 = 1 \neq 2$ ✘: $(1, 0)$ no es la solución. La solución exacta es $x = \dfrac{8}{7} \approx 1{,}14$ , $y = -\dfrac{3}{7} \approx -0{,}43$ : como no es un punto de la cuadrícula, con la gráfica solo podemos aproximarla.

Recuerda: resolución gráfica de un sistema