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Matemáticas 3.º ESO · Método de igualación

Recuerda: igualación cuando al despejar aparecen fracciones

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver por igualación sistemas en los que, al despejar, aparecen fracciones.

Recuerda

Igualación cuando aparecen fracciones

Si al despejar la incógnita su coeficiente no es 1, aparecen fracciones. El método es el mismo; solo hay que quitar los denominadores con cuidado al igualar.

Pasos

Prepara el sistema si hace falta (quita paréntesis y ordena: $ax + by = c$ ).
Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Elige la que dé fracciones más sencillas.
Iguala las dos expresiones.
Quita denominadores: si hay una fracción en cada miembro, multiplica en cruz poniendo los numeradores entre paréntesis; si no, multiplica todos los términos por el m.c.m. de los denominadores.
Resuelve, calcula la otra incógnita con la expresión más sencilla y comprueba.

Un ejemplo corto

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - 4y = 1 \end{cases}$

En la primera, $x$ tiene coeficiente 1: $x = 7 - 2y$ . En la segunda: $3x = 1 + 4y \Rightarrow x = \dfrac{1 + 4y}{3}$ .
Igualamos: $7 - 2y = \dfrac{1 + 4y}{3}$ .
Multiplicamos los dos miembros por 3: $3(7 - 2y) = 1 + 4y \Rightarrow 21 - 6y = 1 + 4y \Rightarrow -10y = -20 \Rightarrow y = 2$ .
$x = 7 - 2 \cdot 2 = 3$ . Comprobación: $3 + 4 = 7$ ✔; $\;9 - 8 = 1$ ✔

Con dos fracciones

$\dfrac{12 - 3y}{2} = \dfrac{5 + 2y}{3} \;\Rightarrow\; 3(12 - 3y) = 2(5 + 2y)$

Los paréntesis son imprescindibles: el 3 multiplica a todo el numerador $12 - 3y$ .

Consejo: si en una ecuación una incógnita tiene coeficiente 1, despeja esa incógnita en las dos: así solo aparece una fracción.

Puntos clave

Al despejar con coeficientes distintos de 1 aparecen fracciones.
Elige la incógnita que dé fracciones más sencillas (mejor si en una ecuación tiene coeficiente 1).
Para igualar dos fracciones, multiplica en cruz poniendo los numeradores entre paréntesis.
Al despejar, se divide todo el otro miembro entre el coeficiente.
Calcula la otra incógnita con la expresión despejada más sencilla y comprueba en el sistema.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar en cruz sin paréntesis: $3 \cdot 12 - 3y = 2 \cdot 5 + 2y$ .
Cómo corregirloEscribe $3(12 - 3y) = 2(5 + 2y)$ y después aplica la propiedad distributiva.
ErrorAl despejar, dividir solo un término: $2x = 12 - 3y \Rightarrow x = 6 - 3y$ .
Cómo corregirloDivide todo el segundo miembro: $x = \dfrac{12 - 3y}{2}$ .
ErrorMultiplicar solo la fracción al quitar el denominador: de $7 - 2y = \dfrac{1 + 4y}{3}$ pasar a $7 - 2y = 1 + 4y$ .
Cómo corregirloMultiplica los dos miembros por 3: $3(7 - 2y) = 1 + 4y$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos fracciones numérico
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Resolución
Despejamos $x$ en las dos: $x = \dfrac{12 - 3y}{2}$ ; $\;x = \dfrac{5 + 2y}{3}$ .

Igualamos y multiplicamos en cruz: $3(12 - 3y) = 2(5 + 2y) \Rightarrow 36 - 9y = 10 + 4y \Rightarrow -13y = -26 \Rightarrow y = 2$ .

$x = \dfrac{12 - 6}{2} = 3$ .

Comprobación: $6 + 6 = 12$ ✔; $9 - 4 = 5$ ✔. Solución: $x = 3$ , $y = 2$ .
Ejemplo 2. Elegir bien la incógnita numérico (una sola fracción)
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 5x - 2y = 25 \end{cases}$

Resolución
En la 1.ª, $y$ tiene coeficiente 1: despejamos $y$ en las dos.

$y = 7 - 4x$ ; $\;y = \dfrac{5x - 25}{2}$ .

$7 - 4x = \dfrac{5x - 25}{2} \Rightarrow 2(7 - 4x) = 5x - 25 \Rightarrow 14 - 8x = 5x - 25 \Rightarrow -13x = -39 \Rightarrow x = 3$ .

$y = 7 - 12 = -5$ . Comprobación: $12 - 5 = 7$ ✔; $15 + 10 = 25$ ✔. Solución: $x = 3$ , $y = -5$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 5x - 4y = 14 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = −1
$x = \dfrac{4 - 2y}{3}$ ; $\;x = \dfrac{14 + 4y}{5}$ . En cruz: $5(4 - 2y) = 3(14 + 4y) \Rightarrow 20 - 10y = 42 + 12y \Rightarrow -22y = 22 \Rightarrow y = -1$ .

$x = \dfrac{4 + 2}{3} = 2$ . Comprobación: $6 - 2 = 4$ ✔; $10 + 4 = 14$ ✔
2. Media
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 2x - 5y = -1 \\ 3x + 2y = -11 \end{cases}$

Ver solución
x = −3, y = −1
$x = \dfrac{5y - 1}{2}$ ; $\;x = \dfrac{-11 - 2y}{3}$ . En cruz: $3(5y - 1) = 2(-11 - 2y) \Rightarrow 15y - 3 = -22 - 4y \Rightarrow 19y = -19 \Rightarrow y = -1$ .

$x = \dfrac{-5 - 1}{2} = -3$ . Comprobación: $-6 + 5 = -1$ ✔; $-9 - 2 = -11$ ✔

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = -4 \end{cases}$

Ver solución
x = −1, y = 2
Despejamos $x$ : $x = 5 - 3y$ ; $\;x = \dfrac{y - 4}{2}$ .

$2(5 - 3y) = y - 4 \Rightarrow 10 - 6y = y - 4 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2$ ; $x = 5 - 6 = -1$ .

Comprobación: $-1 + 6 = 5$ ✔; $-2 - 2 = -4$ ✔
2. Media
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 3x + 4y = -1 \end{cases}$

Ver solución
x = 1, y = −1
Despejamos $y$ : $y = \dfrac{3 - 5x}{2}$ ; $\;y = \dfrac{-1 - 3x}{4}$ .

Por 4: $2(3 - 5x) = -1 - 3x \Rightarrow 6 - 10x = -1 - 3x \Rightarrow -7x = -7 \Rightarrow x = 1$ ; $y = \dfrac{3 - 5}{2} = -1$ .

Comprobación: $5 - 2 = 3$ ✔; $3 - 4 = -1$ ✔
3. Difícil
Resuelve por igualación: $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - 6y = 2 \end{cases}$ Da la solución en forma de fracción.

Ver solución
x = 3/2, y = 2/3
$x = \dfrac{5 - 3y}{2}$ ; $\;x = \dfrac{2 + 6y}{4}$ . Por 4: $2(5 - 3y) = 2 + 6y \Rightarrow 10 - 6y = 2 + 6y \Rightarrow -12y = -8 \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}$ .

$x = \dfrac{5 - 2}{2} = \dfrac{3}{2}$ . Comprobación: $3 + 2 = 5$ ✔; $6 - 4 = 2$ ✔